1、主要内容主要内容典型例题典型例题第二章矩阵及其运算第二章矩阵及其运算习题课习题课矩矩阵阵特殊矩阵特殊矩阵概念概念定义定义方阵行（列）矩阵方阵行（列）矩阵同型矩阵和相等矩阵同型矩阵和相等矩阵零矩阵单位矩阵零矩阵单位矩阵转置矩阵转置矩阵（ 反 ） 对 称 矩 阵（ 反 ） 对 称 矩 阵幂等矩阵幂等矩阵对合矩阵对合矩阵正交矩阵正交矩阵伴随矩阵伴随矩阵对角矩阵对角矩阵上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵方阵的运算方阵的运算逆矩阵逆矩阵定义定义相关定理及性质相关定理及性质分块矩阵分块矩阵方阵的幂方阵的幂方 阵 的 行 列 式方 阵 的 行 列 式矩矩阵阵相相乘乘数数乘乘矩矩阵阵运算及其性质运算及其性质矩矩
2、阵阵相相加加.,)1(), 2 , 1;, 2 , 1(212222111211矩阵矩阵简称简称列矩阵列矩阵行行叫做叫做列的数表列的数表行行成成排排个数个数由由nmnmAnmnjminmaaaaaaaaaamnmmnnij .,复复矩矩阵阵元元素素是是复复数数的的矩矩阵阵叫叫做做实实矩矩阵阵元元素素是是实实数数的的矩矩阵阵叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第矩矩阵阵叫叫做做的的元元素素个个数数叫叫做做矩矩阵阵其其中中jiAAnmaij .),()()1(AAnmAAnmijijnmaa 也记作也记作矩阵矩阵或或式可简记为式可简记为对对(1)(1)式，当式，当m=nm=n时，时，A A称为称为n
3、 n阶方阵。阶方阵。.)(;2121叫叫做做行行矩矩阵阵只只有有一一行行的的矩矩阵阵叫叫做做列列矩矩阵阵只只有有一一列列的的矩矩阵阵aaaaaanmAA 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。它们是同型矩阵。.,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(BABAnjmibabBaAijijijij 记记作作相相等等与与矩矩阵阵那那么么就就称称矩矩阵阵即即它它们们的的对对应应元元素素相相等等并并且且是是同同型型矩矩阵阵与与如如果果元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O O。主对角线上的元素都是主对角线上的元素都
4、是1 1，其它元素都是，其它元素都是0 0的的n n阶方阵，叫做阶方阵，叫做n n阶单位阵，简记作阶单位阵，简记作E E。.)(,)(,)(的的和和与与称称为为矩矩阵阵加加法法定定义义为为矩矩阵阵为为两两个个同同型型设设BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm 运算规律运算规律交换律交换律A+B=B+A结合律结合律(A+B)+C=A+(B+C).(,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij 并并规规定定从从而而有有的的负负矩矩阵阵称称为为矩矩阵阵记记设设).(,aAAAAAij 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数运算规律运算规律);()(AA ;)(A
5、AA .)(BABA .), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 记记作作其其中中矩矩阵阵是是一一个个的的乘乘积积与与规规定定设设运算规律运算规律);()(BCACAB );(),()()(为数为数其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm n阶方阵的幂阶方阵的幂.,111121是正整数是正整数其中其中定义定义阶方阵阶方阵是是设设kAAAAAAAAnAkk .,)(,为正整数为正整数其中其中lkAAAAAklkll
6、klk .)(BAABkkk 一般地一般地方阵的行列式方阵的行列式.det,AAAAn或或记记作作的的行行列列式式方方阵阵叫叫做做的的元元素素所所构构成成的的行行列列式式阶阶方方阵阵由由运算规律运算规律.;,BAABAAnBAn 则则阶方阵阶方阵为为为数为数设设转置矩阵转置矩阵.,AAAT记记作作的的转转置置矩矩阵阵叫叫做做新新矩矩阵阵到到一一个个的的行行换换成成同同序序数数的的列列得得把把矩矩阵阵.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT 对称矩阵对称矩阵.,对称矩阵对称矩阵为为则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnAT 反对称矩阵反对称矩阵.,为反对称矩阵为
7、反对称矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnAT 幂等矩阵幂等矩阵.,2幂等矩阵幂等矩阵为为则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnA 对合矩阵对合矩阵.,2对合矩阵对合矩阵为为则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AEAnA 正交矩阵正交矩阵.,为正交矩阵为正交矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AEAAAAnATT 对角矩阵对角矩阵.,为对角矩阵为对角矩阵则称则称其余元素全为零其余元素全为零如果除了主对角线以外如果除了主对角线以外阶方阵阶方阵为为设设AnA上三角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵。三角矩阵。下三角矩
8、阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵。三角矩阵。伴随矩阵伴随矩阵.212221212111的伴随矩阵的伴随矩阵叫做方阵叫做方阵构成的方阵构成的方阵所所的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式行列式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij .:EAAAAA 伴随矩阵具有重要性质伴随矩阵具有重要性质定义定义 设设A A为为n n阶方阵，如果存在矩阵阶方阵，如果存在矩阵B B，使，使AB=BA=EAB=BA=E，则称矩阵，则称矩阵A A是可逆的（或非奇异是可逆的（或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵的、非退化的、满秩的），且矩阵B B
9、称为称为A A的逆矩阵。的逆矩阵。.,1AAA 记记作作的的逆逆矩矩阵阵是是唯唯一一的的则则有有逆逆矩矩阵阵若若相关定理及性质相关定理及性质. 0 AA可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是方阵方阵.,1AAAA 则则可逆可逆若矩阵若矩阵.)()();0(1)( ;)(111111AAAAAATT .)(,111ABABABBA 且且也可逆也可逆那么那么都可逆都可逆与与若同阶方阵若同阶方阵矩阵的分块，主要目的在于简化矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证。运算及便于论证。分块矩阵的运算规则与普通矩阵分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似。的运算规则相类似。例例计算计算 nnnnnn
10、nnnnnnnnn11111111112解解 11111111112nnnn nnnnnnnnnnnnnnn11111111112 111111111122nnnn )1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnn111111111.,2是幂等矩阵是幂等矩阵所以所以在此例中在此例中AAA . 0)(,)(, AfAEfdcbaA并并验验证证的的多多项项式式成成写写试试将将设设 解解,)()(2bcaddadcbaAEf 由此得由此得EbcadAdaAAf)()()(2 例例 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca,0000 . 0)( A
11、f即即例例.)0(的逆矩阵的逆矩阵求求 bcaddcba解解方法一方法一用定义求逆阵用定义求逆阵,43211 xxxxA设设得得由由,1EAA ,10014321 xxxxdcba . 1, 0, 0, 142423131xxxxxxxxdcbadcba则有则有 .,4321bcadabcadcbcadbbcaddxxxx解得解得.11 acbdbcadA注注：依定义求依定义求A的逆，实质上是求解的逆，实质上是求解n个系数相同而常数项分别为单位矩阵的个系数相同而常数项分别为单位矩阵的各列的各列的n元方程组元方程组。.,:,逆逆矩矩阵阵的的即即可可得得的的每每一一个个元元素素去去除除最最后后用用
12、号号符符再再将将次次对对角角元元素素调调换换其其角角元元素素调调换换其其位位置置中中的的主主对对先先将将矩矩阵阵其其做做法法是是的的方方法法一一除除两两调调求求二二阶阶矩矩阵阵逆逆矩矩阵阵可可用用AAAA.,bcadAdcbaA 方法二方法二A调换主对角元调换主对角元 acbd次对角元调符号次对角元调符号 acbd去除去除用用 A,1 acbdA.11 acbdbcadA注注：此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵不适用。的矩阵不适用。例例解矩阵方程解矩阵方程AX=BAX=B，XA=BXA=B，AXB=CAXB=C，其，其中中A A、B B均为可逆矩阵。均为可逆
13、矩阵。 分析分析.,),(,.,11111交交换换律律因因为为矩矩阵阵的的乘乘法法不不满满足足而而不不能能右右乘乘即即得得乘乘这这时时将将方方程程两两边边同同时时左左这这个个矩矩阵阵方方程程可可逆逆时时才才可可解解只只有有这这个个过过程程可可以以不不写写出出逆逆是是否否可可要要先先考考察察例例如如解解的的位位置置关关系系应应注注意意已已知知矩矩阵阵与与解解矩矩阵阵方方程程时时ABAXBAAXAAAABAXX 矩阵方程矩阵方程解解AX=BAX=BXA=BXA=BAXB=CAXB=CBAX1 BAX1 BCAX11 .,0,的逆矩阵的逆矩阵并求并求必为可逆矩阵必为可逆矩阵证明证明阶可逆矩阵阶可逆矩
14、阵都是都是设设DBCADnBA 证证.),0det, 0det,(0detdetdet为可逆矩阵为可逆矩阵所以所以均可逆均可逆因为因为DBABABAD ),2 , 1,(,222112111 jinXXXXXDij阶矩阵阶矩阵均为均为其中其中设设例例 )(000221221111211222112111阶单位阵阶单位阵是是nEEEXBXCXBXCXAXAXXXXBCADD ,221221111211EXBXCOXBXCOXAEXA依依矩矩阵阵相相等等的的定定义义有有,122112112111BXACBXOXAX 从而得从而得.11111 BACBOAD故故同理可得：同理可得：设设A A，B B
15、均可逆，对分块矩阵均可逆，对分块矩阵D D：;,)1(11111 BOBCAADBOCAD则则设设.,)2(11111 BCAABODOBACD则则设设.:)2(;)1(.,111BACDADCBAXYZEOBAEZDCBAYEACOEXnEAnDCBA 证明证明求乘积求乘积并且并且阶单位阵阶单位阵是是异的异的是非奇是非奇阶方阵阶方阵都是都是设设例例 6解解（）根据分块矩阵的乘法，得（）根据分块矩阵的乘法，得 EOBAEDCBAECOEXYZA11 EOBAEBACDOBA11.1 BACDOOA（）由（）可得（）由（）可得,11BACDABACDOOAXYZ ,ZYXXYZ , 1 ZX而而
16、.1BACDADCBA 第二章测试题第二章测试题1、填空题、填空题 AAAAnA1541det,31det,11则则为其伴随矩阵为其伴随矩阵阶方阵阶方阵为为设设 tOABtBOA则则且且阶方阵阶方阵设设,35342531,32 13,3AEA则则已知已知 13342122114AA的逆矩阵的逆矩阵矩阵矩阵 1311252210011001245AAA的逆矩阵的逆矩阵则则阶矩阵阶矩阵设设 12, 0326AEAAAn则则满足方程满足方程阶矩阵阶矩阵若若 AAAA32, 1,71且且为三阶矩阵为三阶矩阵设设 nAA则则设设,10001010182、设、设A，B均为均为n阶方阵，且阶方阵，且 证明证
17、明A可逆，并求其逆可逆，并求其逆.,2BEABB 3、设、设n阶实方阵阶实方阵 ,且且 证明证明A可逆可逆.OA ,TAA 4、解下列矩阵方程、解下列矩阵方程 1220111110112201111 X .0211023410101000011000010102 X5、求下列矩阵、求下列矩阵 ,23121n nn 510013101121lim26、设、设 求求B.,2,321011330BAABA 7、设、设n阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为 , 证明证明: A ; 0, 01 AA则则若若 .21 nAA8、用分块矩阵的乘法，计算矩阵的乘积、用分块矩阵的乘法，计算矩阵的乘积AB：,1130023200101000008200021 A.1133223210101010008200031 B9、利用逆矩阵求解线性方程组、利用逆矩阵求解线性方程组 05231322321321321xxxxxxxxx .23,21,A,.101的值的值求行列式求行列式的行列式的行列式的伴随矩阵的伴随矩阵是是是三阶方阵是三阶方阵设设 AAAAAA
