1、 一、投影、截影 定义5.1 设 ,所谓 在U中的投影,乃是U的一个模糊子集,记作 ,它具有隶属函数 同样可定义 在V中的投影 当U,V为有限集, 用模糊矩阵 表示时, , 可分别表为向量：)(VUFRR),()(vuuRVvuR URR VR( )( , )RvRu Uvu v RmnURURVR 其分量 例: 则: 1namb1jimjira,1maxjinijrb,1max09 . 06 . 08 . 07 . 02 . 014 . 09 . 07 . 05 . 03 . 0uR9 . 019 . 0a9 . 09 . 018 . 0b 定义5.2：设 ，所谓 在U中的内投影,指的是U的
2、一个模糊集,记作 ，其隶属函数 当U，V为有限集， 用矩阵 表示时 )(VUFRRUR),()(vuuRVvuR( )( , )RvRu Uvu v RmnR1,UnRamVbR1ijmjia1minijnija1min 例： 定义5.3设 ，对任意 ，所谓 在 处的截影，乃是V的一个模糊子集,记作 ， 其隶属函数09 . 06 . 08 . 07 . 02 . 014 . 09 . 07 . 05 . 03 . 0R02 . 03 . 0a02 . 05 . 03 . 0b)(VUFRUuRuuR |( )( , )uRRuu v 同理： 当U，V为有限集， 可表示为模糊矩阵 ， 的截影可表
3、为向量，它们就是R的某一行或某一列。 定义5.4称映射 为从U到V的模糊映射, 记： 定理5.1 任给 ,却唯一确定了一个从U到V的模糊映射,记作: 使对任意 都有| :( )( , )vvRRRvu vRmnRR)(:VFUfVUf:)(VUFRVUffR:U)(|ufRRu 例: 321uuuU 4321vvvvV 432132107 . 09 . 09 . 02 . 07 . 06 . 015 . 08 . 04 . 03 . 0vvvvuuuR)9 .0 ,7 .0 , 5 .0 , 3 .0(|1uR)7 .0 , 2 .0 , 1 , 4 .0(|2uR)0 , 9 .0 , 6
4、.0 , 8 .0(|3uR 二、模糊映射（关系与映射的转换） 普通映射：给定一个普通关系 ，如果 （a.满） 对任意 ，投影 都包含而且只包含一个元素 （一一对应） 那么，满足 ，两个条件的普通关系，便唯一确定了一个普通映射8 . 04 . 03 . 0|1vR0 . 015 . 0|2vR9 . 02 . 07 . 0|3vR07 . 09 . 0|4vR)(VUPRURuURuuR|uVv VuffR: 满足： 反之任给一普通映射 也可确定普通关系 或 普通关系的映射象和原象都是清晰的。 uRuf|)( )uf uvVUf:)(| ),(ufvvuR)(0)(1),(ufvufvvuXR
5、当当 定义（模糊映射） 称映射 为从U到V的模糊映射，记： 映射把U中的元素u映射为V的一个模糊子集。 例：设 令 使)(:VFUfVUf:4321uuuuU 321vvvV )(:VFUf).0 , 7 . 0 , 4 . 0()(7 . 04 . 01211ufvvu或).3 . 0 , 4 . 0 , 1 . 0()(3 . 04 . 01 . 023212ufvvvu或 ：模糊映射，通过 可建立一个模糊关系 只要 例：上例中 ).0 , 5 . 0 , 0()(5 . 0323ufvu或).4 . 0 , 0 , 7 . 0()(4 . 07 . 04314ufvvu或ff 1 , 0
6、 :VUR)(|ufRu)0 , 7 . 0 , 4 . 0()(|11ufRu)3 . 0 , 4 . 0 , 1 . 0()(|22ufRu)0 , 5 . 0 , 0()(|33ufRu)4 . 0 , 0 , 7 . 0()(|44ufRu 定理：由U到V的模糊映射 与U到V的模糊关系一一对应： 由关系 得到 即可。 vuRRRRRuuuu4 . 003 . 0005 . 04 . 07 . 07 . 001 . 04 . 0|4321fRf fR RuRuff|)(: 例：4 . 003 . 0005 . 04 . 07 . 07 . 001 . 04 . 0R1()(0.4, 0.
7、7, 0)f u2()(0.1, 0.4, 0.3)f u3()(0, 0.5, 0)f u4()(0.7, 0, 0.4)f u 给定 ，对任意 都可得到 因此R决定了一个映射，记作 ：把一个模糊向量变为另一个模糊向量，相当于一种变换。 定义（模糊变换） 称映射 为从U到V的一个模糊变换。对U、V均为有限集，可将T定义成映射， n mRunua1muRab1RTmnRuuT11:RabaRT)()(:VFUFT11:()nmTuu不同于映射的概念 定理：任给 都唯一确定了一个从U到V的一个模糊变换，记作 使对任意 均有 此处： ：叫由 诱导出的模糊变换，为方便起见 不加区别)(VUFR)()
8、(:VFUFTTR)(UFA)(VFRAATR( )( )( , )()A RARu Uvuu vvV RTRRTR 模糊关系的直观意义，可解释为论域的变换 模糊概念： 在 表现为a 又U与V存在模糊关系R 则 ， 故 例： 是男少年 ：在体重论域上只表现为,1nuuU UaVUR VRa0.810.60.204050607080(0.8,1,0.6,0.2,0)kgkgkgkgkg 设某地区体重身高的关系为 在身高论域V上应表现为8 .17 .16 .15 .14 .1807060504018 .02 .01 .008 .018 .02 .01 .02 .08 .018 .02 .01 .0
9、2 .08 .018 .001 .02 .08 .01kgRmmmmmRab8 . 12 . 07 . 16 . 06 . 18 . 05 . 114 . 18 . 0)2 . 0 , 6 . 0 , 8 . 0 , 1 , 8 . 0( 在普通集合中，设有映射 可诱导出一个新的映射 叫做集合A在 f 之下的象。 用特征函数来表示，有 约定： 上确界 下确界 一般地a=0， 或 1 VUf:)()(:VPUPf)( ,|)(ufvAuvAfA使)(Af)()()(vxxAvufAfatbxaxtt,|btbxaxtt,|b 由映射 f 还可诱导另一映射，记作 叫做集合B在f之下的原象，用特征函
10、数来表示 例：U=a，b，c，d，e，f，V=1，2，3，4，5 令 则 ，称1，2为a，b，c的象。 1f1( )( )fP VP U：BufuBfB)(|)(1)(1Bf)()(1ufxxBBf:fUV有:2 ,a 1,b 2 ,c 3 ,d 4 ,e 3f)(,UPcbaA )(1 , 2VPAf 对于模糊集合普通映射， 给定 ，在 之下的象应当是什么？ 给定 ，在 之下的原象应当是什么？ 普通集合 怎样扩展到 与 之间去。 定义5.设 ，所谓 在模糊集类上的扩展，乃是指这样两个映射，仍记为 与 它具有隶属函数： （u可能是多个元素）VUf:)(UFA)(VFBfff)(UF)(VFVU
11、f:ff1f)()(:VFUFf)()(VFAfA( )( )( )( )f AAf uvvu 它具有隶属函数 叫做 在 之下的象， 叫做 在 之下的原象。 例：设 )()(:1UFVFf)()(1UFBfB)()(1)(ufuuuBBf)(AfAff)(1BfB654321uuuuuuU4321vvvvV 112324536,:( ),vuu u ufUVf uvuu uvuu已知 设 ， 由扩展原理： 1, 0, 0.2, 0, 0.1, 0.9A 1()123( )()()()f AAAAvuuu12 . 001()2()0.1fAv()3()0.9f Av()4()0fAv12310.
12、10.9()(1,0.1,0.9,0)fAvvv 定义5.7对任意 及任意 ，记 叫做 的 开截集。 定义5.8给定映射 ，对任意 ， 及任意 ，在定义5.6的意义下恒有：)(UFA1 ,0( )|( )AAAuuAVUf:)(UFA)(UFB 1 , 0)()(AfAf)()(11BfBf 证明： ( )( ( )( )f Avf Av( )( )Af uvu(,( )( )Au f uvu (,( )( )1)Au f uvu ( )0 1Aa仅取 ， 二值，故有：( ( )(,( )( )1)Avf Au f uvu ( )( )1Af uvu()( )1f Av()f Av得证（1）式
13、。 )()()(11uuBfuBf)(ufuB1)(ufuB1)()(1uuBf1()ufB得证（3）式。 11()( )( )fBufBu( ( )Bf u( ( )1Bf u1()( )1fBu1()fB得证（2）式。 一、综合评判 所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的生物或对象，作为一个总的评价。 若考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评判分权按分数高低，就可将评判对象排出优劣的次序。但考虑多种因素，就是综合判定问题。由于在很多问题上，我们对生物的评价常常带有模糊性，应用Fuzzy方法进行综合评判，将会取得更好的实际效果。 综合评判两种简单方法： （一）总分法：对每个因素给
14、一个评分计算总分 （二）加权法：根据不同因素的重要程度，赋予一定的权重。令 表示对第i个因素的权重,并规定 于是 二、模糊综合评判 步骤1: 建立评判对象的因素集 因素就是对象的各种属性或性能,根据因素给对象评价.1miiSSia11miia1mi iiSa s12 ,nUu uu 步骤2: 建立评判集 步骤3: 建立单因素评判,既建立一个从U到F(v)的模糊映射 由 可诱导出模糊关系 。 12 ,mVv vv:( )if UF VuU1212( )iiimiimrrruf uVVV0111ijrinjm fR1111mnnmrrRrr( , , )U V R于是构成综合评判模型或评判空间。
15、步骤4: 综合评判: 由于对U中各因素有不同的侧重,需要对每个因素赋予不同的权重，即U上的一个模糊子集： 故综合评判为 1211(,)1nnniiaa aaa1 mba R1 2()mbbbbV是 上的一个子集1()(1,2)njiijibarjm11mjjb若归一化处理。 三、综合判定的逆问题 已知决策 问决断b 赖以产生的因素权重a=? 需要解模糊关系方程，（无解或无穷多组解）从一组解中找出相对比较理想的方案。 设 为U上的一组模糊子集，根据择近原则若有i使 认为 是J中的最佳权重。 例：取U=耐用程度, 颜色, 式样, 品种, 规格, 价格, 包装 V=很欢迎,比较欢迎,不太欢迎,不欢迎
16、 1 mb1sJaa(, )max(, )ijj iaR baR bia 方法:任意固定一种因素,进行单因素评价,联合所有的单因素评价得到单因素评价矩阵R。将R看为是从U到V的模糊关系和变换，再进行综合评判。 例：对服装进行评价 U=花色式样，耐穿程度，价格费用 V=很受欢迎, 比较欢迎, 不太欢迎, 不欢迎 花色式样：20%的人很受欢迎, 70%比较欢迎, 10%不太欢迎, 0%不欢迎 花色式样（0.2, 0.7, 0.1, 0） 类似的 耐穿程度(0, 0.4, 0.5, 0.1) 价格费用 (0.2, 0.3, 0.4, 0.1) 某类顾客考虑权重，既对各因素注意的程度 a=(0.2,
17、0.5, 0.3) 综合评判为： 归一化 b=(0.17, 0.34, 0.40, 0.09) 0.2 0.70.1 000.40.5 0.10.2 0.30.4 0.1R很较 不太 不花耐价(0.2, 0.4, 0.5, 0.1)ba R 若已知b 求a就是综合评判的逆问题，设 b=(0, 0.8, 0.2, 0) 备择集 其中 取格贴近度来进行计算: ()()(),cA BA BAB 123 ,Ja aa1(0.2, 0.5, 0.3)a 2(0.5, 0.3, 0.2)a 3(0.2, 0.3, 0.5)a ()iiA Bab ()iiABab 比较接近于此类顾客的考虑方式。 123(0
18、.2,0.4,0.5,0.1)(0.2,0.5,0.3,0.1)(0.2,0.3,0.4,0.1)aRaRaR123(, )0.40.90.4(, )0.50.90.5(, )0.30.90.3aR baR baR b2a 10.20.70.10(0.2,0.5,0.3)00.40.50.1(0.2,0.4,0.5,0.1)0.20.30.40.1aR1()(0.2,0.4,0.5,0.1) (0,0.8,0.2,0)0.4aR b 1()0.20.80.50.10.10.9ccaRb1(, )0.40.90.4aR b 设 给定模糊矩阵 ， 求未知模糊矩阵 使满足 或 只讨论下面形式的模糊关
19、系方程（由解出行向量得出） 化为模糊线性方程组12 ,nUu uu12 , ,nVv vv12,nWw wwm lAn lBn mXA XBXAB111121 21()()mnmnnmaax xxbbbaamnnmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa)()()()()()()()()(22112222211211221111 又可表示成 一、考虑一元一次方程 x a=b 若 ab 则有唯一解 x=b 若 a=b 则有无穷多解，构成区间 b, 1 x=b,1 若 ab 则无解 x= mnnmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222211211221
20、111 定义一个算符 二、 一元模糊线性不等式 x a b 其解为 的定义为 三、n元模糊线性方程 ,1babb abababx a0, 0,1babb aabbxaxaxann)()()(2211 它对应n个一元方程： 求n个一元不等式： 其解表示为: 表示区间向量 11,nniaxbaxbx 只要有一个 满足方程即可。11,nniaxbaxbx均要满足。12(,)nYb a b ab a12(,)nb a b aYb a,Y Y121111( ,)nnnnnYx xxxb axb axb axb a或或 令 为将 的第i个分量或的Y第i个分量 而得到的区间向量 方程的解集合为： 解的充分必
21、要条件是Y的各个分量不全空。 例: 解模糊方程121111(,)nnnnnYx xxxb axb axb axb a或或( ) iWY( )111(,)iiiinWb ab ab a b ab a(1)(2)( )nWWW6 . 0)3 . 0()6 . 0()8 . 0()7 . 0(4321xxxx(0.6 0.7, 0.6 0.8, 0.6 0.6, 0.6 0.3)(0.6, 0.6, 0.6,1,)Y解： =( 0 , 0.6 ,0 , 0.6 , 0,1,0,1) W（1）=(0.6 , 0,0.6, 0,1, 0,1) W（2）=(0,0.6 , 0.6, 0,1, 0,1) W
22、（3）=(0,0.6 , 0,0.6 , 0.6,1 , 0,1 ) Y的第四个分量为空集，W（4）不必写出， 故 x= W（1） W（2） W（3） 设 是n维欧氏空间的两个点，如果有(0.6 0.7, 0.6 0.8, 0.6 0.6, 0.6 0.3)Y12( ,) ,nxx xx12(,)nxxxx 那么便称 其中(0.6 , 0.6 ,1 ,1)为最大解(0.6, 0, 0, 0) 、 (0, 0.6, 0, 0) 、 (0, 0, 0.6, 0)为极小解。(0.6,0,0,0)1122,nnxxxxxx xx(0.6,0.6,1,1)(0,0.6,0,0)(0,0,0.6,0) E
23、.sanchez证明了: 对任意模糊关系方程, 如有解必有最大解, 最小解可能有多个 。 四、对方程组的解 方程的解集合等于各个方程的解集合的交。mnnmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa)()()()()()()()()(22112222211211221111 将Y的每一列中选定一个非空元素分别代入 的相应位置上去替换 中相应的元素，得一矩阵W。 若第j列中选定的非空元素是 121mmiiXxxxx111111mmnmnmb abaYb aba111111mmnmnmb abaYb abaYY.(1,2)jjijjijjWbacm 这样代换的矩阵记为 这样的矩阵共有 为
24、中第列的非空元素的个数。 对每个矩阵对每一行进行集合的求交运算，将所得的矩阵列向量转为行向量，便是一个部分解向量，对所用的解集合求并，便得到总的解集合。 例： jkmiiW112mkkkk1230.30.50.20.200.4(0.2 0.4 0.2)00.()60.1x x x0.2 0.30.4 0.50.2 0.20.20.40.2,1:0.2 0.20.4 00.2 0.40.2,10.20.2 00.4 0.60.2 0.10.4Y解 Y中各列的非空元素均为2 故可得8个W矩阵0.2 0.30.4 0.50.2 0.20,0.2 0,0.40.2 0.20.4 00.2 0.40,0
25、.20.2 00.4 0.60.2 0.10,0.4IYIIII0,1I 321ii iW11121111221213123113223211 221 31 2WWWWWWWW列中、行列中、行3列中、行 1110.20.40.2,10,0.2 0,0.20,0.40,0.4WIIII1120.20.40.20.20,0.40,0.4IWIIII1310.20,0.40.2,10.20,0.20,0.20.40.4WIIII1320.20,0.40.20.20.20.40.4IWIIII 2110,0.20.40.2,10.2,10,0.20.20,0.40,0.4WIII2120,0.20.40.2,10.20.20,0.40,0.4IWIII2310,0.20,0.40.2,10.20.2,10,0.20.20.40.4WIII2320,0.20,0.40,0.20.2,10.20.20.40.4IWIII131232(0.2,0,0.2,0.4)(0,0.2,0.2,0.4)xWW故或或 解为：(0.2,0,0.4)最小解3x131132231232WWWW1x2x0.20.4(0,0.2,0.4)最小解(0.2,0.2,0.4)最大解0.2
