1、1不定方程的定义与不定方程主要讨论的问题不定方程的定义与不定方程主要讨论的问题 未未知知量量个个数数多多余余方方程程个个数数的的整整系系数数方方程程（组组）其其解解受受到到某某种种限限制制（如如：只只求求正正整整数数解解或或是是整整数数 解解义义 定定等等等等）。 (1)(1)有有无无解解；(2)(2)有有多多少少个个解解；(3)(3)解解的的结结构构 讨讨论论；（4 4）如如的的问问题题：何何求求解解。2二元一次不定方程二元一次不定方程axbycab 形形如如其其中中( ( ， 均均不不为为零零）的的整整系系数数方方程程叫叫做做二二元元一一次次不不定定方方程程。定定义义 2( , )| .a
2、xbyca bc 不不定定方方程程有有解解的的充充分分必必要要条条件件定定理理 （ 判判别别有有无无解解）是是300axbyc即即 0(1),:y0 0必必要要性性如如果果不不定定方方程程ax+by=cax+by=c有有解解x x证证明明因因为为(a,b)|a,b,(a,b)|a,b,则则有有整整除除的的可可乘乘可可加加性性得得：(a,b)|c.(a,b)|c. (2)Z110110充充分分性性若若(a,b)|c,(a,b)|c,令令c=c(a,b),cc=c(a,b),c有有解解x x,s tZ 则则存存在在使使得得 as+bt=(a,b) as+bt=(a,b)1 1111111在在方方程
3、程两两边边同同时时乘乘以以c c 得得： a(sc )+b(tc )=c(a,b) a(sc )+b(tc )=c(a,b)=c=c40000(1)(1)(21)xyZaxbycbaxxtyyttZdd 设设( (a a, ,b b) )= = d d| |c c, ,且且，是是不不定定方方程程 的的一一个个解解（特特解解）则则的的一一切切解解可可以以表表成成 ， ， ( ( 定定理理(2)(1),(1)(2) : :需需要要证证明明两两个个方方面面, ,一一方方面面证证明明满满足足另另一一方方面面证证明明的的所所有有解解都都能能表表成成分分析析的的形形式式. .11,xscytc即即是是原原
4、不不定定方方程程的的一一个个解解。50:byc0 0由由条条件件有有:ax:ax证证明明,(1)xy设设是是不不定定方方程程的的解解，即即000)()batb ytaxbycdd0 0 则则a(xa(x 故故(2)(2)是是不不定定方方程程(1)(1)的的解解. .axbyc00axbyaxby所所以以00()()a xxb yy 即即00()()abxxyydd 0|(),)1b ab axxddd d所所以以，又又( (60|()bxxd 所所以以，0()bxxt tZd令令0bxxtd令令(2)x将将 代代入入得得到到：0ayytd,(2)(1)(2)xy即即可可表表示示成成的的形形式式
5、，从从而而的的一一切切整整数数解解可可以以表表成成的的形形式式。7 ( (1 1) )判判别别步步骤骤：有有无无解解；(2)如如果果有有解解，化化原原不不定定方方程程为为简简约约方方程程；(3)求求简简约约方方程程的的一一个个特特解解；二元一次不定方程的解法二元一次不定方程的解法(4)解解出出原原不不定定方方程程的的一一切切整整数数解解（通通解解）。81.1.观观察察法法求求特特解解74100 xy 求求的的一一切切例例1 1正正数数解解. .2 2. .用用辗辗转转相相除除求求特特解解2 111x321y75例求的一切整数解。例求的一切整数解。90000),)baxxtyyttZddbaxx
6、tyyttZdd 2 2）通通解解式式不不唯唯一一， ， ( ( 令令t t = = - -t t 则则， ， ( ( 1 1）首首先先判判别别有有无无解解？注注明明：)baxtyttZdd 3 3）当当c c= =0 0的的情情形形：通通解解式式为为：， ， ( ( 10 4 4） 系系数数a a、b b小小于于0 0时时：i i） 当当a a 0 0, ,b b 0 0时时，则则不不定定方方程程遍遍乘乘- -1 1 i i） 当当a a, ,b b一一正正一一负负，可可以以先先解解变变为为正正号号的的方方程程。 11练习练习921114223917xy1 1、解解不不定定方方程程、把把分分
7、成成二二正正整整数数之之和和，一一个个数数必必须须是是的的倍倍数数，另另一一个个数数必必须须是是2424的的倍倍数数。12定义与判断定义与判断 1122nn12n a xa xa xNn2a ,a ,a.形形如如（） (1) (1)的的整整系系数数方方程程称称多多元元一一次次不不定定方方程程（设设都都不不等等于于零零）1312nn12n a xa xa xN (a ,a ,1a ) N.(|) ：有有整整数数定定理理解解的的充充要要条条件件是是有有无无解解的的判判断断14 121122(1),1:nnnxxxa xa xa xN必必要要性性如如果果是是（ ）的的解解证证明明，即即12n12n1
8、2n12n12n12n因因为为(a ,a ,a )|a ,a ,a ,(a ,a ,a )|a ,a ,a ,则则有有整整除除的的可可乘乘可可加加性性得得：(a ,a ,a )|.(a ,a ,a )|.N (2) 12n12n充充分分性性设设(a ,a ,a )=d|N,N=dq (a ,a ,a )=d|N,N=dq (qZ12122, 则则存存在在使使得得 a annnxxxZxa xa xd1122nn1122nn所所以以有有： a (k q)+a (k q)+a (k q)=dq=N a (k q)+a (k q)+a (k q)=dq=N151 、引引入入辅辅助助未未知知量量法法1
9、122,即即q,qq,q是是(1)(1)的的一一个个解解。nnxk q xkxk多元一次不定方程的解法多元一次不定方程的解法 具具体体步步骤骤：,122233n-1nn122233n-1nn(1)(1)先先顺顺次次求求出出(a ,a )=d (d ,a )=d(d,a )=d(a ,a )=d (d ,a )=d(d,a )=d, n12nn12n则则d(a ,aa )=dd(a ,aa )=d1222331 122122233233n-1n-1n-1n-1aadaaddaddad作作方方程程组组dadannxxttxttxN16(2) (2) 解解方方程程组组中中各各个个二二元元一一次次不不
10、定定方方程程。(3) (3) 由由后后往往前前的的顺顺序序一一次次消消去去辅辅助助未未知知量量得得原原不不定定方方程程（1 1）的的通通解解。92451000 解解不不定定方方程程 例例1 1 (1) (1)xyz 因因为为(9,24)=3,(3,-5)=(3,(9,24)=3,(3,-5)=(3,解解: :5)=15)=1所所以以(1)(1)有有解解。351000 应应解解：9x+24y=3t9x+24y=3ttz351000 3x+8y=t3x+8y=t即即tz173 由由这这两两个个二二元元一一次次不不定定方方程程得得：x=3t-8ux=3t-8u(i)(i)(uZ )ytu10003
11、t=2000+5vt=2000+5v(ii)(ii)(vZ )zv20005310003 消消去去t t得得原原不不定定的的通通解解为为x=6000+15v-8ux=6000+15v-8uyvu(u,vZ )zv182 、逐逐步步降降低低系系数数法法92451000 xyz 解解不不定定方方程程 例例2 2 (1) (1) 因因为为(9,24(9,24，-5)=(9,24-5)=(9,24解解: :，-5)=1-5)=1 所所以以（1 1）有有解解。-1000+9x+24y-1000+9x+24y由由z=z=5 5x+yx+y=-200+2x+5y-=-200+2x+5y-5 55t,xtyx
12、+yx+y令令即即5 519设设z=-200+10t-2y+5y-tz=-200+10t-2y+5y-t原原不不定定方方程程（1 1）的的一一切切整整数数解解为为：u 令令y y=-200+9t+3y=-200+9t+3y20093yu(u,vZ )ztu x=5t-ux=5t-u20多元一次不定方程组的解法多元一次不定方程组的解法 111mmnm消消去去个个未未知知数数，从从而而也也就就消消去去了了个个方方程程，最最后后剩剩下下一一个个个个未未知知数数的的一一次次不不定定方方程程，这这样样就就可可以以按按多多元元一一次次不不定定方方程程的的解解法法求求解解，在在这这n-m+1n-m+1个个未
13、未知知数数有有了了解解后后，其其它它的的m-1m-1个个未未知知数数的的解解式式就就容容易易求求出出。解解n n个个未未知知数数m m个个方方程程（mn)mn)的的一一次次不不定定方方程程组组可可用用消消去去法法：21鸡鸡翁翁一一，值值钱钱五五，鸡鸡母母一一，值值钱钱三三，鸡鸡雏雏三三值值钱钱一一，百百钱钱买买百百鸡鸡，问问鸡鸡翁翁母母雏雏各各例例3 3 几几何何？ x,y,z解解：设设鸡鸡翁翁，鸡鸡母母，鸡鸡雏雏是是只只则则xyz10015x3yz1003 xyz10015x9yz300 2 （1 1）即即（ ）22由由（2 2）- -（1 1）得得：14x+8y=200 (3)14x+8y
14、=200 (3)因因为为（1414，8 8）=2=2（7 7，4 4）=2|200=2|200 x1004ty2007t 即即7x+4y=1007x+4y=100100,y200 0 0显显然然x x是是（3 3）的的一一个个特特解解。故故不不定定方方程程（3 3）的的通通解解为为：1代代如如（ ）得得：z100yx1001004t2007t3t 23 从从而而原原不不定定方方程程的的通通解解：x=-11-4tx=-11-4ty=200+7ty=200+7tz=-3tz=-3t按按题题意意求求非非负负整整数数解解：x0,y0,z0 x0,y0,z0t25262728 ，所所以以-28t-25(tZ)(-28t-25(tZ)(只只有有四四种种取取法法）24四四组组解解为为：x12x8x4x0y4 , y11, y18, y25z84z81z78z7525作业作业41008050156xyzxyz 17173 3、把把写写成成分分母母两两两两互互素素的的三三个个既既约约分分数数之之和和。6060、求求不不定定方方程程的的所所有有整整数数解解：15251002)3063606302100711xyxy1 1、解解下下列列不不定定方方程程：1)1)、把把分分成成两两份份，使使一一份份可可被被 整整除除，一一份份可可被被整整除除。
