1、2022年北京市东城区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合Ax|x1，Bx|x1|2，则AB（）Ax|1x3Bx|x1Cx|1x3Dx|x12（4分）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）AylnxByexCyx3D3（4分）已知复数z满足iz2+i，则z的虚部为（）A2B2C1D14（4分）已知数列an的前n项和Snn2，则an是（）A公差为2的等差数列B公差为3的等差数列C公比为2的等比数列D公比为3的等比数列5（4分）已知，则sin（2）tan（）ABCD6（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D
2、1的棱长为1，E为BC上一点，则三棱锥B1AC1E的体积为（）ABCD7（4分）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首北京2022年冬奥会开幕正逢立春，则这3个节气中含有“立春”的概率为（）ABCD8（4分）已知a，bR，则“a2+b22”是“1ab1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（4分）在平面直角坐标系中，直线ykx+m（k0）与x轴和y轴分别交于A，若CACB，则当k，点C到点（1，1）的距离的最大值为（）ABCD10（4分）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数A（t）（0）ekt，其中k为常数已知小程
3、序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取lg20.30）A31B32C33D34二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答）12（5分）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示若网格上小正方形的边长为1，则 13（5分）已知抛物线C：y22px过点P（2，4），则p ；若点Q（4，y1），R（t，y2）在C上，F为C的焦点，且|PF|，|RF|成等比数列，则t 14（5分）已知函数若k0，则不等式f（x） ；若f（x）恰有两个零点，则k的取值范围为 15（5分）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践
4、活动如图所示，线段AB表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，C在同一水平面内，CD与水平面垂直现设计能计算出角楼高度的测量方案，则可以选择的几何量的编号为 .（只需写出一种方案）C，D两点间的距离；C，E两点间的距离；由点C观察点A的仰角；由点D观察点A的仰角；ACE和AEC；ADE和AED三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（13分）已知函数f（x）asinxcosx（a0，0）从下列四个条件中选择两个作为已知（x）存在且唯一确定（）求f（x）的解析式；（）设g（x）f（x）2cos2x+1，求函数g（x）在（0，）上的单调递增区间条件：；条件
5、：f（x）为偶函数；条件：f（x）的最大值为1；条件：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为17（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABAC，ABACAA11，M为线段A1C1上一点（）求证：BMAB1；（）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离18（13分）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）受教育程度性别未上学小学初中高中大学专科大学本科硕士研究生博士研究生男0.000.030.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.080.
6、120.030.00合计0.010.070.250.220.150.230.060.01（）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；（）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为a年和b年，依据表中的数据直接写出a与b的大小关系（结论不要求证
7、明）19（15分）已知函数f（x）（）若曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为1；（）若f（x）在（1，+）上有最大值，求a的取值范围20（15分）已知椭圆的离心率为，焦距为（）求椭圆C的方程；（）过点P（4，0）作斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点是否存在常数t，B之间，且总有，求出t的值；若不存在21（15分）设数列A：a1，a2，an（n2）如果ai1，2，n（i1，2，n），且当ij时，aiaj（1i，jn），则称数列A具有性质P对于具有性质P的数列A，定义数列T（A）1，t2，tn1，其中tk）（）对T（A）：0，1，1，写出所有具有性质P的数列A；（）对数列E：e1，e
8、2，en1（n2），其中ei0，1（i1，2，n1），证明：存在具有性质P的数列A（A）与E为同一个数列；（）对具有性质P的数列A，若|a1an|1（n5）且数列T（A）满足ti（i1，2，n1），证明：这样的数列A有偶数个2022年北京市东城区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合Ax|x1，Bx|x1|2，则AB（）Ax|1x3Bx|x1Cx|1x3Dx|x1【解答】解：集合Ax|x1，Bx|x1|4x|2x3，ABx|x3故选：B2（4分）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）Ay
9、lnxByexCyx3D【解答】解：A：ylnx的定义域为（0，+），A错误，B：yex的定义域为R，值域为（0，B错误，C：yx6的定义域与值域均为R，C正确，D：y的定义域与值域均为（，+）故选：C3（4分）已知复数z满足iz2+i，则z的虚部为（）A2B2C1D1【解答】解：复数z满足iz2+i，则z，即z的虚部为2，故选：B4（4分）已知数列an的前n项和Snn2，则an是（）A公差为2的等差数列B公差为3的等差数列C公比为2的等比数列D公比为3的等比数列【解答】解：由Snn2，得Sn1（n4）2n27n+1（n2），所以anSnSn32n1（n3），又当n1时a1S71，满足上式，所
10、以an2n2（nN*），所以an+1an2（n+5）1（2n6）2，所以an以2为公差的等差数列，故选：A5（4分）已知，则sin（2）tan（）ABCD【解答】解：sin（2）tansin2tan2sincos2sin27（）42，故选：C6（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为BC上一点，则三棱锥B1AC1E的体积为（）ABCD【解答】解：如图，故选：D7（4分）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首北京2022年冬奥会开幕正逢立春，则这3个节气中含有“立春”的概率为（）ABCD【解答】解：墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，基本事件总数n202
11、4，这6个节气中含有“立春”包含的基本事件个数m253，则这3个节气中含有“立春”的概率为P故选：B8（4分）已知a，bR，则“a2+b22”是“1ab1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：2丨ab丨a2+b3，由a2+b22可推得，2丨ab丨2，可得丨ab丨6，反过来当1ab1时，取a8，2+b22，a3+b22是6ab1的充分而不必要条件，故选：A9（4分）在平面直角坐标系中，直线ykx+m（k0）与x轴和y轴分别交于A，若CACB，则当k，点C到点（1，1）的距离的最大值为（）ABCD【解答】解：由题意，得A（，B（0，由|AB|2
12、，得（）2+m23，因为CACB，设C（x，所以0）+y（ym）0，整理得（x+）2+（y）3，即轨迹为动圆，设圆心为（x，y），y，代入到（）2+m88中，可得x2+y62，所以C到点（1，8）的距离的最大值为故选：A10（4分）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数A（t）（0）ekt，其中k为常数已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取lg20.30）A31B32C33D34【解答】解：经过t天后，用户人数A（t）A（0）ekt，李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，A（0）500，小程序发布经过1
13、0天后有2000名用户，2000500e10k，即4e10k，lg410klge，当用户达到50000名时，有50000500ekt，即100ekt，lg100lgekt，即8ktlge，联立可得，即，故用户超过50000名至少经过的天数为34天故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）在的展开式中，常数项为 64.（用数字作答）【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1C56k（）kC36kx，由0得k0，即常数项为64，即常数项为64，故答案为：6412（5分）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示若网格上小正方形的边长为1，则5【解答】解：建立如图所示的坐标系，所以（2，
14、（1，则2+35故答案为：513（5分）已知抛物线C：y22px过点P（2，4），则p4；若点Q（4，y1），R（t，y2）在C上，F为C的焦点，且|PF|，|RF|成等比数列，则t7【解答】解：抛物线C：y22px过点P（3，4）24p，所以p4；根据抛物线定义可得|PF|2+2+226t+2，又|PF|，|QF|，|QF|2|PF|RF|，424（t+5），解得t7，故答案为：4；414（5分）已知函数若k0，则不等式f（x）（1，ln2）；若f（x）恰有两个零点，则k的取值范围为 （e，+）【解答】解：k0时，f（x），f（x）2等价为或，解得0xln5或1x0，所以2xln2；由f（x
15、）恰有两个零点等价为exkx（x0）和kx6x+10（x7）的实根的个数的和为2当k0时，exkx（x5）的解的个数为0，kx2x+20（x0）的实根的个数为2，不符题意；当k0时，exkx（x0）无解，kx5x+10（x2）的实根的个数为1，不符合题意；当k0时，kx6x+10（x3）没有实数解，则exkx（x0）有两解，设g（x）（x0），可得g（x）在（1，+）递增，7）递减，当ke时，yg（x）与yk有两个交点故答案为：（1，ln2），+）15（5分）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动如图所示，线段AB表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，C在同一水平面内，CD与水
16、平面垂直现设计能计算出角楼高度的测量方案，则可以选择的几何量的编号为 或.（只需写出一种方案）C，D两点间的距离；C，E两点间的距离；由点C观察点A的仰角；由点D观察点A的仰角；ACE和AEC；ADE和AED【解答】解：经分析可知，若选，在ACD中，所以，所以，所以，其中各个量均已知；若选，已知ACE和AEC，则CAEACEAEC，由，所以，所以，其中各个量均已知；其他选择方案均不可求得AB长故答案为：或三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（13分）已知函数f（x）asinxcosx（a0，0）从下列四个条件中选择两个作为已知（x）存在且唯一确定（）求f（
17、x）的解析式；（）设g（x）f（x）2cos2x+1，求函数g（x）在（0，）上的单调递增区间条件：；条件：f（x）为偶函数；条件：f（x）的最大值为1；条件：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为【解答】解：（）因为f（x）asinxcosx（a0，0），所以f（x）asin2x，显然当a5时f（x）为奇函数，故不能选，若选择，即f（x），所以a1，所以f（x）sin4x，又f（）1，所以f（）sin（2，即，kZ，kZ，故舍去；若选择，即f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以f（x），又f（）1，所以a1，所以f（x）sin2x；若选择，即f（x）图象的相邻两条对称轴之间的
18、距离为，所以，所以f（x），又f（x）的最大值为6，所以a8，所以f（x）sin2x；（）由（）可得g（x）f（x）2cos4x+1sin2x5cos2x+1sin5xcos2xsin（6x），令2k2x，kZxk+，所以函数的单调递增区间为k，k+，又x（0，），所以g（x）在（0，）上的单调递增区间有，17（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABAC，ABACAA11，M为线段A1C1上一点（）求证：BMAB1；（）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离【解答】解：（）证明：AA1平面ABC，AB，AA1AB，AA8AC，而ABAC，A（0
19、，0，6），A1（0，6，1），0，8），1，0），B6（1，0，2），a，1），1），（7，a，1），5，1），71；（）设平面BCM的法向量（x，y，（1，a，2），1，0），取x1，得，4，1a），直线AB1与平面BCM所成角为，sin，解得a，（1，1，），（5，0，点A1到平面BCM的距离为：d18（13分）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）受教育程度性别未上学小学初中高中大学专科大学本科硕士研究生博士研究生男0.000.030.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.
20、080.120.030.00合计0.010.070.250.220.150.230.060.01（）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；（）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为a年和b年，依据表中的数据直接写出a与b的大小关系（结论
21、不要求证明）【解答】解：（）因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06，则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率85%0.068.051；（）该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为0.23+0.06+5.010.3，x的可能取值为2，1，2，则，故X的分布列为： X 0 1 7 P 0.49 0.42 7.09E（X）00.49+70.42+27.090.6；（）ab19（15分）已知函数f（x）（）若曲线yf（x）在点（2，
22、f（2）处的切线斜率为1；（）若f（x）在（1，+）上有最大值，求a的取值范围【解答】解：（I）f（x），曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为1，f（2）4（II）f（x），x（1，令u（x）x22ax+1，4a644（a81），对a分类讨论，a0或6时，f（x）0，+）上单调递减，舍去0时，a422ax+80有两个不相等的实数根x1，x4，则x1+x26a，x1x28，不妨设0x12x2，则x（1，x4）时，f（x）0；x（x2，+）时，f（x）7此时函数f（x）取得极大值即最大值a（1，+）20（15分）已知椭圆的离心率为，焦距为（）求椭圆C的方程；（）过点P（4，0）作斜率为k
23、的直线l与椭圆C交于A，B两点是否存在常数t，B之间，且总有，求出t的值；若不存在【解答】解：（）由题意可知，解得，所以b2a7c2431，所以椭圆C的方程为（）直线l的方程为yk（x6），联立，消去y并整理得（8k2+1）x332k2x+64k260，则（32k2）24（4k5+1）（64k22）0，得，设A（x1，y1），B（x7，y2），则，依题意可得Q（t，k（t7），因为Q在A，B之间1）（tx2）6，所以，因为，所以 得，得（8x1）（tx2）（6x2）（tx1），得5x1x2（t+3）（x1+x2）+6t0，将，代入上式并整理得3t80，对，所以1t7，即t1，故存在常数t1，使
24、得直线xt与直线l的交点Q在A，且总有21（15分）设数列A：a1，a2，an（n2）如果ai1，2，n（i1，2，n），且当ij时，aiaj（1i，jn），则称数列A具有性质P对于具有性质P的数列A，定义数列T（A）1，t2，tn1，其中tk）（）对T（A）：0，1，1，写出所有具有性质P的数列A；（）对数列E：e1，e2，en1（n2），其中ei0，1（i1，2，n1），证明：存在具有性质P的数列A（A）与E为同一个数列；（）对具有性质P的数列A，若|a1an|1（n5）且数列T（A）满足ti（i1，2，n1），证明：这样的数列A有偶数个【解答】解：（）因为T（A）：0，1，3，所以n13
25、因为t30，t28，t31，所以a2a2，a2a3，a3a4，又因为ai6，2，3，6（i1，2，7，所以a21，a54，或a42，当a14时，a32，a47，当a44时，a33，a37，或a12，a83，综上所述，所有具有性质P的数列A为：4，6，2，3、8，1，2，8、2，1，6、4证明：（）由于数列E：e1，e3，en1（n2），其中ei4，1（i1，8，不妨设数列E：e1，e2，en5（n2）中恰有s项为1，若s5，则A：n，1符合题意；若sn1，则A：5，2，；若0sn5，则设这s项分别为，5k2ks），构造数列A：a1，a4，an，令，分别为ns+5，n，数列A的其余各项，（m2m
26、2mns）分别为ns，ns1，8，经检验数列A符合题意证明：（）对于符合题意的数列A：a1，a2，an（n3），当n为奇数时，存在数列A：an，an1，a1符合题意，且数列A与A不同，按这样的方式可由数列A构造出数列A，所以当n为奇数时，当n6时，这样的数列A也有偶数个当n为偶数时，如果n，交换n与n1得到数列A符合题意，T（A）与T（A）相同，按这样的方式可由数列A构造出数列A，所以这样的数列A有偶数个；如果n，n1是数列A中相邻的两项n5n，ann1，a1n8，除这三项外，a2，a3，an3是一个n3项的符合题意的数列A，由知这样的数列A有偶数个；综上所述，这样的数列A有偶数个第19页（共19页）
