1、第六节第六节 独立性独立性&事件的相互独立性事件的相互独立性&几个重要定理几个重要定理&例题讲解例题讲解&小结小结一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性( (一一) ) 两个事件的独立性两个事件的独立性由条件概率，知由条件概率，知)()()(BPABPBAP 一般地，一般地，)()(APBAP 这意味着：事件这意味着：事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概率发生的概率有影响有影响. 然而，在有些情形下又会出现：然而，在有些情形下又会出现：)()(APBAP ,.,),23(5取取到到绿绿球球第第二二次次抽抽取取取取到到绿绿球球第第一一次次抽抽取取记记有有放放回回地地取取两两次次每每次次取取
2、出出一一个个红红绿绿个个球球盒盒中中有有 BA则有则有 )(ABP.发发生生的的可可能能性性大大小小的的发发生生并并不不影影响响它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 53)(BP 1.1.引例引例.,)()()(,独独立立简简称称相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是两两事事件件设设BABABPAPABPBA 定义定义1:说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的发生与事件的发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.事件独立性的性质事件独立性的性质( (结论结论) )1则则若若, 0)( AP)()(BPAB
3、P )()()(BPAPABP 2 2 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 独立是事件间的概率属性独立是事件间的概率属性两事件互斥两事件互斥 AB互斥是事件间本身的关系互斥是事件间本身的关系二者之间没有必然联系二者之间没有必然联系.结论：结论：时时，有有当当0)(, 0)( BPAPA,B互不相容与互不相容与A,B相互独立不能同时成立相互独立不能同时成立.证证若若A与与B 独立独立, 则则 )()()(BPAPABP 0)(, 0)( BPAP0)()()( BPAPABP,AB 故故即即 A与与B 不互
4、斥不互斥(相容相容).AB()1 2,()1 2P AP B 若若)()()(BPAPABP 故故, 0)( ABP则则( ) ( )1 4,P A P B 反例：反例：两事件两事件相互独立相互独立.所以所以两事件两事件互斥互斥3 3必然事件必然事件S 及不可能事件及不可能事件与任何事与任何事件件A相互独立相互独立.证证 S A=A, P(S)=1 P(S A) = P(A)=1 P(A)= P(S) P(A)即即 S与与A独立独立.4 4 若事件若事件A与与B 相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件 也相互独立也相互独立.(1) AB与；与；(2) AB与；与；(3).AB与与注注
5、: :称此为二事件的独立性关于逆运算封闭称此为二事件的独立性关于逆运算封闭. .4 4 若事件若事件A与与B 相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件 也相互独立也相互独立.证证(1)()()(ABPAPBAP 又又 A与与B相互独立相互独立)()()(ABPAPBAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP (1) AB与；与；(2) AB与；与；(3).AB与与)()()(1ABPBPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP (3)(对偶律对偶律BABA )()(BAPBAP )(
6、1BAP 4 4 若事件若事件A与与B 相互独立相互独立, 则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立.(1) AB与；与；(2) AB与；与；(3).AB与与1. 1. 三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念( (二二) ) 多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义2.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 2. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义定义3 3.,),()()()(),()()(),()()(),(
7、)()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意：注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立3.3. n个事件的独立性个事件的独立性定义定义4 4若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对
8、于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21两两两两相相互互独独立立，则则称称nAAA2nC共共个式子个式子. 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件，个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 定义定义5 5)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互独独立立，则则称称nAAA注注. . 相相互互独独立立nAAA,21两两两两相相互互独独立立nAAA,21.12)11(1032个式子个式子共共nCCCCCnnnnnnnn .)2(,)2(,. 121个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任
9、意其中任意则则相互独立相互独立若事件若事件nkknAAAn )( . ,)(,.运运算算封封闭闭独独立立性性关关于于个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的立立事事件件们们的的对对中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它则则将将相相互互独独立立个个事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 两个结论两个结论（用数学归纳法证明略。）（用数学归纳法证明略。）nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则）nAAAP211( )(121nAAAP)()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等
10、于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(21nAAAP结论的应用结论的应用n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:例例1：常言道：常言道：“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮三个臭皮匠，顶一个诸葛亮.”这是对人多办法多，人多智慧高的一种赞誉这是对人多办法多，人多智慧高的一种赞誉你可曾想到，它可以从概率的计算得到证实你可曾想到，它可以从概率的计算得到证实.解解： 不妨用不妨用Ai表示表示“第第i个臭皮匠独立解决某问题个臭皮匠独立解决某问题”(il，2，3)，B表示表示“问题被解决问题被解决”，并没每个臭，并没每个臭皮匠单独解决某问题的概率分别为皮匠单独解决某问题的概率分别为
11、123()0.45,()0.55,()0.60P AP AP A123BAAA 123()0.45,()0.55,()0.60P AP AP A123BAAA 1231() () ()P A P A P A1(10.45)(10.55)(10.60)0.901 看！三个并不聪明的看！三个并不聪明的“臭皮匠臭皮匠”居然能解出百分居然能解出百分之九十以上的问题之九十以上的问题,聪明的诸葛亮也不过如此！聪明的诸葛亮也不过如此！123( )()P BP AAA事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性：一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率
12、.一个系统的可靠性：一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常工作的概率由元件组成的系统正常工作的概率.系统由元件组成系统由元件组成, ,常见的元件连接方式：常见的元件连接方式：串联串联并联并联1221例例2：设两系统都是由设两系统都是由 4 个元件组成个元件组成,每个元件正每个元件正常工作的概率为常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互每个元件是否正常工作相互独立独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性统的可靠性.A1A2B2B1S1:12121212()()()P A AP B BP A A B B24222(2)pppp11212()(
13、)P SP A AB B A1A2B2B1S2:21122()()()P SPABAB 22(2)pp221(2)().ppP S 222pp22( )(2)(2)0f ppp注注 利用导数可证利用导数可证, 当当 时时, 恒有恒有(0, 1)p 21()iiiP AB 22(2)pp1()P S.,21,互互独独立立设设各各局局胜胜负负相相利利还还是是采采用用五五局局三三胜胜制制有有有有利利采采用用三三局局二二胜胜制制问问对对甲甲而而言言概概率率为为每每局局甲甲胜胜的的乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球比比赛赛甲甲 pp、例例3.,21,互互独独立立设设各各局局胜胜负负相相利利还还是是采采用用
14、五五局局三三胜胜制制有有有有利利采采用用三三局局二二胜胜制制问问对对甲甲而而言言概概率率为为每每局局甲甲胜胜的的乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球比比赛赛甲甲 pp、例例3:胜局情况可能是胜局情况可能是“甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲”, “甲甲乙乙甲甲”;,)1(甲甲最最终终获获胜胜采采用用三三局局二二胜胜制制,2局局至少需比赛至少需比赛.1,局局而前面甲需胜而前面甲需胜且最后一局必需是甲胜且最后一局必需是甲胜解解甲甲最最终终获获胜胜的的概概率率：采采用用三三局局二二胜胜制制 ,2212(1).pppp而这三种结局互不相容，而这三种结局互不相容，.,21,互互独独立立设设各各局局胜胜负负相相利利
15、还还是是采采用用五五局局三三胜胜制制有有有有利利采采用用三三局局二二胜胜制制问问对对甲甲而而言言概概率率为为每每局局甲甲胜胜的的乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球比比赛赛甲甲 pp、例例3解解,3,)2(局局至少需比赛至少需比赛甲最终获胜甲最终获胜采用五局三胜制采用五局三胜制.,局局而前面甲需胜二而前面甲需胜二且最后一局必需是甲胜且最后一局必需是甲胜:甲的胜局情况是甲的胜局情况是“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”如：如：比赛比赛3局，局，“甲甲甲甲甲甲”；:甲的胜局情况可能是甲的胜局情况可能是比赛比赛4局，局，而这三种结局互不相容而这三种结局互不相容; :,甲甲最最
16、终终获获胜胜的的概概率率为为在在五五局局三三胜胜制制下下323232234(1)(1)ppC ppC pp,3,)2(局局至少需比赛至少需比赛甲最终获胜甲最终获胜采用五局三胜制采用五局三胜制.,局局而前面甲需胜二而前面甲需胜二且最后一局必需是甲胜且最后一局必需是甲胜:甲的胜局情况是甲的胜局情况是“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”如：如：比赛比赛3局，局，“甲甲甲甲甲甲”；:甲的胜局情况可能是甲的胜局情况可能是.)1(6)1(3123ppp 比赛比赛4局，局，而这三种结局互不相容而这三种结局互不相容; )312156(23212 pppppp由于由于).12()1(
17、322 ppp;,2112ppp 时时当当.212112 ppp时时当当. ,21制为有利制为有利对甲来说采用五局三胜对甲来说采用五局三胜时时故当故当 p. 50,21%、p都是都是是相同的是相同的乙最终获胜的概率乙最终获胜的概率两种赛制甲两种赛制甲时时当当 2212(1).pppp32213(1)6(1) .pppp小结小结1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；2）两个事件的独立性及多个事件的独立性性质；）两个事件的独立性及多个事件的独立性性质；3）在独立性条件下，求在独立性条件下，求n个事件至少发生一个个事件至少发生一个 的概率公式：的概率公
18、式：)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP 注意：注意：独立事件与互不相容事件的区别与关系；独立事件与互不相容事件的区别与关系； 两两独立与相互独立的区别。两两独立与相互独立的区别。一、主要内容：一、主要内容：1、随机事件的定义、关系及其运算、随机事件的定义、关系及其运算2、随机事件概率的定义、随机事件概率的定义(统计定义、古典概型定义统计定义、古典概型定义)3、随机事件概率的计算、随机事件概率的计算 注意利用注意利用：(1)、概率的加法公式、概率的加法公式 (2)、概率的性质、概率的性质(3)、条件概率公式、条件概率公式 (4)、乘法概率公式、乘法概率公式(5)、全概率公式、全概
19、率公式 (6)、贝叶斯公式、贝叶斯公式 (7)、相互独立事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式 本章小结本章小结y二二. . 应记忆的公式应记忆的公式1.德莫根律德莫根律 2.加法公式加法公式3.当当A与与B互斥时互斥时4.条件概率公式条件概率公式5.乘法概率公式乘法概率公式6.全概率公式全概率公式7.贝叶斯公式贝叶斯公式 8.相互独立事件的概率计算公式相互独立事件的概率计算公式)AB(P)B(P)A(P)AUB(P )B(P)A(P)AUB(P )A(P)A(P)AAA(P)AA(P)AA(Pnnnn12111111 y三、重点与难点三、重点与难点y1.重点重点随机事件的概念随机事件
20、的概念古典概型的概率计算方法古典概型的概率计算方法概率的加法公式概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用2.难点难点古典概型的概率计算古典概型的概率计算全概率公式的应用全概率公式的应用事件的独立性事件的独立性四、典型例题四、典型例题y例例1 1：(2000(2000年，数学一年，数学一) )设两个相互独立的事件设两个相互独立的事件A和和B不发生的概率为不发生的概率为1/9， A发生发生B不发生的概率与不发生的概率与B发生发生A不发生不发生的概率相等，则的概率相等，则P(A)=_.解解：由题意得：由题意得()( ) (
21、 )1(),()()9P ABP A P BP ABP ABP BA ()( ) ( )1(),()()9P ABP A P BP ABP ABP BA ()( ) ( )()( ) ( )P ABP A P BP ABP A P B()()( )()( )()P ABP BAP AP ABP BP AB( )( )P AP B21()( ) ( )(1( )9P ABP A P BP A11( )3P A 24( ),( )()33P AP A舍去舍去y()0,(|)1P BP A B 例例2 2：设设A,B为随机事件为随机事件,且且 , 则必有则必有 【 】 ()().P ABP A ()
22、().P ABP B ()().P ABP A ()().P ABP B （B）（C）（D）（A）解析：解析：()1,( )0()( )P A BP BP ABP B()( )( )()P ABP AP BP AB ()( )P ABP A 故答案为故答案为C.y., 6 . 0, 7 . 0率率少少有有一一次次命命中中目目标标的的概概试试求求两两次次独独立立射射击击至至射射击击命命中中目目标标的的概概率率为为这这时时内内的的概概率率为为假假设设目目标标出出现现在在射射程程之之思路思路 引进事件引进事件 ;目标进入射程目标进入射程 A. 2 , 1, iiBi次次射射击击命命中中目目标标第第.
23、,21用用全全概概率率公公式式来来求求解解可可利利因因此此命命中中目目标标的的不不在在射射程程之之内内是是不不可可能能由由于于目目标标的的概概率率故故所所求求概概率率为为事事件件BBB 例例3 3y., 6 . 0, 7 . 0率率少少有有一一次次命命中中目目标标的的概概试试求求两两次次独独立立射射击击至至射射击击命命中中目目标标的的概概率率为为这这时时内内的的概概率率为为假假设设目目标标出出现现在在射射程程之之例例3 3解解由题意知由题意知)2 , 1(6 . 0)(, 7 . 0)( iABPAPi, 0)(表示目标不在射程之内表示目标不在射程之内因为因为由于由于ABAP ;目标进入射程目
24、标进入射程 A. 2 , 1, iiBi次次射射击击命命中中目目标标第第有有因此由全概率公式因此由全概率公式,( )( ) ()( ) ()P BP A P B AP A P B A)()(ABPAP ),()(21ABBPAP 1212( ) ()()(),P A P B AP B AP B B Ay., 6 . 0, 7 . 0率率少少有有一一次次命命中中目目标标的的概概试试求求两两次次独独立立射射击击至至射射击击命命中中目目标标的的概概率率为为这这时时内内的的概概率率为为假假设设目目标标出出现现在在射射程程之之例例3 3;目标进入射程目标进入射程 A. 2 , 1, iiBi次次射射击击
25、命命中中目目标标第第36. 06 . 06 . 0 )()()(2121ABPABPABBP 从而从而,21相互独立相互独立与与由题意知由题意知BB1212( )( ) ()()()P BP A P B AP B AP B B A故故)2 , 1(6 . 0)(, 7 . 0)( iABPAPi0.7(0.60.60.36)0.588.y.,573,251510两份两份从中先后抽出从中先后抽出名表名表随机地取一个地区的报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的报名表分别其中女生的报名表分别生的报名表生的报名表名考名考名和名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、;)1(p表表
26、的的概概率率求求先先抽抽到到的的一一份份是是女女生生.,)2(p的的一一份份是是女女生生表表的的概概率率求求先先抽抽到到男男生生表表已已知知后后抽抽到到的的一一份份表表是是思路思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此题要用全概率公式来讨论故此题要用全概率公式来讨论.例例4 4y.,573,251510两份两份从中先后抽出从中先后抽出名表名表随机地取一个地区的报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的报名表分别其中女生的报名表分别生的报名表生的报名表名考名考名和名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、;)1(p表表的的概概率率求求先先抽抽到到的
27、的一一份份是是女女生生例例4 4解：解：;3 , 2 , 1, iHi抽抽到到地地区区考考生生的的报报名名表表记记, 2 , 1, jjAj次次抽抽到到报报名名表表是是男男生生的的第第11()1 3(1,2,3);()7 10;iP HiP A H故有故有1213()8 15;()20 25.P A HP A H由全概率公式知由全概率公式知)1( 3111)()()(iiiHAPHPAPp 25515710331.9029 y.,573,251510两份两份从中先后抽出从中先后抽出名表名表随机地取一个地区的报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的报名表分别其中女生的报名表分别生的报
28、名表生的报名表名考名考名和名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、.,)2(p的的一一份份是是女女生生表表的的概概率率求求先先抽抽到到男男生生表表已已知知后后抽抽到到的的一一份份表表是是例例4 4)()()()2(22121APAAPAAPq 由全概率公式得由全概率公式得3221()() ()iiiP AP H P A H 而而 312)(31iiHAP,9061252015810731 y.,573,251510两份两份从中先后抽出从中先后抽出名表名表随机地取一个地区的报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的报名表分别其中女生的报名表分别生的报名表生的报名表名考名考名和
29、名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、.,)2(p的的一一份份是是女女生生表表的的概概率率求求先先抽抽到到男男生生表表已已知知后后抽抽到到的的一一份份表表是是例例4 4由全概率公式得由全概率公式得 312121)()()(iiiHAAPHPAAP, )(313121 iiHAAP又因为又因为121()P A A H3 10 7 97 30,122()7 15 8 148 30,P A A H.3052420255)(321 HAAP同理可得同理可得y,9230530830731)(21 AAP所以所以.,573,251510两份两份从中先后抽出从中先后抽出名表名表随机地取一个地区的
30、报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的报名表分别其中女生的报名表分别生的报名表生的报名表名考名考名和名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、.,)2(p的的一一份份是是女女生生表表的的概概率率求求先先抽抽到到男男生生表表已已知知后后抽抽到到的的一一份份表表是是例例4 4)()(221APAAPq 所以所以.6120906192 2()P A61,90 y第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量随机变量 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函
31、数的分布随机变量的函数的分布一一问题的引入问题的引入二二随机变量的定义随机变量的定义三三小结小结一、问题的引入一、问题的引入随机事件和实数之间存在着某种客观的联系随机事件和实数之间存在着某种客观的联系.有的问题看起来与数无关，只要稍加处理也可有的问题看起来与数无关，只要稍加处理也可用数来描述用数来描述. .例例1 1：E：从一批产品中任取一件是否是合格品？：从一批产品中任取一件是否是合格品？我们我们约定约定：若试验的结果是合格品，：若试验的结果是合格品， 令令X=1 若试验的结果是不合格品若试验的结果是不合格品, 令令X=0样本空间样本空间S=e=合格品合格品,不合格品不合格品引入变量引入变量
32、X：X(e): 1 0对于每一个样本点对于每一个样本点e ， X都有一个值与之对应，都有一个值与之对应，则称则称X为为随机变量随机变量，其定义域为样本空间。，其定义域为样本空间。其值域依赖于样本空间，则随机变量是定义其值域依赖于样本空间，则随机变量是定义在样本空间在样本空间S上的函数。上的函数。试验的结果的出现是随机的试验的结果的出现是随机的X(e)的取值也是随机的的取值也是随机的例例2 2：E：将一枚硬币抛掷三次，问：三次投掷中，：将一枚硬币抛掷三次，问：三次投掷中， 出现出现H的总次数的总次数?.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH S=e样本空间：样本空间：X(e): 3
33、2 2 2 1 1 1 0即对于即对于S中每一个样本点中每一个样本点e , X都有一个值与之对应都有一个值与之对应.则称则称X为随机变量，其定义域为样本空间。为随机变量，其定义域为样本空间。其值域依赖于样本空间，则随机变量是定义其值域依赖于样本空间，则随机变量是定义在样本空间在样本空间S上的函数。上的函数。试验的结果的出现是随机的试验的结果的出现是随机的X(e)的取值也是随机的的取值也是随机的二、随机变量的二、随机变量的定义定义1 1、定义、定义 设设S=e 是随机试验是随机试验E的样本空间，如果的样本空间，如果(1)对每个对每个e S，存在一个实数，存在一个实数X( (e) )与之对应，即与
34、之对应，即变量变量X是定义在样本空间是定义在样本空间S上的一个实单值函数；上的一个实单值函数；(2)对每个对每个x R，事件，事件 e| |X( (e) ) x 有确定的概率，有确定的概率，则称则称X= =X(e)为为S上的上的随机变量随机变量。简记为简记为r.v. X (random variable) 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母或希腊字母, , ,.等表示等表示.而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采一般采用小写字母用小写字母x,y,z等等.随机变量的特点随机变量的特点: :1、 X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且
35、完备的; 2 、X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件. 随机变量随着试验的结果不同而取不同的随机变量随着试验的结果不同而取不同的值值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概由于试验的各个结果的出现具有一定的概率率, 因此因此随机变量的取值也有一定的概率规律随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义普通函数是定义在实数轴上在实数轴上的的,而而随机变量是定义在随机变量是定义在样本空间样本空间上的集合函数上的集合函数 (样本样本空间的元素不一定是实数空间的元素不一定是实数).2.2.说明说明(1)(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同
