1、un维向量及其维向量及其n维向量空间维向量空间u向量组的线性相关及其线性无关向量组的线性相关及其线性无关u向量组的秩向量组的秩 研究人造地球卫星在天空运行时的状态，人们不但研究人造地球卫星在天空运行时的状态，人们不但希望知道它的几何轨迹，还希望知道它在某时刻希望知道它的几何轨迹，还希望知道它在某时刻t的位置的位置及表面温度及表面温度 和压力和压力p。在数学上，我们如何表示卫星的。在数学上，我们如何表示卫星的状态呢？状态呢？ 我们已知，卫星在某时刻我们已知，卫星在某时刻t的位置可用三元有序数组的位置可用三元有序数组（x，y，z）来表示，那么在某时刻）来表示，那么在某时刻t的状态可用六元有的状态可
2、用六元有序数组（序数组（ t ，x，y，z ， ， p）来表示。）来表示。 由此可知，在许多实际问题中，所研究的对象需要由此可知，在许多实际问题中，所研究的对象需要用多个数构成的有序数组来描述，仅用三元有序数组即用多个数构成的有序数组来描述，仅用三元有序数组即几何向量是不够的。因此有必要把几何向量推广到几何向量是不够的。因此有必要把几何向量推广到n维维向量。向量。第三节 1. n维向量的概念维向量的概念2. n维向量的线性运算维向量的线性运算 n个数个数a1，a2，an所组成的有序数组所组成的有序数组a1，a2，an称为称为n维向量，记作维向量，记作 行向量行向量列列向向量量列向量记作：列向量
3、记作：;, ba;,TTTTba 行向量记作：行向量记作：注注 以后没有特别说明，所说向量均指列向量以后没有特别说明，所说向量均指列向量。这这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个分量，其中第个分量，其中第i个数个数ai 称为第称为第i个分量个分量. . naaa21（a1，a2， ,an）或或【定义定义3.7】v两向量相等TnTnbbbaaa),(,),(2121 设设两两向向量量), 2 , 1(nibaiiT)0 ,0 , 0(00 所所有有的的分分量量为为零零v零向量零向量v向量向量 的负向量的负向量 Tnaaa),(21 v实向量：实向量：分量为实数的向量；分量为实数的向量；v复向量
4、：复向量：分量为复数的向量分量为复数的向量. . 除特别指明外，一般只讨论实向量除特别指明外，一般只讨论实向量. .Tnnbababa),(2211 ),(21nkakakakTnnbababa)(),(2211 加法运算加法运算减法运算减法运算数与向量的乘法数与向量的乘法 与与 的和向量的和向量 与与 的差向量的差向量 两个向量的加、减运算可推广到两个向量的加、减运算可推广到n个向量，你会吗？个向量，你会吗？ 与数与数k的积向量，简称的积向量，简称 的数乘向量。的数乘向量。 u n维向量的加法运算和向量与数的数乘运算统称为向量的维向量的加法运算和向量与数的数乘运算统称为向量的 线性运算线性运
5、算。TnTnbbbaaa),(,),(2121 设设两两向向量量向量线性运算的性质;)()1(交换律交换律 ;)()()()2(结合律结合律 ;0)3( .0)()4( .)()8( lklk ;)()7( kkk ;)()()6( kllk ;1)5( 加法加法数量乘法数量乘法 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设方程组为设方程组为: :， 121111maaa 令向量令向量， 222122maaa ， mnnnnaaa21 mbbb21 根据向量的线性运算有：根据向量的线性运算有： nnxxx2211的的坐坐标标。求求分分
6、点点，即即）（的的值值的的比比等等于于某某数数，使使它它们们、为为两两部部分分分分有有向向线线段段上上的的点点为为两两已已知知点点，而而在在直直线线和和设设例例 |1),(),(.2222111MBAMMBAMABMABzyxBzyxA,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB ABMxyzo设设M（x，y，z）为直线上的点）为直线上的点由题意知：由题意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzz,221xxx ,221yyy .221zzz M 为有向线段
7、为有向线段 的的定比分点定比分点。 的中点时，的中点时，为为ABMAB第四节 1.向量组及其线性组合向量组及其线性组合2.线性相关与线性无关线性相关与线性无关3.线性相关的性质线性相关的性质4.线性相关的判定线性相关的判定 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量( (或同维数的行向量或同维数的行向量) )所组成所组成的集合叫做的集合叫做。得到一个有得到一个有m个个n维列向量组成的向量组，维列向量组成的向量组，给定一个给定一个n m型矩阵型矩阵 nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211m ,21TnTT21或一个有或一个有n个个m维行向量组成的向量组维行向量组成的向量组. .,
8、121111 naaa ,222122 naaa nmmmmaaa21 ),(21212222111211mnmnnmmaaaaaaaaaA 给出一个由给出一个由m个个n维列向量组成的向量组维列向量组成的向量组mn 可构成一个可构成一个 型矩阵：型矩阵：矩阵的列矩阵的列向量组向量组, ),(112111mTaaa , ),(222212mTaaa ),(21nmnnTnaaa nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211 TnTT21由由n个个m维行向量组成的向量组维行向量组成的向量组也也可构成一个可构成一个nm型的矩阵型的矩阵矩阵的行矩阵的行向量组向量组【定义定义3.10】表达式
9、表达式对于任何一组实数对于任何一组实数：给定向量组给定向量组,2121mmkkkA mmkkk 2211 称为向量组称为向量组A的一个线性组合。的一个线性组合。设有向量组设有向量组, 及及向向量量m21 若若k1，k2，km使使 mmkkk 2211则说向量则说向量 的的，或者，或者说向量说向量 . .m ,21是向量组是向量组m ,21可可由由向向量量组组【定义定义3.10】【注注】 10 定义中的一组数定义中的一组数k1，k2，km只要存在即只要存在即 可，不一定唯一可，不一定唯一m 00002120 零向量可由任何向量组线性表示零向量可由任何向量组线性表示。 给出几个向量，如何判断、如何
10、求一个向量能不能由其给出几个向量，如何判断、如何求一个向量能不能由其它向量线性表示？它向量线性表示？写出它的一种表达式。写出它的一种表达式。，线性表示，若能够的话线性表示，若能够的话，能否由向量组能否由向量组判断判断例例321321)6 , 3, 2(,)3 , 2 , 1(,)2 , 1, 1(,)1 , 3 , 2(1 TTTT 分析：分析：不存在。不存在。则则线性表示，线性表示，不能由不能由；若；若使得使得线性表示，则线性表示，则能由能由如果如果321321332211321321,kkkkkkkkk 【问题问题】写出它的一种表达式。写出它的一种表达式。，线性表示，若能够的话线性表示，若
11、能够的话，能否由向量组能否由向量组判断判断例例321321)6 , 3, 2(,)3 , 2 , 1(,)2 , 1, 1(,)1 , 3 , 2(1 TTTT 解：解：设有一组实数设有一组实数k1，k2，k3使使是否存在？如果存在是否存在？如果存在就表示可以线性表示；就表示可以线性表示；如果不存在就不能线如果不存在就不能线性表示。性表示。332211 kkk 632321211132321kkk 即即 333222111632322132kkkkkkkkk即即： 321321321632322kkkkkkkkk解：解： 333222111632322132kkkkkkkkk即即： 32132
12、1321632322kkkkkkkkk 163233222321321321即即：kkkkkkkkk解线性方程组得出解线性方程组得出k17，k25，k30321057 332211 前面系数就是前面系数就是，前面系数就是前面系数就是，前面系数就是前面系数就是观察：观察：kkk mmxxx2211非非齐齐次次线线性性方方程程组组有有解解线线性性表表示示可可以以由由m ,3210写出它的一种表达式。写出它的一种表达式。，线性表示，若能够的话线性表示，若能够的话，能否由向量组能否由向量组判断判断例例321321)6 , 3, 2(,)3 , 2 , 1(,)2 , 1, 1(,)1 , 3 , 2(
13、1 TTTT 例例2 单位坐标向量组单位坐标向量组e1=(1,0,0)T，e2= (0,1,0)T ，e 3= (0,0,1)T和和向量组向量组 1= (1,1,1)T ， 2= (1,1,0)T ， 3= (1,0,0)T是否等价是否等价? 解解 因为因为 1 = e1+e2+e3， 2 = e1+e2， 3 = e1.又容易解出又容易解出 e1= 3， e2= 2 - 3 ， e3= 1 - 2 .可见这两个向量组可以相互线性表示，因此它们是等价可见这两个向量组可以相互线性表示，因此它们是等价的向量组。的向量组。 设有两个设有两个n维向量组维向量组如果向量组如果向量组A中的每一个向量都可由
14、向量组中的每一个向量都可由向量组B线性表示，则称线性表示，则称向量组向量组A可由向量组可由向量组B线性表示线性表示. .如果向量组如果向量组A和和B可以相互线可以相互线性表示，则称这性表示，则称这两个向量组等价两个向量组等价. .【定义定义3.11】sA ,:21tB ,:21例例3 向量组向量组 1=(0,0)T， 2= (0,3)T和向量组和向量组 1= (1,2)T ， 2= (1,3)T是否等价是否等价? ?解解 由于由于 1=0 1+0 2， 2=3 2-3 1，所以向量组所以向量组 1, 2可由可由向量组向量组 1， 2线性表示线性表示. .但但 1的第一个分量是的第一个分量是1，
15、而而 1， 2的第一个分量全都是零，所的第一个分量全都是零，所以它们的任何线性组合其第一个分量总是零，以它们的任何线性组合其第一个分量总是零，于是向量组于是向量组 1， 2与向量组与向量组 1， 2不等价不等价.故故 1不能由不能由 1， 2线性表示，因此向量组线性表示，因此向量组 1， 2不能由向量组不能由向量组 1， 2线性表示线性表示.关于向量组的等价，显然有下面三条性质：关于向量组的等价，显然有下面三条性质： (1) 自反性：向量组自反性：向量组A与其本身等价；与其本身等价； (2) 对称性：若向量组对称性：若向量组A与向量组与向量组B等价，则向量组等价，则向量组B与向量组与向量组A也
16、等价也等价； (3) 传递性：若向量组传递性：若向量组A与向量组与向量组B等价，向量组等价，向量组B与向量组与向量组C等价，则向量组等价，则向量组A与向量组与向量组C等价等价. j=k1j 1+k2j 2 + + +ktj t 1，12111tkkk A 2， , s22212tkkktssskkk21 =（ 1， 2， t）( ) BK= =（ 1， 2， t） =（ 1， 2， t）向量组向量组A由向量由向量组组B线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵（* *） j tjjkkk21=（ 1， 2， t）把向量组把向量组A 构成的矩阵记作构成的矩阵记作: A=（ 1， 2， s）,把向量把向
17、量组组B B 构成的矩阵记作构成的矩阵记作: : B=（ 1， 2， t）.A组能由组能由B组线性表示，即对每个向量组线性表示，即对每个向量 j（j=1,2, ,s）存在数存在数k1j，k2j ，ktj，使使:反之，反之，若存在矩阵若存在矩阵Kts使式使式（* *）成立，则向量组成立，则向量组A能由能由向量组向量组B线性表示线性表示. .于是于是 向量组向量组A： 1， 2， s能由能由向量组向量组B： 1， 2， ， t线性表示的充分必要条件是存在矩阵线性表示的充分必要条件是存在矩阵Kt s使使这里矩阵这里矩阵A，B分别是以向量组分别是以向量组A和向量组和向量组B为为列列构成的矩阵构成的矩阵
18、. . 【思考思考】： 若向量组若向量组A、B为行向量组，会有什么结果为行向量组，会有什么结果呢？呢？ 对式（对式（* *）两边进行转置即得：）两边进行转置即得： TtTTtsssttTsTTkkkkkkkkk 2121222121211121组组A： 1T， 2T， sT能由能由组组B： 1T， 2T， tT线性表示的充分必要条件是存在矩阵线性表示的充分必要条件是存在矩阵Kst使使，这里矩阵这里矩阵A，B分别是以行向量组分别是以行向量组A和行向量组和行向量组B为行构成的矩阵为行构成的矩阵.由此可得由此可得若矩阵若矩阵A经初等列变换变成矩阵经初等列变换变成矩阵B(A与与B)，则矩阵则矩阵A的列
19、向量组与矩阵的列向量组与矩阵B的列向量组等价的列向量组等价. .证明思想证明思想 若矩阵若矩阵A经初等列变换变成矩阵经初等列变换变成矩阵B，则存在可逆，则存在可逆矩阵矩阵P，使，使B= AP 矩阵矩阵B的列向量组可由矩的列向量组可由矩阵阵A的列向量组线性表示的列向量组线性表示 右乘右乘P-1 A= B P-1矩阵矩阵A的列向量组可由矩的列向量组可由矩阵阵B的列向量组线性表示的列向量组线性表示 矩阵矩阵A的列向量组的列向量组与矩阵与矩阵B的列向量的列向量组等价组等价. .同理，同理，若矩阵若矩阵A经初等行变换变成矩阵经初等行变换变成矩阵B(A与与B)，则，则矩阵矩阵A的行向量组与矩阵的行向量组与
20、矩阵B的行向量组等价的行向量组等价. . 02211mmkkk 否则，称这个向量否则，称这个向量组组线性无关线性无关，即，即仅当仅当k1=k2=km=0时时, ,才有才有m ,2102211mmkkk m ,21 设有设有n维向量组维向量组 ，如果存在一组如果存在一组k1，k2，km使使 则称向量组则称向量组 线性相关线性相关，. 02211mmkkk 所谓向量组所谓向量组 线性相关，是指存在一组线性相关，是指存在一组不全为零不全为零的数的数k1，k2，km使使m ,21成立。在这里存在的这组数成立。在这里存在的这组数k1，k2，km是一组是一组不全不全为零的数，为零的数，而不是而不是全不为零
21、的数全不为零的数。【定义定义3.12】【问题问题】：给出一个向量组，如何判断线性相关还是无关？给出一个向量组，如何判断线性相关还是无关？来来，事事实实上上，即即为为与与前前面面线线性性表表示示结结合合起起不全为零不全为零线性表示吗？且线性表示吗？且向量可以由向量可以由sskkk,02121 设有一组实数设有一组实数k1，k2，ks使使. 02211 sskkk 。，去求解去求解skkk21若若k1，k2，ks不全为零，则线性相关，若只有零解，不全为零，则线性相关，若只有零解，则线性无关。则线性无关。T3T2T1(1,6,3)=(1,2,3)= (1,1,1)= , , aaa例例4 试判断下列
22、向量组的线性相关性试判断下列向量组的线性相关性 解解321,kkk设设存存在在一一组组数数使得使得0332211 akakak 0330620321321321kkkkkkkkk 即即 因为其系数行列式因为其系数行列式08331621111 D于是方程组只有零解，于是方程组只有零解，0321 kkk,a ,a ,a321线性无关。线性无关。所以所以是否全为零？全为零是否全为零？全为零时，说明这三个向量时，说明这三个向量具有什么性质？不全具有什么性质？不全为零时，又如何？为零时，又如何？设有一组实数设有一组实数k1，k2，k3使使. 0332211 kkk即即025302203212131kkk
23、kkkk解方程组得：解方程组得： k1=k2=k3. 若取若取k1 =1，则存在不全为零的数，则存在不全为零的数1，1，1使得使得. 0321 故向量组故向量组 线性相关。线性相关。321 ,的线性相关性。的线性相关性。讨论向量组讨论向量组例例TTT)2 , 0 , 1(,)5, 2 , 0(,)3 , 2, 1(. 5321 判断判断向量组向量组n ,21线性线性相关相关性性的问题的问题, ,可以转化为可以转化为求解求解齐次齐次线性方程组的问题线性方程组的问题. . TTnkkk)0 , 0 , 0(),(21 即即021 nkkk于是于是02211nnekekek线性无关。线性无关。从而从
24、而neee,21n维向量组维向量组 称为称为单位坐标向量组单位坐标向量组. .TnTTeee)1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1(21 nkkk,21 解解 设有一组数设有一组数 ，使，使 例例6 讨论讨论n维向量组维向量组 线性相关性线性相关性.TnTTeee) 1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1 (21 。组组成成的的向向量量组组线线性性无无关关，维维单单位位坐坐标标向向量量个个由由印印象象neeenn,21证明证明 设有一组实数设有一组实数k1，k2，km使使 02211)()()(mmkkk 即即. 0)()(121132 mmmkkkkkk m ,21由由线性无关，得线性方程组线性无关，得线性方程组0001213132mmmkkkkkkkkk 【例例7】 设向量组设向量组)(,121mm 线性无关线性无关,且且线线性性无无关关。，证证明明：向向量量组组m 21,21m 011111110111110 mD0)1()1(1 mm只有零解，只有零解，021mkkk即即线性无关！线性无关！注意注意 用定义证明向量组线性相关性的叙述方法。用定义证明向量组线性相关性的叙述方法。
