1、12.3 角的平分线的性质第十二章 全等三角形第2课时 角平分线的判定 人教版八年级上册学习目标1.理解角平分线判定定理理解角平分线判定定理.(难点）难点）2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上学会判断一个点是否在一个角的平分线上.导入新课导入新课复习回顾P到到OA的距离的距离P到到OB的距离的距离角平分线上的点几何语言描述： OC平分AOB， 且PDOA， PEOB. PD= PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.叙述角平分线的性质定理叙述角平分线的性质定理不必再证全
2、等ODPACBE2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.讲授新课讲授新课角平分线的判定一PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. OC平分平分AOB， 且且PD
3、OA， PEOB PD= PE几何语言：几何语言：猜想猜想:思考：这个结论正确吗？已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的角平分线上.证明： 作射线OP， 点点P P在在AOB AOB 角的平分线上角的平分线上. . 在RtPDO和RtPEO 中（全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）（公共边）PD= PE（已知 ）BADOPEPDOA,PEOB.PDO=PEO=90RtPDO RtPEO（ HL）.AOP=BOP证明猜想u判定定理：u角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部
4、；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.u应用格式： PDOA,PEOB，PD=PE.点点P 在在AOB的平分线上的平分线上.知识总结典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为120000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD= ,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线二发现：三角
5、形的三条角平分线相交于一点活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明结论证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点上，PD=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D E F A B P N M C C B N M P想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在A的平分线上. 结论：三角形
6、的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D E F A B P N M C 变式1：如图，在直角ABC中，AC=BC,C90，AAC,若OM4,(1)求点O到ABC三边的距离和.温馨提示：不存在垂线段温馨提示：不存在垂线段构造应用构造应用12MENABCPOD解：连接OC1112221()21432642ABCAOCBOCAOBSSSSAB OEBC ONAB OMOM ABBCOM 变式1：如图，在直角ABC中，AC=BC,C900，AAC,若OM4.(2)若ABC的周长为32，求ABC的面积.MENABCPOD1.应用角平分线性质：存在角平分线存在角平分线涉及距离问题涉及距离问题
7、chs212.联系角平分线性质：距离距离面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与方法例2 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为()A110 B120 C130 D140A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有CBO ABO ABC，BCOACO ACB，ABCACB18040140，OBCOCB70，BOC18070110.2121 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的度数方法总结归纳总结角的平分线的性质图形已知条件
8、结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E角的平分线的判定当堂练习当堂练习1. 如图，某个居民小区如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN2. 如图所示，已知如图所示，已知ABC中，中，PEAB交交BC于点于点E，PFAC交交BC于点于点F，点，点P是是AD上一点，且点上一点，且点D到到PE的距离与到的距离与到PF的距离相等
9、，的距离相等，判断判断AD是否平分是否平分BAC，并说明理由，并说明理由解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BACABCEFD(3412P 3.已知：如图，OD平分AD于M，CNBD于N.求证：CMCN.证明：OD平分线AD，CNBD，CM=CN.4.如图，已知如图，已知CBD和和BCE的平分线相交于点的平分线相交于点F，求证：点求证：点F在在DAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC.FGFM.又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC，FMFH，FGFH.点F在DAE的平分线上.GHMABCFED拓展思维5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. l1l3l2P1P2P3P4l1l2l3课堂小结课堂小结角平分线的判定定理内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作用判断一个点是否在角的平分线上结论三角形的角平分线相交于内部一点
