1、9-1 结构位移计算概述结构位移计算概述一、结构位移的概念一、结构位移的概念 结构变形时，结构上某个点的移动或某个截结构变形时，结构上某个点的移动或某个截面产生的移动或转动，称为结构的位移。面产生的移动或转动，称为结构的位移。 结构的位移有两大类。结构的位移有两大类。一类是线位移一类是线位移，指结，指结构上某点沿直线方向移动的距离。构上某点沿直线方向移动的距离。另一类是角位另一类是角位移移，指结构上某截面转动的角度。，指结构上某截面转动的角度。绝对位移绝对位移：线位移和角位移杆件结构中某一截面位置或方向的改变。相对位移相对位移：相对线位移和相对角位移两个截面位移的差值或和。广义位移广义位移：绝
2、对位移和相对位移的统称。FPCDDABCCHCVCCDDVCD二、产生位移的原因二、产生位移的原因cc1t12tt （2）温度变）温度变化、材料胀缩化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差）支座沉降、制造误差AVBV以上都是绝对位移以上都是绝对位移以上都是相对位移以上都是相对位移广义位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便（1）荷载）荷载三、计算位移的目的三、计算位移的目的（1）刚度验算；）刚度验算；（2）超静定结构分析的基础；）超静定结构分析的基础；（3）施工措施、建筑起拱、预应力等。）施工措施、建筑起拱、预应力等。四、体系（结构）
3、的物理特性四、体系（结构）的物理特性 本章只讨论本章只讨论线性变形体系的位移计算线性变形体系的位移计算，计算的，计算的理论基础是虚功原理理论基础是虚功原理，计算的，计算的方法是单位荷载法方法是单位荷载法。线性变形体系线性变形体系是指位移与荷载成线性关系的体系，是指位移与荷载成线性关系的体系，当荷载全部撤除后，位移将完全消失。当荷载全部撤除后，位移将完全消失。非线性体系：非线性体系：（1） 物理非线性；物理非线性；（2）几何非线性（大变形）。）几何非线性（大变形）。此体系的应用条件是此体系的应用条件是：（1）应力、应变满足虎克定律；应力、应变满足虎克定律；（2）变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作
4、用位）变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用位置不变，位移计算可用叠加原理；置不变，位移计算可用叠加原理；（3）体系几何不变，约束为理想约束。）体系几何不变，约束为理想约束。9-2 虚功和虚功原理虚功和虚功原理一、虚功一、虚功一个不变的力所做的功是以该力的大小与其作用一个不变的力所做的功是以该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积来衡量。点沿力方向相应位移的乘积来衡量。W=PW 功，单位是功，单位是NmP力力 与力相应的位移与力相应的位移把此式的定义扩大：把此式的定义扩大： 实功实功是力在自身引起的位移是力在自身引起的位移上所作的功。上所作的功。 虚功虚功是力在虚位移上作的功。是力在虚位移上作
5、的功。如力与位移同向，虚功为正，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。反向时，虚功为负。（9-1）1 1、广义力与广义位移、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力与力有关的因素，称为广义力S S。与位移有关的因素，称为广义位移与位移有关的因素，称为广义位移。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：即：W W= =P P1 1）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线方向的线位移。方向的线位移。2 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所
6、作用的）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角截面的转角，即角位移。，即角位移。3）若广义力是等值、反向的一对力）若广义力是等值、反向的一对力P这里这里是与广义力相应的广义位移。表示是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改两点间距的改变，即变，即AB两点的相对位移。两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶）若广义力是一对等值、反向的力偶 m这里这里是与广义力相应的广义是与广义力相应的广义位移。位移。表示表示AB两截面的相对转角。两截面的相对转角。BAPPT)(BAP PBAmmT)(BAm mPPABABmm A B2 2、虚功、虚功 为了与实功相区别，虚功的虚是指
7、力作功的位移不是由该力本身引起的，则： 作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。虚功 = 力 相应于力的位移独立无关二、刚体体系虚功原理的两种应用二、刚体体系虚功原理的两种应用 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理为：原理为：设体系上作用任意的平衡力系，设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。总和恒等于零。 即：即： W e = 0 理想约束理想约束约束力在可能位移上所作的功恒约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束
8、，如：光滑铰链、刚性链杆等。等于零的约束，如：光滑铰链、刚性链杆等。 刚体刚体 具有理想约束的质点系。刚体内力具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可能位移上所作的功恒为零。在刚体的可能位移上所作的功恒为零。（9-2） 虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的基础。基础。 因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为虚设的。虚设的。 根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应根据
9、虚设的对象不同，虚功原理有两种应用形式，解决两类不同的问题。用形式，解决两类不同的问题。 虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚体体系，也适用于变形体体系。体体系，也适用于变形体体系。1、求静定结构的未知约束力、求静定结构的未知约束力 应用虚功原理计算静定结构某一约束力应用虚功原理计算静定结构某一约束力X（包（包括支座反力或任一截面的内力）步骤如下：括支座反力或任一截面的内力）步骤如下： （1）撤除与）撤除与X相应的约束，代以相应的约束力相应的约束，代以相应的约束力X，使原来的静定结构变为具有一个自由度的机构，约使原来的静定结构变为具有一个自由度的机构，约束力
10、束力X变成主动力变成主动力X，X与原来的力系维持平衡。与原来的力系维持平衡。 （2）令机构发生一刚体体系的可能位移，沿）令机构发生一刚体体系的可能位移，沿X正正方向相应的位移为单位位移，即方向相应的位移为单位位移，即x=1，这时，与荷，这时，与荷载载P相应的位移为相应的位移为p，得到一个虚位移状态。，得到一个虚位移状态。（3 3）在平衡力系和虚位移之间建立虚功方程）在平衡力系和虚位移之间建立虚功方程X1+P p=0（4 4）求出单位位移）求出单位位移x x=1=1与与p p之间的集合关系，代之间的集合关系，代入虚功方程，得到入虚功方程，得到X=-P p这种求约束力和内力的方法，称这种求约束力和
11、内力的方法，称单位位移法单位位移法。见教。见教材材P137P137例例9.19.12、求静定结构的未知位移、求静定结构的未知位移例1： 图示简支梁，支座A向上移动一已知距离c1 ,现在拟求B点的竖向线位移B。解解：已给位移状态;虚设力状态，在拟求位移B方向上加一单位荷载FP=1，形成平衡力系。c1BFP=1FR1= - b/a虚功方程：虚功方程：B B 1+c1FR1 =0 由平衡方程求出：由平衡方程求出： FR1 = - b/a B B=FPc1=b/a c1注：注： a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若设设FP=1，称为虚单位荷载法。，称为
12、虚单位荷载法。 b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静力平衡求解几何问题。力平衡求解几何问题。 c c、方程求解的关键，在于拟求、方程求解的关键，在于拟求方向虚设单位方向虚设单位荷载，利用力系平衡求出与荷载，利用力系平衡求出与c c1 1相应的相应的R1, ,即利用平衡即利用平衡方程求解几何问题。方程求解几何问题。 上述方法也可称为上述方法也可称为“单位荷载法单位荷载法” c1B BFP=1FR1= - b/a d、通过上例可推出静定结构支座移通过上例可推出静定结构支座移动时，位移计算的一般公式。动时，位移计算的一般公式。 注：因为静定结构在支座移动
13、作用下，不注：因为静定结构在支座移动作用下，不产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。3、支座移动时静定结构的位移计算（属、支座移动时静定结构的位移计算（属刚体体系的位移计算问题）刚体体系的位移计算问题） 当支座有给定位移ck时（可能不止一个）， （a）沿拟求位移方向虚设相应单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力FRK。 （b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：（c）由虚功方程，解出所求位移：（9-3）（9-4） 例例1: 图示三铰刚架，支图示三铰刚架，支座座B下沉
14、下沉c1，向右移动，向右移动c2。求铰。求铰 C的竖向位的竖向位移移CV和铰左右截面和铰左右截面的相对角位移的相对角位移C。l/2l/2lc1 c2 CV Cl/2l/2lc1 c2 CV C实际状态实际状态FP=11/21/21/41/4虚拟状态虚拟状态 CV =-FRKcK=- -1/2c1 1/4c2 =c1/2+ c2/4 ()l/2l/2lc1 c2 CV C实际状态实际状态C=-FRK cK=- -1/lc2= c2 /l ( )MP=11 /l1 /ldBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虚功方程：虚功方程：01dMmdMm 例例2、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由
15、于某种原因产生相处由于某种原因产生相对转角对转角d ，试求，试求A点在点在ii方向的位移方向的位移 。m 解：解：在在B处加铰（将实际位处加铰（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的移状态明确地表示为刚体体系的位移状态）。位移状态）。 A点加单位荷载点加单位荷载FP=1，在铰在铰B处虚设一对弯矩处虚设一对弯矩M（为（为保持平衡）保持平衡）BAiiBAQdQ1AQsin1Q01dQQdQQ 例例3、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对处由于某种原因产生相对剪位移剪位移d ，试求试求A点在点在ii方向的位移方向的位移 。Q 解：解：、在、在B截面处加截面处加机构如图（将实际位移状态机构
16、如图（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位明确地表示为刚体体系的位移状态）。移状态）。 、A点加单位荷载点加单位荷载FP=1，在铰，在铰B处虚设一对剪处虚设一对剪力力Q（为保持平衡）（为保持平衡） 例例4、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向处由于某种原因产生轴向位移位移d 试求试求A点在点在方向的位移方向的位移 。NBABAii NNBA 1NN由平衡条件：由平衡条件：cos1N虚功方程：虚功方程：01dNNdNN 当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三者的叠加，有：即是三者的叠加，有：dNdQdMNQ
17、Md9-3 9-3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式变形体的位移计算变形体的位移计算 结构属于变形体，在一般情况下，结构内部结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体产生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体系的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普系的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。遍。 推导位移计算一般公式有几种途径：推导位移计算一般公式有几种途径： 1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一般公式。 2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公式。 一、局部变形时的位移计算
18、公式一、局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsdddRii ddsddsddRdsR1（1）三种应变：）三种应变：设静定结构中的某个微段设静定结构中的某个微段ds出现局部变形，微段两出现局部变形，微段两端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形，仍然是刚体，变形，仍然是刚体，分析局部变形所引起的位移。分析局部变形所引起的位移。轴线曲率轴线曲率R为杆件轴向变形为杆件轴向变形后的曲率半径后的曲率半径B弯曲应变弯曲应变AdsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds 1Q,N,M（2）微段两端相对位移：）微段两端相对位移：轴
19、向伸长应变轴向伸长应变平均剪切应变平均剪切应变BA续基本思路：续基本思路：,0ds 设设 三种相对位移还存在，相当于整个三种相对位移还存在，相当于整个结构除结构除B截面发生集中变形外，其他部分都是刚体未截面发生集中变形外，其他部分都是刚体未变形，变形，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求，于是可以利用刚体虚功原理求局部变形位移。局部变形位移。（3）应用刚体虚功原理求出点）应用刚体虚功原理求出点A的位移的位移d 即前例即前例的结论。的结论。dQdNdMdQNM或或ds)QNM(d（9-5）二、结构位移计算的一般公式二、结构位移计算的一般公式iidsQNMdl)(如果结构由多个杆件组成
20、，则整个结构变形引起某点如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：的位移为：dsQNMl)(若结构的支座还有给定位移，则总的位移为：若结构的支座还有给定位移，则总的位移为：kkcRds)QNM(由叠加原理：由叠加原理： 总位移=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小 位移d（9-6）kkcRds)QNM(单位荷载虚功单位荷载虚功 = 所求位移所求位移其中包含：其中包含：弯曲变形对位移的影响弯曲变形对位移的影响M ds （9-7）轴向变形对位移的影响轴向变形对位移的影响NFds （9-8）剪切变形对位移的影响剪切变形对位移的影响0QFds （9-9）支座移动对位移的影响支座移动对
21、位移的影响RKKFc （9-10） 变形体虚功原理变形体虚功原理 各微段内力在应变上所作的内虚功总和各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和位移上所作的外虚功总和We 。即：即：dsQNMcRkk1ieWW （9-11）（9-12）适用范围与特点：适用范围与特点：2 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。【给出已给出已知变形（内部变形知变形（内部变形、0 和支座位移和支座位移c ck k），与拟求），与拟求位移位移之间的关系。之间的关系。】关于公式普遍性的讨论：关于公
22、式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。）产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。（3）结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。）结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。（4）材料种类：弹性与非弹性，各种变形固体材料。）材料种类：弹性与非弹性，各种变形固体材料。1 1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。kkcRds)QNM(1c2cdsds1t2tKK 11R2R
23、dsddsdddsdsdsMdsNdsQ外虚功：外虚功：kkecR1W内虚功：内虚功：dsQNMWi三、结构位移计算的一般步骤三、结构位移计算的一般步骤 已知结构杆件各微段的应变已知结构杆件各微段的应变、0 0（根据（根据引起变形的原因而定），支座移动引起变形的原因而定），支座移动c ck k，求结构某点求结构某点沿某方向的位移沿某方向的位移。1、沿欲求、沿欲求方向设方向设FP=1。 2、根据平衡条件求出、根据平衡条件求出FP=1作用下的作用下的M、FN、FQ、FR。3、根据公式、根据公式 可求出可求出。注意正负号：注意正负号： 位移计算公式中各乘积表示，力与变形方向一致，乘积为正，反之为负。
24、 求得为正，表明位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。kkcRds)QNM(9-4 9-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算一、荷载作用下的结构位移计算公式一、荷载作用下的结构位移计算公式 根据公式根据公式 本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微段应变段应变 、 、 0 是由荷载引起的（实际位移状是由荷载引起的（实际位移状态），由荷载态），由荷载内力内力应力应力应变顺序求出。应变顺序求出。（9-6） 由材料力学公式可知：由材料力学公式可知： 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切应变可表示为：应变可表示为： 弯曲应变：弯曲
25、应变： = MP /EI 轴向应变：轴向应变： = NP /EA (9-13) 平均剪切应变：平均剪切应变： 0= k QP /GA式中：式中： NP， QP ， MP是荷载作用下，结构各截面上是荷载作用下，结构各截面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的内力。内力。E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。材料的弹性模量和剪切弹性模量。A，I杆件截面的面积和惯性矩。杆件截面的面积和惯性矩。EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯刚度。刚度。k是与截面形状有关的系数（剪应力分布不均是与截面形状有关的系数（剪应力分布不均匀
26、系数）匀系数） 计算公式计算公式 （9-14）dAbsIAkA222 将将（9-14）代入代入（9-6）可得荷载作用下平面可得荷载作用下平面杆件结构弹性位移计算的一般公式：杆件结构弹性位移计算的一般公式：dsEIMMdsGAFFkdsEAFFPQPQNPNKP（9-15）将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。正负号规定：正负号规定：N 、 NP 拉力为正；拉力为正；Q 、 QP 同材料力学同材料力学M、 MP使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式（1）梁和刚架：位
27、移主要由弯曲变形引起。）梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。 （2）桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和各杆）桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。轴力沿杆长一般为常数。（9-16）（9-17）（3）组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只有轴力。（4）拱： 扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时： 通常情况： （9-18）（9-19）（9-20）例例: 简支梁的位移计算。简支梁的位移计算。 求图示简支梁中点求图示简支梁中点C的竖向位移的竖向位移CV 和截面和截面B的转角的转角B。解：求C点的竖向位移。 虚拟状态如图；FP=11/2 实际状态 虚拟状态MP=q(lx-x2)/2M=x/2
28、QP=q(l-2x)/2Q=1/2 因对称性，只计算一半。三、三、 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响：讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响： 设简支梁为矩形截面，设简支梁为矩形截面，k=1.2, I /A= h2 / 12, 横向变形系数横向变形系数 =1/3, E/G=2(1+ )=8/3。 Q / M = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI) =9.6/l2kE/G I /A = 2.56(h/l)2GAkqlEIqldxxlqGAkdxxlxqxEIlCV83845)2(22112)(22122422/0 l/20当当 h/l
29、 =1/10时时, 则：则：Q / M =2.56 对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。 但当梁但当梁h/l1/5时时, 则：则：Q / M =10.2则对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。则对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。求截面求截面B的转角的转角B 。 虚拟状态如图所示。虚拟状态如图所示。M=11/l实际状态实际状态 虚拟状态虚拟状态MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l)( 逆时针EIqldxxlxqlxEIlB24)(2)(1320 计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。
30、1/l 例例: 图示一屋架，图示一屋架，屋架的上弦杆和屋架的上弦杆和其他压杆采用钢其他压杆采用钢筋混凝土杆，下筋混凝土杆，下弦杆和其他拉杆弦杆和其他拉杆采用钢杆。采用钢杆。 试求顶点试求顶点C的的竖向位移。竖向位移。解：解： （1）求）求NP先将均布荷载先将均布荷载q化为结点荷载化为结点荷载FP=ql/4 。求结点荷载作用下的求结点荷载作用下的FNP 。0.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0- 4.74- 4.42- 0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10
31、.50.5FN（2） 求-1.58-1.58001.51.59-5 9-5 图乘法图乘法一、图乘法的适用条件一、图乘法的适用条件 计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分： dxEIxMxMdsEIMMKiP符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为：比较简便。适用条件为：（1）杆轴为直线；）杆轴为直线；（2）杆段）杆段 EI = 常数；常数；（3）M和和MP中至少有一个是直线图形中至少有一个是直线图形。二、图乘公式二、图乘公式 图示为图示为AB杆的两个弯杆的两个弯矩图。矩图。 M为直线图形，为
32、直线图形， MP 为任意图形。为任意图形。 该杆截面抗弯刚度该杆截面抗弯刚度EI=常数。常数。OOMP图图 M图图由由M图可知：图可知：M= y= x tandxdA=MPdxyxCxCyCAB1PPMMdsMM dxEIEI 1tanPxM dxEI1tanxdAEICxdAA x= xC tana=yC=(M MP /EI)ds= 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式由此可见，当满足上述三个条件时，积分式的值的值就等于就等于MP图的面积图的面积A乘其形心所对应乘其形心所对应M图上的竖标图上的竖标yC，再除以，再除以EI。 正负号规定：正负号规定： A与与yC在基线的同一侧时为正，反之为负
33、。在基线的同一侧时为正，反之为负。A xC tana1EIAyC1EI（9-21）三、应用图乘法计算位移时的几点注意三、应用图乘法计算位移时的几点注意1、应用条件：、应用条件： 杆段必须是分段等截面（直杆）；杆段必须是分段等截面（直杆）；EI不能是不能是x的函数；两图形中必有一个是直线图形，的函数；两图形中必有一个是直线图形，yC取取自直线图形中。自直线图形中。2、正负号规定：、正负号规定： A与与yC同侧，乘积同侧，乘积 A yC取正；取正； A与与yC不同侧，不同侧，则乘积则乘积A yC取负。取负。3、几种常用图形的面积和形心位置：、几种常用图形的面积和形心位置： 见书见书P.146,图图
34、9.13，注意正面积和斜面积是相，注意正面积和斜面积是相同的。同的。 曲线图形要注意图形顶点位置。曲线图形要注意图形顶点位置。 4、如果两个图形均为直线图形，则标距、如果两个图形均为直线图形，则标距yC可取自任何一个图形。可取自任何一个图形。 5、当、当yC所属图形是由所属图形是由几段直线组成的折线图形，几段直线组成的折线图形，则图乘应分段进行。在折则图乘应分段进行。在折点处分段图乘，然后叠加。点处分段图乘，然后叠加。（为什么？）（为什么？）A1y1A2y2A3y3 当杆件为阶段变化杆当杆件为阶段变化杆件时（各段件时（各段EI=常数），应常数），应在突变处分段图乘，然后叠在突变处分段图乘，然后
35、叠加。加。（为什么？）（为什么？）6、把复杂图形分为简单图形、把复杂图形分为简单图形 （使其易于计算面积和判断形心位置）（使其易于计算面积和判断形心位置） 取作面积的图形有时是不规则图形，面积取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。加。 （1）、如两图形均）、如两图形均为梯形，不必求梯形形为梯形，不必求梯形形心，可将其分解为两个心，可将其分解为两个标准三角形进行计算。标准三角形进行计算。ABCDabMPlcdMC1yC1C2yC2ACD
36、MPC1aADBbMPC2MP=MP+MP=(1/EI)MMPds =(1/EI) M(MP+MP)ds=(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2) yC2=l6EI(2ac+2bd+ab+bc)yC1=c+1/3(d-c)=1/3d+2/3cyC2=c+2/3(d-c)=2/3d+1/3c (2)、左图也可分为两、左图也可分为两个标准三角形，进行图个标准三角形，进行图乘运算。乘运算。ABCDabMPcdMlC1yC1yC2C2C1abC2MPMP=(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2) yC2其中其中: yC1=2c/3 - d/3 yC2= (2d/3 - c/3)=l6EI(2a
37、c+2bd-ab-bc)O（3）、一般情况 右图所示为某一段杆(AB)的MP图。可将此图分解为三个图形，均为标准图形，然后与M图图乘，图乘后叠加。四、示例 例1、求悬臂梁中点C的挠度CV，EI=常数。 解： （1）、设虚拟力状态如图，作M和MP。由于均为直线图形，故AP可任取。FPl/2l/2CVFPMPFP l1l/2MA5FP l/6 M: A=1/2l/2l/2=l2/8MP: yC=5/6FP lCV=AyC /EI =(l2/85/6FP l)/EI =5FP l3/48EI () (2)、讨论若： AP=1/2FPll=Pl2/2 yC=1/3l/2=l/6CV=APyC /EI
38、=(FPl2/2l/6)/EI =FP l3/12EI()对否？错在哪里？FPl/2l/2CVFPMPFP lAP1l/2Ml/6FPl/2l/2CVFPAP1l/23、正确的作法、正确的作法AP1=1/2FP ll/2=FP l2/4 y1=l/3AP2=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y2=l/6AP3=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y3=0FP lCV=APyC/EI =(FP l2/4l/3+ FP l2/8 l/6+FP l2/8 0)/EI =5FP l3/48EI ()60kN12kN例例: 图示刚架，用图示刚架，用图乘法求图乘法求B端转角端转角B ; CB
39、杆中点杆中点D的的竖向线位移竖向线位移DV。各杆各杆EI=常数。常数。EI=常数 解解: 1、作荷载作用下结构的弯矩图。、作荷载作用下结构的弯矩图。72kN72kN12kN25245=1/8106290MP图 (kNm)2、作虚拟力状态下的图M。M=11M3、求B。图乘时注意图形分块。C1C2y1y2C3C4y3y412*6+1/2*10*62=25212*6+60*3=2521/4*60*6=901/2*90*1/2*6*2/3+ 1/2*90*1/2*6*1/3=1/2*90*6 * (1/2)2524590MP图 (kNm)14、作虚拟力状态下的图 M。5、求CV，图乘时注意图形分块。3
40、M (m)81C1C2C3C4C5y1y2y3y4y545/4=1/32ql2例：例：q=16kN/m64kNm64kNm16kNm16kNm 求铰求铰C左右截面相左右截面相对转角对转角C。 各杆各杆EI=5104 kNm2 。解： 作荷载作用下的弯矩图；虚拟力作用下的弯矩图。 （注意：斜杆弯矩图的做法；各弯矩图的单位。）32=1/8164232C=2(1/2805)(2/35/8)+(1/2805)(2/35/8+1/31) -(2/3325)(1/25/8+1/21)/EI kNm m kN/m2 =0.005867 （弧度） 方向与虚拟力方向一致。9-6 静定结构温度变化时的位移计算静定
41、结构温度变化时的位移计算 平面杆件结构位移计算的一般公式平面杆件结构位移计算的一般公式6)-(9 dsMdsFdsFQNK在此：在此：， 由温度作用引起。由温度作用引起。注意静定结构特征：注意静定结构特征： 组成：无多余约束的几何不变体系； 静力：温度作用下静定结构无反力、内力；杆件有变形，结构有位移。 温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变形和位移。形和位移。1、温度变化时静定结构的特点：、温度变化时静定结构的特点：（1）有变形（热胀冷缩）有变形（热胀冷缩） 均匀温度改变（轴向变形）；均匀温度改变（轴向变形）； 不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）；不均
42、匀温度改变（弯曲、轴向变形）； 无剪切变形。无剪切变形。（2）无反力、内力。）无反力、内力。2、微段由于温度改变产生的变形计算、微段由于温度改变产生的变形计算设温度沿截面厚度设温度沿截面厚度h直线变化。直线变化。（1）轴向伸长（缩短）变形：）轴向伸长（缩短）变形： 设杆件上边缘温度升高设杆件上边缘温度升高t10，下，下边缘升高边缘升高t20。形心处轴线温度：。形心处轴线温度： t0 =(h1t2+h2t1)/h （截面不对称于形心轴时）（截面不对称于形心轴时） t0 =(t2+t1)/2 （截面对称于形心轴时）（截面对称于形心轴时） du = ds = t0 ds 材料线膨胀系数。材料线膨胀系
43、数。ds形心轴形心轴 +t1 +t2 t0 h h1 h2t1dst2dsdud (2) 由上下边缘温差产生的弯曲变形：由上下边缘温差产生的弯曲变形： 上下边缘温差 t = t2 t1 d= ds = (t2-t1)/h ds=t /h ds（3）温度作用不产生剪切变形）温度作用不产生剪切变形 ds =03、温度作用时位移计算公式、温度作用时位移计算公式（9-22）如t0，t和h沿每杆杆长为常数，则：（9-23） 正负号：轴力FN以拉力为正，t0以温度升高为正。弯矩M和温差t用其乘积定正负号，比较虚拟状态的变形与实际状态中由于温度变化引起的变形，若使杆同侧产生拉伸变形时，则取正号，反之，则取负
44、号。 刚架（梁）中由温度变化引起的轴向变形不可忽略。例： 图示刚架，施工时温度为200C，试求冬季当外侧温度为-100C，内侧温度为00C时，点A的竖向位移AV，已知=10-5，h=40cm（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外侧温度改变：t1= - 10 20 = - 300内侧温度改变：t2 = 0 20 = - 200-300C-200Cl=4ml=4mA-300C-200CFP=1FNFN=0FN= -1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（ -3020）/2= - 250t= t2 - t1= - 20 -（- 30）=100AV= (-25) (-1) l+(-)10
45、/h (1/2ll+ll) = - 0.5 cm ( )提问：（1）、若当结构某些杆件发生尺寸制造误差，要求结构的位移，应如何处理？ 应根据位移计算的一般公式进行讨论。 特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件中找、即可。dsFdsFdsMQN （2）、静定结构由荷载、温度改变、支座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共同作用下，产生的位移应如何计算？ 可先分开计算，在进行叠加9-7 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理状态状态状态一、功的互等定理一、功的互等定理 贝蒂（ E. Betti 意 18231892）定理FP1FP1FR1FP2211212d
46、sds 令状态上的力系在状态的位移上作虚功 (a) dsEIMMdsGAkFFdsEAFFWQQNN21212112 令状态上的力系在状态的位移上作虚功 (b) dsEIMMdsGAkFFdsEAFFWQQNN12121221 比较（a）、（b）两式，知： W12=W 21 （9-24）FP112= FP221或写为： 虚功W有两个下标，第一个下标表示做功的力系状态，第二个下标表示相应的变形状态。功的互等定理： 在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上作的虚功W12，等于第二状态上的外力在第一状态上作的虚功W21。功的互等定理应用条件：（1）材料弹性，应力与应变成正比。 （2）小变形
47、，不影响力的作用。即 为线性弹性体系。应用时注意： 广义力 广义位移对应对应 由：W12=FP112 ， W21=FP221 有：W12=W21， FP112=FP212 FP1122M2M212112 二、位移互等定理二、位移互等定理 （位移影响系数互等）（位移影响系数互等）位移互等定理是功的互等定理的一个特殊情况。位移互等定理： 在任一线性弹性体系中，由单位荷载FP2=1所引起的与荷载FP1相应的位移12，等于由荷载FP1=1所引起的与FP2相应的位移21。两种状态如图示 ij单位力FPj=1在i方向上引起的与FPi相应的位移，也称位移系数。由功的互等定理 W12 = W21 FP112=
48、 FP221 FP1= FP2=1 12= 21 (9-25)注：注：数值相同，量纲相同。FP1=1FP2=12112例：如图所示，根据位移互等定理，可求得：A=FPl2/16EI fC= Ml2/16EI现 FP=M=1,故:A= fC= l2/16EI (1/kN=1/力） A ：单位力引起的角位移； fC ：单位力偶引起的线位移。位移含义不同，但数值相同，量纲相同。FP=1l/2l/2CM=121=A12=fC三、反力互等定理三、反力互等定理 反力互等定理（瑞利 Regleigh 定理） 功的互等定理的一种特殊情况。 用以说明在超静定结构中，假设两个支座分别发生单位位移，两种状态中反力的
49、相互关系。 同一线性变形体系中的两种变形状态 kij支座j发生单位位移j=1时，在支座i处产生的反力，也称反力影响系数。 kij=Kij/j1=1k112=1k22k21k12 由功的互等定理： W12 = W21 1= 2=1 k121= k212 k12= k21 (9-26)即为反力互等定理。反力互等定理 在任一线性变形体系中，由单位支座位移1=1所引起的，与支座位移2相应的支座反力k21 ，在数值上等于由单位支座位移2所引起的与支座位移1相应的支座反力k12。注：数值相等，量纲相等。 定理对任何两种支座都适用，注意反力和位移之间的相互对应关系。如图：1=1=12=13=1k12k21k
50、31k13k23k32k12(力偶）力偶）= k21 (力）力）k13 (力偶）力偶） = k31 (力）力） k23 = k32单位支座位移可以换成与该约束相应的广义位移，而支座反力单位支座位移可以换成与该约束相应的广义位移，而支座反力则可以换成与该约束相应的广义力。则可以换成与该约束相应的广义力。复习：位移计算的一般公式：提问：此公式的理论依据是什么？（1）式中包括哪两套物理量？ 位移，应变（ c 0 ） 给定的 外力，内力（ FP R FN FQ M ） 虚拟的（2）应用范围？（3）位移计算公式在各种具体情况下的简化公式：0KNQRKFdsFdsMdsFc 荷载作用：QNQPNPPkF
