1、13-16 调制调制-频率搬移频率搬移)2cos()(1cftx数学表示为数学表示为:两个信号相乘两个信号相乘设设:为载波信号为载波信号)2cos()(2mftx为调制信号为调制信号调制调制:)(2cos)(2cos21)2cos()2cos()()(21mcmcmcfffffftxtx311112111211112122311)(zzzzzzzH4 5 6 10( )()()NMkkkky na y nkb x nk 01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z7 89120( )(1)(2)( )y na y na y nb x n 10 11121314 10(
2、 )()()NMkkkky na y nkb x nk01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z15 。 0( )()Mkky nb x nk0( )MkkkH zb z 16 1710( )()()NMkkkky na y nkb x nk18 12( )( )( )H zH zHz1221( )( )( )( )( )H zH zHzHzH z1920 21 1011111( )11MMkkkkkNNkkkkkc zb zH zAa zd zn由于系统函数由于系统函数 的系数的系数 和和 都是都是实数实数，因，因此此 和和 是是实数实数或者或者共轭复数共轭复数。
3、 ( )H zkakbkckd121211*11111*111111( )111MMkkkkkNNkkkkkg zh zh zH zAp zq zq z则则：22n 将相互共轭的零点（极点）合并起来，形成一将相互共轭的零点（极点）合并起来，形成一个实系数的二阶多项式。个实系数的二阶多项式。 12121121211112121111( )11MMkkkkkNNkkkkkg zzzH zAp zzzn 为了简化级联形式，将实系数的两个一阶因子为了简化级联形式，将实系数的两个一阶因子组合成二阶因子，则整个可写成实系数二阶因子组合成二阶因子，则整个可写成实系数二阶因子的形式：的形式：121212111
4、21( )( )1LLkkkkkkkzzH zAAHzzz23 24n每一个基本节与滤波器的一对极点和一对零点每一个基本节与滤波器的一对极点和一对零点有关。有关。n调整系数调整系数 、 可以单独调整滤波器第可以单独调整滤波器第 对零对零点，而不影响其它零点、极点。点，而不影响其它零点、极点。n调整系数调整系数 、 单独调整滤波器第单独调整滤波器第 对极点，对极点，而不影响其它零点、极点。而不影响其它零点、极点。 1k2k1k2kkk25 1201111*1110( )11 111MkkkNkkkNNM Nkkkkkkkkkkkb zH za zBg zAC zc zd zd z2627n并联结
5、构可以并联结构可以单独单独调整调整极点极点位置。位置。n但但不能不能像级联型那样单独调整像级联型那样单独调整零点零点的位置，因的位置，因为并联型各子系统的零点，并非整个系统函数为并联型各子系统的零点，并非整个系统函数的零点。的零点。n各并联基本节的误差相互没有影响，因此，并各并联基本节的误差相互没有影响，因此，并联形式联形式运算误差最小运算误差最小。n由于基本节并联，可同时对输入信号进行运算，由于基本节并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构因此并联型结构运算速度快运算速度快。 28n直接型直接型 n级联型级联型 n线性相位结构线性相位结构 n频率采样型结构频率采样型结构 29 FIR滤
6、波器的差分方程滤波器的差分方程0( )()Mkky nb x nkFIR滤波器的转置结构滤波器的转置结构FIR滤波器的直接型结构滤波器的直接型结构30级联型结构的特点级联型结构的特点n级联型结构每一个一阶因子控制一个实数零点级联型结构每一个一阶因子控制一个实数零点n每一个二阶因子控制一对共轭零点。每一个二阶因子控制一对共轭零点。n调整零点位置比直接型方便。但是它所需要的系调整零点位置比直接型方便。但是它所需要的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。数比直接型多，因而需要的乘法器多。 12111201012000( )( )NNNnkkkkknkkH zh n zzzzn级联型表示级联型表示31P
7、127 : 4-1习题习题解解:1024NsusNNNusTD290432. 61) 1(52msTF84.35FFT 快速卷积快速卷积,需要一次需要一次FFT,一次一次N点复数乘点复数乘,一次一次IFFT则则:快速卷积时快速卷积时间间msNTTFFL8 .76)(2复数乘只要只要SFfTT/11024/则运算就可处理采集的数据则运算就可处理采集的数据故故HzTffFsc7 .6666210242/32n5.5 线性相位型结构（第七章讨论）33n对系统函数取样对系统函数取样 n插值公式插值公式n频率采样型结构频率采样型结构 2( )( ), 0,1,2,1jkNz eH kH zkN1101(
8、 )( )11NNkkNH kH zzNWz101( )( )( )NckkH zHzHzN( )1NcHzz 1( )( )1kkNH kHzWz返回返回34n网络结构网络结构35n差分方程差分方程n频率响应频率响应 n幅度响应幅度响应 ( )1NcHzz 1( )( )()y nx nx nN2()12sin2Njjj NcNH eeje ()2 sin2jcNH e分析分析:36n零点分布零点分布 梳状滤波器有梳状滤波器有N个零点，在单位圆上等个零点，在单位圆上等间隔分布。间隔分布。 2jkNkze0,1,1kN即即:3738n由由N N个个一阶网络并联而成一阶网络并联而成n每个一阶网络
9、都是一个每个一阶网络都是一个谐振器谐振器，它们在，它们在单位圆单位圆上各有一个极点上各有一个极点 n这些谐振器的这些谐振器的极点极点正好与梳状滤波器的正好与梳状滤波器的零点零点相相抵消抵消，从而使这些频率点上的频率响应等于，从而使这些频率点上的频率响应等于H(kH(k) ) 2jkkNkNzWe3940n优点优点n系数系数H(kH(k) )就是滤波器在频率采样点就是滤波器在频率采样点 处的响应，因此控制滤波器的频率响应比处的响应，因此控制滤波器的频率响应比较方便。较方便。2kN41n缺点缺点 n所有谐振网络的极点位于所有谐振网络的极点位于单位圆单位圆上，系上，系统稳定是靠这些统稳定是靠这些极点
10、极点与梳状滤波器在单与梳状滤波器在单位圆上的位圆上的零点零点对消来保证的。如果滤波对消来保证的。如果滤波器的系数稍有误差，有些极点就器的系数稍有误差，有些极点就不能不能被被零点所零点所抵消抵消，从而导致系统，从而导致系统不稳定不稳定。n所有的系数所有的系数H(kH(k) )和和 都是复数，复数都是复数，复数相乘对硬件实现是不方便的。相乘对硬件实现是不方便的。 kNW42n将单位圆上的极零点向内收缩到半径为将单位圆上的极零点向内收缩到半径为r r的圆上，的圆上，如果由于某种原因，零极点如果由于某种原因，零极点不能抵消不能抵消时，时，极点位置极点位置仍在单位圆内仍在单位圆内，保持系统，保持系统稳定
11、稳定。 11rr且1101( )( )11NNNkkNH kH zr zNrWz43n将第将第k k和第和第N-kN-k个谐振器个谐振器合并合并为一个实系为一个实系数二阶网络，从而将复数乘法运算变成数二阶网络，从而将复数乘法运算变成实数运算。实数运算。nN N为偶数为偶数 2 11111(0)(2)( )1( )11NNNkkHH NH zr zHzNrzrz44 修正的修正的FIR滤波器频率采样结构滤波器频率采样结构 45nN为奇数为奇数 1(1) 201112211(0)( )1211 2 cosNNNkkkzHH zr zNrzrk zr zN46 一般来说，当采样点数一般来说，当采样点
12、数N较大时，频率采样结构比较复杂，较大时，频率采样结构比较复杂， 所需的乘法器和延时器比较多。但在以下两种情况下，使用频率所需的乘法器和延时器比较多。但在以下两种情况下，使用频率采样结构比较经济。采样结构比较经济。 （1） 对于窄带滤波器，其多数采样值对于窄带滤波器，其多数采样值H(k)为零，谐振器柜为零，谐振器柜中只剩下几个所需要的谐振器。这时采用频率采样结构比直接型中只剩下几个所需要的谐振器。这时采用频率采样结构比直接型结构所用的乘法器少，当然存储器还是要比直接型用得多一些。结构所用的乘法器少，当然存储器还是要比直接型用得多一些。 （2）在需要同时使用很多并列的滤波器的情况下，这些并列）在
13、需要同时使用很多并列的滤波器的情况下，这些并列的滤波器可以采用频率采样结构，并且可以大家共用梳状滤波器的滤波器可以采用频率采样结构，并且可以大家共用梳状滤波器和谐振和谐振柜，只要将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各个并柜，只要将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各个并列的滤波器。列的滤波器。 47 根据根据DFT的共轭对称性，如果的共轭对称性，如果h(n)是实序列，则其离散傅是实序列，则其离散傅里叶变换里叶变换H(k)关于关于N/2点共轭对称，即点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。又因为。又因为 ，为了得到实系数，我们将，为了得到实系数，我们将Hk(z)和和HN-k(z)合并合并为一个二
14、阶网络，为一个二阶网络， 记为记为Hk(z)(*)(kNNkNWW2211101*11)(12cos211)(1)(1)(1)()(zrzkNrzaazWrkHzrWkHzrWkNHzrWkHzHkkkNkNkNNkNk）（12, 2 , 1Nk48式中式中: )(Re2)(Re210kNkkWkrHakHa 该二阶网络是一个谐振频率为二阶网络是一个谐振频率为k=2k/N的有限的有限Q值的谐振器，值的谐振器，其结构如图其结构如图4-11 所示。所示。 除了共轭复根外除了共轭复根外H(z)还有实根。当还有实根。当N为偶数时，有一对实根为偶数时，有一对实根z=r，(r圆上横轴对称点圆上横轴对称点)
15、 除二阶网络外尚有两除二阶网络外尚有两个对应的一阶网络个对应的一阶网络: 12/101)2/()(1)0()(z rNHzHz rHzHN49z1 r2z1a0ka1kkNr2cos2图 4-1150 这时的这时的H(z)如式如式(4-14)，其结构如图，其结构如图4-12(下页下页)所示。图中所示。图中Hk(z), z=1, 2, , N/2-1 的结构如图的结构如图 4.11 (上页上页)所示。所示。 (4-14) 当当N为奇数时，只有一个实根为奇数时，只有一个实根z=r，对应于一个一阶网络，对应于一个一阶网络H0(z)。这。这时的时的H(z)为为 2/ )1(10)()(1)1 ()(N
16、kkNNzHzHNzrzH(4-15) 显然，显然，N等于奇数时的频率采样修正结构由一个一阶网络结构和等于奇数时的频率采样修正结构由一个一阶网络结构和(N-1)/2个二阶网络结构组个二阶网络结构组成。成。 2 11111(0)(2)( )1( )11NNNkkHH NH zr zHzNrzrz返回返回返回返回51图4-12 频率采样修正结构 y(n)z N r NH(0)1 / Nz 1H1(z)H2(z)HN / 21(z)rH(N / 2)z 1 r525.7 格型网络结构格型网络结构5.7.1 全零点格型网络结构全零点格型网络结构1. 全零点格型网络的系统函数全零点格型网络的系统函数全零
17、点格型网络结构的流图如图5.7.1所示。该流图只有直通通路，没有反馈回路，因此可称为FIR格型网络结构。观察该图，它可以看成是由图5.7.2的基本单元级联而成。 53图5.7.1 全零点格型网络结构54图5.7.2 基本单元55 只要知道格型网络的系数kl，l=1, 2, 3, , N, 由上式可以直接求出FIR格型网络的系统函数。按照图5.7.2写出差分方程如下：llllknrnene) 1()()(11(5.7.1) (5.7.2) ) 1()()(11nrknenrllll562. 由由FIR直接型网络结构转换成全零点格型网络结构直接型网络结构转换成全零点格型网络结构假设N阶FIR型网络
18、结构的系统函数为(5.7.9)式中, h(0)=1; h(n)是FIR网络的单位脉冲响应。令ak=h(k)，得到:(5.7.10)式中，a0=h(0)=1; kl为全零点格型网络的系数, l=1, 2, , N。NnnznhzH0)()(NkkkzazH0 )(57 下面仅给出转换公式，推导过程请参考文献19： (5.7.11) (5.7.12) (5.7.13) 式中, l=N, N1, , 1。)(Nkkaa lllka)() 1( , 3 , 2 , 1 12)()()1(lkkakaallklllklk58解释解释 公式中的下标k（或l）表示第k(或l)个系数，这里FIR结构和格型结构
19、均各有N个系数; (5.7.13)式是一个递推公式，上标（带圆括弧）表示递推序号，从（N）开始，然后是N1, N2, , 2；注意(5.7.12)式，当递推到上标圆括弧中的数字与下标相同时，格型结构的系数kl刚好与FIR的系数相等。下面举例说明。【例例 5.7.1】 将下面三阶FIR系统函数3(z)转换成格型网络，要求画出该FIR直接型结构和相应的格型网络结构流图。lllka)(lllaa)(3213576. 064. 09 . 01)(zzzzH59解解 例题中N=3, 按照(5.7.11)式，有 由(5.7.12) 式，得到: 按照(5.7.13) 式，递推得到:576. 0 , 64.
20、0 , 9 . 0)3(3)3(2)3(1aaa576. 0)3(33 ak60l=3, k=1时, l=3, k=2时,(3)(3)(2)13212230.90.576 0.64 0.795 182 4511 (0.576)ak aak (3)(3)(2)23122230.640.576 0.90.181 974 9111 (0.576)ak aak91 974 181. 0)2(22 ak61l=2, k=1时,最后按照算出的格型结构的系数，画出三阶FIR直接型结构和三级格型网络结构流图如图 5.7.3所示。 47 757 672. 0)91 974 181. 0(1)91 974 181
21、. 01 (45 182 795. 01222)2(12)2(1)1(1kakaa47 757 672. 01k62图5.7.3 例5.7.1图63略去由全零点格型网络结构转换到FIR直接型网络结构的公式，如需要了解该内容，请参考文献19。实际上，调用MATLAB函数实现直接型网络结构与格型网络结构之间的相互转换非常容易。tf2latc实现直接型到格型结构变换，latc2tf 实现格型到直接结型结构变换。K=tf2latc(hn): 求FIR格型结构的系数向量K=k1, k2, , kN, hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，并关于hn(1)=h(0)归一化。应当注意，当FIR系统函数在单位
22、圆上有零极点时，可能发生转换错误。64hn=latc2tf(K) 将FIR格型结构转换为FIR直接型结构。K为FIR格型结构的系数向量K，hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，即FIR直接型结构系数向量。显然，该函数可以用于求格型结构的系统函数的系数。例 5.7.1的求解程序如下：hn=1, 0.9, 0.64, 0.576;K=tf2latc(hn)运行结果：K=0.6728 0.1820 0.5760与上面的递推结果相同。655.7.2 全极点格型网络结构全极点格型网络结构全极点IIR系统的系统函数用下式表示: (5.7.14)(5.7.15)式中, A(z)是FIR系统，因此全极点IIR
23、系统H(z)是FIR系统A(z)的逆系统。下面先介绍如何将H(z)变成A(z)。假设系统的输入和输出分别用x(n)、y(n)表示，由 (5.7.17) 式得到全极点IIR滤波器的差分方程为)(111)(1zAzazHNkkkNkkkzazA11)(66如果将x(n)、y(n)的作用相互交换，差分方程则变成下式:则(5.7.17)观察上式，它描述的是具有系统函数H(z)=A(z)的FIR系统，而(5.7.16) 式描述的是H(z)=1/A(z)的IIR系统。按照(5.7.16) 式描述的全极点直接型结构如图5.7.4所示。 )()()(1nxknyanyNkk)()()(1nyknxanxNkk
24、Nkkknxanxny1)()()(5.7.16)67图5.7.4 全极点IIR系统的直接型结构68基于上面的事实，我们将FIR格型结构通过交换公式中的输入输出作用，形成它的逆系统，即全极点格型IIR系统。重新定义输入输出再将FIR格型结构的基本公式(5.7.1)、(5.7.2)重写如下：（5.7.18） （5.7.19） )()(),()(0nenynenxNllllknrnene) 1()()(11) 1()()(11nrknenrlllldefdef69由于重新定义了输入输出，将el(n)按降序运算，rl(n)不变，即（5.7.20）（5.7.21）（5.7.22）（5.7.23）)()
25、(nenxNllllknrnene) 1()()(111 , 1,NNl) 1()()(11nrknenrllll1 , 1,NNl)()()(00nrneny70按照上面四个方程画出它的结构如图5.7.5所示。为了说明这是一个全极点IIR系统，令N=1, 得到方程为（5.7.24） （5.7.25) （5.7.26） （5.7.27） )()(1nenxlknrnene) 1()()(010) 1()()(001nrknenrl) 1()()()(10nyknxneny71图5.7.5 全极点IIR格型结构72当x(n)和y(n)分别作为输入和输出时，（5.7.27）式就是一个全极点的差分方
26、程，由（5.7.24）（5.7.27）式描述的结构就是一阶的单极点格型网络，如图5.7.6(a)所示。如果N2，可得到下面方程组:（5.7.28） （5.7.29） （5.7.30） )()(2nenx) 1()()(1221nrknene) 1()()(1122nrneknr) 1()()(0110nrknene（5.7.31) （5.7.32) （5.7.33） ) 1()()(0011nrneknr)()()(00nrneny73图5.7.6 单极点和双极点IIR格型网络结构74（5.7.35） 经过化简，得到:（5.7.34） 显然, （5.7.37）式差分方程表示的就是双极点IIR系统。按照上面两式构成的双极点IIR格型结构如图5.7.6（b）所示。 )()2() 1()1 ()(221nxnyknykkny)2() 1()1 ()()(2122nynykknyknr75由上面分析知道, 全极点网络可以由全零点格型网络形成，这是一个求逆的问题。对比全零点格型结构和全极点结构，可以归纳出下面的一般求逆准则：（1） 将输入到输出的无延时通路全部反向，并将该通路的常数支路增益变成原常数的倒数（此处为1）；（2） 将指向这条新通路的各节点的其它节点的支路增益乘以1；（3） 将输入输出交换位置。
