1、金融时间序列模型金融时间序列模型第二章：时间序列数据的回归模型第二章：时间序列数据的回归模型金融时间序列模型回归模型回顾回归模型n回归简单的说描述一个变量如何随其它变量的变化而变化。y 表示需要解释的变量x1, x2, . , xk 表示k个解释变量n线性回归模型表达式：当使用时间序列数据时的习惯表达式：Niuxxcyikikii,.2 , 1,.11Tiuxxytktktt,.2 , 1,.110回归模型n y和x的不同名称:yxdependent因变量 independent 自变量regressand（回归因变量） regressors（回归自变量）effect variable（效果变
2、量）causal variables（原因变量） n0， 1 ，k被称为系数（coefficients)nut随机扰动项(或称误差项）(random disturbance term)回归模型n总体回归函数n0， 1 ，k被称为总体参数或真实值n总体回归函数是因变量的条件期望Ttxxktkt,.2 , 1,.110ktktkttttxxxxxyE.),.,|(11021回归模型具体的说：线性回归模型中“回归模型”的含义是该模型的目的是计算因变量相对于自变量的条件期望，“线性”的含义是假设因变量的条件期望是解释变量的线性函数。 回归模型n样本回归函数n拟和值fitted value：n残差res
3、idual： TtxxYktktt,.2 , 1,.110ktktttxxy.110tttyyu下面表达式哪些正确？tttttttttttttttttuxyxyuxyuxyuxyuxy)6()5()4() 3()2() 1 (多元线性回归模型n回归模型的矩阵表达式： Y=X+UTkkTTkTuuxxxxyyy1011112111回归模型n普通最小二乘法估计结果：n估计式（estimator或估计量）:计算系数的公式n估计值(estimate)：把样本观测值带入估计式中计算得到的系数的数值。n隐含着解释变量不存在完全多重共线性YXXX)(1拟和优度和调整后拟和优度)1 (11)(111)()(2
4、222222RkTTRTSSyyTSSuTSSRSSyyyyTSSESSRttttt拟和优度n拟和优度是因变量拟和值和真实值的相关系数的平方。n拟和优度是模型的变差能被模型解释的部分。n拟和优度高并不能说明模型好，一个低的拟和优度并不说明模型不好。n时间序列数据的拟和优度一般都比较高。回归模型n满足经典假设条件时，OLS估计量满足n无偏性n有效性n服从正态分布)( ,(21uXXN金融时间序列数据n 时间序列数据：某个变量按时间顺序等间隔排列的数字。用yt表示变量Y在t时刻的观测值。经常使用的金融变量包括 :股票指数，债券收益率，期权，期货远期等资产的价格。t时刻与t+1时刻之间的时间长度一般
5、是一年，一个季度，一个月等等，因此称数据有不同的频率，把不同频率的数据称为年度数据，季度数据，月度数据，周数据，日数据等。时间序列数据要求时间间隔是相等的。 n观测值的总数也称为样本容量，用T表示。基本概念nYt1称为一阶滞后变量，这个变量t时刻的取值等于变量Yt在t-1时刻的值。nYtj称为j阶滞后变量，这个变量t时刻的取值等于变量Yt在t-j时刻的值。nYt Yt1称为一阶差分，用 Yt表示滞后变量与一阶差分滞后变量与一阶差分date t yt yt-1 yt1999：09 1 0.8 - -1999：10 2 1.3 0.8 1.3-0.8=0.51999：11 3 -0.91.3-0.
6、9-1.3=-2.21999：12 4 0.2-0.9 0.2-0.9=1.12000：01 5 -1.7 0.2-1.7-0.2=-1.92000：02 6 2.3-1.7 2.3-1.7=4.02000：03 7 0.1 2.3 0.1-2.3=-2.22000：04 8 0.0 0.1 0.0-0.1=-0.1. . . . . . .基本概念n随机过程的参数随机过程的参数 n均值函数mean function：每个时刻的随机变量求均值得到的均值序列t n自协方差函数autocovariance function：任意两个时刻变量间的自协方差构成自协方差函数st n自相关函数 autoc
7、orrelation function：任意两个时刻变量间的自相关系数构成自相关函数st 基本概念n平稳随机过程平稳随机过程 （weakly stationary, covariance stationary ,second order stationary）如果随机过程二阶矩有界，并且满足以下条件如果随机过程二阶矩有界，并且满足以下条件（1）对任意整数）对任意整数t，E(Yt)= ， 为常数；为常数；（2）对任意整数）对任意整数t和和s，自协方差函数，自协方差函数 ts仅与仅与t -s有关，同个别时刻有关，同个别时刻t和和s无关。即无关。即 ts= t-s= k 白噪声过程白噪声过程whit
8、e noise process 随机过程满足1）E(t)=0 ， 对所有t2）E(t2)=2 对所有t3）E(ts)=0, 对任意ts，或Cov(t, s)=0弱白噪声随机过程（Weakly white noise process），简称白噪声。记为），简称白噪声。记为 tWN(0, 2) 白噪声过程4）不同时刻随机变量是相互独立的随机变量，并且同分布称为独立白噪声，记为tI.I.D.(0, 2)如果再增加一个条件5）服从正态分布该过程为高斯白噪声（Gaussian white noise process）。 时间序列数据假设条件假设C1： 是平稳过程，并且满足遍历性 （遍历性：即随着j的增大
9、 与 相互独立 假设C2:假设C3：解释变量间不存在完全多重共线性 假设C4:假设C5：),.,(1ktttxxy),.,(1ktttxxy),.,(1jktjtjtxxy0)|(ttXuEtktkttuxxcy.112)|var(ttXu0),|,cov(ststXXuu), 0(|2NXutt金融时间序列模型动态模型时间序列数据回归模型n静态模型n分布滞后模型n自回归分布滞后模型(1) ,.2 , 1,.11Ttuxxcytktktt(2) .110tktktttuxxxcy(3) 221101ttttttuxxxycytttuxcy分布滞后模型系数的解释nj，j=0,1,k被称为乘数，或
10、冲击效应。n0被称为短期乘数或即期乘数，表示当期的冲击效应。含义是解释变量存在暂时变化时，对因变量的影响。暂时变化的含义：假设解释变量x在时刻t前是m，时刻t突然增加一个单位m+1，时刻t后，例如t+1，t+2又变回m。t，t+1，t+2因变量的变化。分布滞后模型系数的解释n0+1+h 被称为h期累积乘数，h是1到k-1之间的数值，表示h期中解释变量x的变化对因变量y的累积效应n0+1+k被称为长期乘数，表示x对因变量在所有时期冲击效应的总和n累积效应的含义是解释变量发生永久变化时，对因变量的影响。 分布滞后模型系数的解释i/，i=0,1,2,k被称为标准化的乘数。表示解释变量改变一个单位后，
11、在t+i期时，冲击效应占总效应的百分比。分布滞后模型系数的解释例如0=0.5，1=0.2，2=0.1。长期乘数0.5+0.2+0.1=0.8，计算标准乘数分别是0.5/0.8=0.6250.2/0.8=0.250.1/0.8=0.125表示总效应中62.5%的效应立刻显现出来，经过1个周期后87.5的效应显现出来，经过2个周期冲击效应达到100 自回归分布滞后模型系数的解释，以（3）为例n解释变量对因变量的直接影响： 0+1+2 n解释变量对因变量的总的影响，称为长期乘数：（0+1+2 ）/(1-)t-1时期解释变量影响t-1时期的因变量，因为yt-1对yt有影响，所以t-1时期的解释变量对y
12、t有间接的影响，直接影响间接影响长期乘数自回归分布滞后模型的长期解n以下面模型为例：n令每个时期的yt取值都是y，每个时期的xt取值都是x，随机误差项等于0：n合并同类项，整理得： 210 xxxycy 221101ttttttuxxxycyxxcy1-1cy )()1 (210210例例1：对：对CAPM模型进行检验模型进行检验n市场均衡时，单个资产预期的收益率应市场均衡时，单个资产预期的收益率应该等于多少？该等于多少？CAPM模型给出单个资产模型给出单个资产收益率与市场收益率的关系收益率与市场收益率的关系)()(fMjfjrRErRECAPMn任何资产的预期收益率由市场超额收益任何资产的预
13、期收益率由市场超额收益率和该资产的率和该资产的beta决定。不同资产收决定。不同资产收益率之所以不相同是因为益率之所以不相同是因为beta不同。不同。n在一个风险分散的资产组合中，任何两在一个风险分散的资产组合中，任何两个资产的相对风险由他们的相对个资产的相对风险由他们的相对beta决定。决定。 j1”冒险冒险“CAPMnBETA的估计的估计证券市场特征线（证券市场特征线（security characteristic line)是一个回归模型，是一个回归模型，描述了数据运动过程描述了数据运动过程两边求期望得到证券市场线，描述的收益两边求期望得到证券市场线，描述的收益率的预期之间的关系率的预期
14、之间的关系), 0()(2jNrRrRjtjtftMtjftjtCAPM 估计估计BETA进行变换，用超额收益率（风险溢价）进进行变换，用超额收益率（风险溢价）进行回归行回归jtMtjjtjtftMtjftjtzzrRrR)(CAPM进行下面的回归进行下面的回归根据根据CAPM应该有应该有 j0BETA=1.44，大于市场平均风险，大于市场平均风险H0: =0接受零假设接受零假设CAPM成立成立jtMtjjjtzz42. 0,43. 0R(0.0005) (0.34) 44. 189. 022RzzmttCAPMn根据这个公式进行投资会如何？n拟和优度0.43说明被解释变量43的变化可以由该模
15、型来解释，但是仍然有57的变化是这个模型解释不了的。因此虽然该模型说明统计上，个股超额收益率与市场超额收益率的关系显著成立，但是现实生活中根据这个公式投资仍然会犯错误。因为有57被解释变量的变化是这个模型没有解释的。42. 0,43. 0R(0.0005) (0.34) 44. 189. 022Rzzmtt例2：石油价格变化对宏观经济的影响n希望解决的问题是对下面三个猜想进行验证：n1 石油价格变化对经济无影响n2 石油价格增加阻碍经济发展，反之无关n3 净石油价格增加对经济阻碍作用更大n样本区间1960：12005：4nFederal Reserve Bank of St.Louis ,Re
16、gional Economic Development,2006,2(2),p131-139例2：模型n模型如下：（ARDL)n感兴趣的系数是4134124110ijtiiitiiititFedfundsoilpricesyy412ii例2：数据说明n经济增长数据：全国数据可以用GDP来代替，但是地区数据不存在季度数据，因此用实际收入作为替代变量n利率数据：用federal fund norminal rate-inflation rate代替例2：数据n石油价格变化有三个度量：nBureau of Economic Analysis（BEA)公布的实际石油价格指数（P)表示石油价格，油价变化
17、n正的油价变化：n净油价变化：找出过去四个季度的最大的石油指数otherwiseoilpriceyifPPoilpricettttt, 00),log()log(1)log()log(1tttPPoilpriceotherwiseoilpriceyifPPoilpricettttt, 00),log(max)log(4例2：实证结论n石油对收入的影响有两个渠道：n1 是油价变化对收入的直接的影响，用石油价格变化变量前的系数度量n2 是t-1期油价变化影响t-1期收入，t-1期收入的变化影响t期收入的间接影响，用乘数来度量412ii4114121iiii例2：实证结论直接影响 oil posit
18、ive oil net oilTennessee -0.026(0.83) -0.115(2.79)* -0.115(2.36)*Kentucky -0.063(1.74) -0.129(2.66)* -0.122(2.18)*Indiana -0.011(0.32) -0.103(2.12) * -0.108(1.86)*Illinois -0.011(0.32) -0.063(1.39) -0.103(2.2)*Mississippi 0.002(0.07) -0.09(2.04)* -0.071(1.4)Missouri -0.013(0.4) -0.095(2.24)* -0.115(
19、2.38)*Arkansas -0.016(0.49) -0.101(2.27)* -0.098(1.96)*例2：实证结论长期乘数 positive oil net oilTennessee -0.222(3.4)* -0.224(2.98)*Kentucky -0.189(3.07)* -0.196(2.59)*Indiana -0.219(2.26) * -0.255(2.07)*Illinois -0.15(1.54) -0.219(2.55)*Mississippi -0.151(2.38)* -0.132(1.6)Missouri -0.172(2.77)* -0.200(2.98)*Arkansas -0.208(2.59)* -0.209(2.23)*例2：实证结论n所有州第一列都不显著。n对于油价上升，除了illinois州都显著阻碍了经济的增长。n第三列illinois变的显著了，说明illinois州对价格变化恢复速度快。原因因为illinois州的GSP非常大，排名第5（2004）年，石油部分占GSP产值非常小。Mississippi对净石油价格变化不显著可能是因为mississippi是产油大户，生产石油的企业因为油价上升而受益。
