1、结结束束返回1第八章第八章 傅里叶变换傅里叶变换结结束束返回28.1 傅里叶积分傅里叶积分8.1.1 傅里叶积分的概念傅里叶积分的概念在工程计算中在工程计算中, 无论是电学还是力学无论是电学还是力学, 经常要经常要和随时间而变的周期函数和随时间而变的周期函数fT(t)打交道打交道. 例如例如:t结结束束返回3具有性质具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中其中T称作周期称作周期, 而而1/T代代表单位时间振动的次数表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒单位时间通常取秒, 即即每秒重复多少次每秒重复多少次, 单位是赫兹单位是赫兹(Herz, 或或Hz).t最常用的一种周期函数是三角函数最常用
2、的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(w wt+j j) 其中其中w w=2p p/T结结束束返回4而而Asin(w wt+j j)又可以看作是两个周期函数又可以看作是两个周期函数人们发现人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近用一系列的三角函数的线性组合来逼近.方波方波sinw wt和和cosw wt的线性组合的线性组合Asin(w wt+j j)=asinw wt+bcosw wt结结束束返回54个正弦波的逼近个正弦波的逼近100个正弦波的逼近个正弦波的逼近结结束束返回6研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期研
3、究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可内的情况即可, 通常研究在闭区间通常研究在闭区间- -T/2,T/2内内函数变化的情况函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克而是要满足狄利克雷雷(Dirichlet)条件条件, 即在区间即在区间- -T/2,T/2上上这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.1, 连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点;2, 只有有限个极值点只有有限个极值点;结结束束返回7第二类间断点第二类间断点第一类间断点第一
4、类间断点第一类间断点和第二类间断点的区别第一类间断点和第二类间断点的区别:结结束束返回8存存在在第第二二类类间间断断点点( )tgf tt 不满足狄氏条件的例不满足狄氏条件的例: 而在工程上所应用的函数而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变尤其是物理量的变化函数化函数, 全部满足狄氏条件全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数实际上不连续函数严格上讲都是不存在的严格上讲都是不存在的, 但经常用不连续函数来但经常用不连续函数来近似一些函数近似一些函数, 使得思维简单一些使得思维简单一些.在靠近 处存在着无限多个在靠近 处存在着无限多个极值点极值点1( )sin( )0.f tt 结结束束返回9T
5、Tf gf t g tt22 , ( ) ( )d- - 在区间在区间- -T/2,T/2上满足狄氏条件的函数的全上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加法这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空间的向此空间的向量就是函数量就是函数, 线性空间的一切理论在此空间上仍线性空间的一切理论在此空间上仍然成立然成立. 更进一步地也可以在此线性空间更进一步地也可以在此线性空间V上定义上定义内积运算内积运算, 这样就可以建立元素这样就可以建立元素(即函数即函数)的长度的长度(范数范数), 及函数间角度及函数间角
6、度, 及正交的概念及正交的概念. 两个函数两个函数f和和g的内积定义为的内积定义为:结结束束返回1022222222222| ,( )d: , ( ) ( )d( )d( )d , cos, , 0.TTTTTTTTff ffttf gfgf t g ttfttgttf gf gfgf gfg - - 而许瓦兹不等式成立而许瓦兹不等式成立即即这样可令这样可令是间的夹角余弦是间的夹角余弦则如果称为 与 正交则如果称为 与 正交一个函数一个函数f(t)的长度为的长度为结结束束返回11其中则其中则22()eeded0222 d,d,dd2TTin tim ti n mTtttTttTTp pwwww
7、p p p pppppwwp p- - - -而在区间而在区间- -T/2,T/2上的三角函数系上的三角函数系1, cosw wt, sinw wt, cos 2w wt, sin 2w wt, ., cos nw wt, sin nw wt, .是两两正交的是两两正交的, 其中其中w w=2p p/T, 这是因为这是因为cos nw wt和和sin nw wt都可以看作是复指数函数都可以看作是复指数函数ejnw wt的线性组合的线性组合. 当当n m时时,结结束束返回12()()()()()2()1ede()1ee()1ee10()i n mi n mi n mi n mi n min mi
8、 nmi nmi nmp pp pppppppppp p p p- - - - - - - 这是因为这是因为结结束束返回132222222222cosd0(1,2,3,),sind0(1,2,3,),sincosd0( ,1,2,3,),sinsind0 ( ,1,2,3,),coscosd0( ,1,2,3,),TTTTTTTTTTn ttnn ttnn tm ttn mn tm ttn mnmn tm ttn mnmw ww wwwwwwwwwwwww- - - - - - 由此不难验证由此不难验证结结束束返回14222222222222211 d1cos2coscosdd221cos2s
9、insindd22TTTTTTTTTTtTn tTn tn tttn tTn tn tttw wwwwww wwwww- - - - 而而1, cosw wt, sinw wt, ., cos nw wt, sin nw wt, .的的函数的长度计算如下函数的长度计算如下:结结束束返回1501( )(cossin)2Tnnnaftan tbn twwww 因此因此, 任何满足狄氏条件的周期函数任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示为三角级数的形式如下可表示为三角级数的形式如下: 22222222010( )dd(cosdsind )22TTTTTTTTTnnnaftttan ttbn
10、ttaTwwww- 即即2202( )dTTTafttT- - 为求出计算即为求出计算即0,1,Taf结结束束返回1622222222220112( )cosdcosd2coscosdsincosdcosd2TTTTTTTTTTTmmnmmnnaftn ttn ttam tn ttbm tn ttTan ttawwwwwwwwwwwww w- - - - 为求为求an, 计算计算fT(t), cosnw wt, 即即即即222( )cosdTTnTaftn ttTw w- - 结结束束返回1722222222220112( )sindsind2cossindsinsindsind2TTTTTT
11、TTTTTmmnmmnnaftn ttn ttam tn ttbm tn ttTbn ttbwwwwwwwwwwwww w- - - - 同理同理, 为求为求bn, 计算计算fT(t), sin nw wt, 即即即即222( )sindTTnTbftn ttTw w- - 结结束束返回18其中其中222222010( )(cossin)22( )d2( )cosd(1,2,)2( )sind(1,2,)TTTTTTTnnnTnTnTaftam tbn tafttTaftn ttnTbftn ttnTwwwww ww w- - - - 最后可得最后可得:结结束束返回19cos,sin:22ii
12、iieeeeijjjjjjjjjjjj- - -由得由得而利用三角函数的指数形式可将级数表示为而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:0101( )222222Tin tin tin tin tnnnin tin tnnnnnafteeeeaibaaibaibeewwwwwwwwwwww- - - - 结结束束返回2001( )nnnitititTnnnnnftcc ec ec ewwwwww- - -如令如令w wn=nw w (n=0, 1, 2,.)00,2ac 且令且令,1,2,3,2nnnajbcn- -,1,2,3,2nnnajbcn- - 结结束束返回2122001( )d2TT
13、TacfttT- - 给定给定fT(t), cn的计算如下的计算如下:2222222211( )cosd21( )sind1( )cossind1( )dTTTTTTTTnnnTTTin tTajbncftn ttTiftn ttTftn tin ttTft etTw ww ww wwwww- - - - - - - - 当时当时结结束束返回222222221( )21( )(0, 1, 2,)( )1( )dTTTnTnTnnTin tnnnnTitnTitTnniitTnaibccft edtTcft edtnTftc efeeTw ww ww ww ww w- - - - - - - 而
14、而因此可以合写成一个式子因此可以合写成一个式子结结束束返回231|01|1)(tttf如图所示如图所示:1- -1otf(t)1例例 定义方波函数为定义方波函数为结结束束返回244( )(4 ),22,422nnftf tnnnTppppppppwwwwww- 现以现以f(t)为基础构造一周期为为基础构造一周期为T的周期函数的周期函数fT(t), 令令T=4, 则则1- -12T=4f4(t)t-2结结束束返回25 22214211( )11( )44111441sin11sinc()(0, 1, 2,)22TnTnnnnnitnTitititiinnnnncft edtTft edtedte
15、eeiinw wwwwwwwwwwwwwwww ww ww w- - - - - - 则则结结束束返回260sincsinsinc( )0,sinlim1sinc(0)1,sin1,0 xxxxxxxxxx 函数定义为函数定义为严格讲函数在处是无定义的 但是因为严格讲函数在处是无定义的 但是因为所以定义用不严格的形式就写作所以定义用不严格的形式就写作则函数在整个实轴连续则函数在整个实轴连续sinc函数介绍函数介绍结结束束返回27sinc(x)xsinc函数的图形函数的图形:结结束束返回281sinc()(0, 1, 2,)22,2nnnncnnnncTw wppppwwww可将 以竖线标在频率
16、图上可将 以竖线标在频率图上w w前面计算出前面计算出结结束束返回298( )(8 ),22,844nnftf tnnnTppppppppwwwwww- 1- -17T=8f8(t)t现在将周期扩大一倍现在将周期扩大一倍, 令令T=8, 以以f(t)为基础为基础构造一周期为构造一周期为8的周期函数的周期函数f8(t)结结束束返回30 22418411( )11( )88111881sin11sinc()(0, 1, 2,)44TnTnnnnnitnTitititiinnnnncft edtTft edtedteeeiinw wwwwwwwwwwwwwwww ww ww w- - - - - -
17、 则则结结束束返回311sinc()(0, 1, 2,)42,84nnnncnnnncw wppppwwww再将 以竖线标在频率图上再将 以竖线标在频率图上w w则在则在T=8时时,结结束束返回321sinc()(0, 1, 2,)82,168nnnncnnnncw wppppwwww再将 以竖线标在频率图上再将 以竖线标在频率图上w w如果再将周期增加一倍如果再将周期增加一倍, 令令T=16, 可计算出可计算出结结束束返回33 22111( )11111sin22sinc()(0, 1, 2,)TnTnnnnitnTititiinnnnncft edtTedtTeeeTiTinTTw ww
18、wwwwwwwwwwww ww ww w- - - - - - - - 一般地一般地, 对于周期对于周期T结结束束返回34当周期当周期T越来越大时越来越大时, 各个频率的正弦波的各个频率的正弦波的频率间隔越来越小频率间隔越来越小, 而它们的强度在各个而它们的强度在各个频率的轮廓则总是频率的轮廓则总是sinc函数的形状函数的形状, 因此因此, 如果将方波函数如果将方波函数f(t)看作是周期无穷看作是周期无穷大的周期函数大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上将那个频率上的轮廓即的轮廓即sinc函数的形状看作是函数的形
19、状看作是f(t)的各个的各个频率成份上的分布频率成份上的分布, 称作称作f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换.结结束束返回35lim( )( )TTftf t 对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是都可以看成是由某个周期函数由某个周期函数fT(t)当当T时转化而来的时转化而来的. 作周期为作周期为T的函数的函数fT(t), 使其在使其在- -T/2,T/2之内等于之内等于f(t), 在在- -T/2,T/2之外按周期之外按周期T延延拓到整个数轴上拓到整个数轴上, 则则T越大越大, fT(t)与与f(t)相等相等的范围也越大的范围也越大, 这就说明当这就说明当T时时, 周期周期
20、函数函数fT(t)便可转化为便可转化为f(t), 即有即有结结束束返回36Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)结结束束返回37221( )( )dTnnTiitTTnftfeeTw ww w- - - 由公式由公式221( )lim( )dTnnTiitTTnf tfeeTw ww w- - - 可知 可知 1,2,nnnnnnTTw wppppwwwwwww w- - - 当 取一切整数时所对应的点便均匀分当 取一切整数时所对应的点便均匀分布在整个数轴上 两个相邻的点的距离为布在整个数轴上 两个相邻的点的距离为或或结结束束返回38又可写为又可写为22( )1( )lim( )dTnn
21、TiitTTnf tf tfeeTw ww w- - - Tp2O w w1 w w2 w w3 w wn-1w wnTp2Tp2Tp2w w如图如图2201lim( )d2TnnTniitTnnfeew ww ww wwwp p- - - 结结束束返回39令令221()( )d2TnnTiitTnTfeew ww wwwp p- - - 1()( )d2nniitnfeew ww wwwp p - - 当即当即0,()()nTnnTwwwwww 0lim()nTnnnw wwwww- 2201( )lim( )d2TnnTniitTnnf tfeew ww ww wwwp p- - - 结结
22、束束返回40由由1()( )d2nniitnfeew ww wwwp p - - 此公式称为函数此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式的傅里叶积分公式, 简称傅简称傅氏积分公式氏积分公式,1( )( )dd2ii tf tfeewwwwwwp p- - 最后得最后得()d( )dnnwwwwwwww-0( )lim()nTnnnf tw wwwww- 结结束束返回41（( )d1.1)i tfetw w - - 定义定义8.1 称广义积分称广义积分为傅里叶积分为傅里叶积分.其中积分变量其中积分变量t取实值且从取实值且从-到到+,为实值参数为实值参数.( )di tfetw w - - 可看成复
23、变函数的朗级数可看成复变函数的朗级数nnnc z- 加以推广得到加以推广得到.结结束束返回428.2.2 傅里叶积分的物理意义傅里叶积分的物理意义-频谱频谱2( )(1.2)nitTTnnftc ep p- 2221( )(0, 1, 2,)(1.3)TTnitTnTcft edtnTp p- - - 周期为周期为T的函数的函数fT(t)的傅里叶级数展开式：的傅里叶级数展开式：其中傅里叶系数其中傅里叶系数1. 非正弦周期的频谱序列非正弦周期的频谱序列结结束束返回43 从物理的观点来看，式（从物理的观点来看，式（1.2)说明说明fT(t)可表示可表示为频率为频率2n/T的诸振动的叠加的诸振动的叠
24、加.,ninncr ej j 若有若有22()( )nnnnititiTTTnnnnftr eer eppppj jj j -012( )2|cos()TnnnnftcctTp pj j 频率为频率为2n/T的第的第n次振动的振幅次振动的振幅2rn和相位和相位n.结结束束返回44 所有出现的诸振动的振幅和相位的全体在物所有出现的诸振动的振幅和相位的全体在物理上由理上由fT(t)所描写的自然现象的频谱所描写的自然现象的频谱. 由于cn的下标的下标n取离散值，所反映的诸振动振取离散值，所反映的诸振动振幅随频率变化的图形是不连续的状态，故称为幅随频率变化的图形是不连续的状态，故称为离离散谱散谱.例例
25、8.3 求周期性矩形脉冲函数求周期性矩形脉冲函数0,;22( ),220,.22TTtftEtTt - - - - 的频谱序列的频谱序列.结结束束返回45解：解：经计算可得经计算可得2021( )TTTEcft dtTT - - 2221( )sin(1,2,.)TnitTTnTEncft edtnTnTp pp p p p- - - 故所反映频率为所反映频率为2n/T的第的第n次振动的振幅次振动的振幅2rn和相位和相位n分别为分别为22|sin|,nEnrnTp p p p 0.njpjp 或或结结束束返回462. 非周期函数的频谱函数非周期函数的频谱函数220220( )lim( )12l
26、im( )d2TTTTnniitTTTTnf tftfeeTpppp p pp p- - - 1( )dd2ii tfeewwwwwwp p- - 对定义在区间（对定义在区间（- ,+ )上的非周期函数上的非周期函数f(t),可可看成周期为看成周期为+ ，将，将(1.3)代入（代入（1.2),令令T + ,得得结结束束返回47若记若记()( )d(1.4)i tFf t etw w - - 则则1( )()d(1.5)2i tf tFew wp p - 我们可以讲我们可以讲,由由f(t)通过公式（通过公式（1.4)得到频谱函数得到频谱函数F(),反之借助频谱函数又将反之借助频谱函数又将f(t)
27、作为角频率为作为角频率为的诸振动的诸振动F( )ei t d /2的迭加形式（的迭加形式（1.5)给出给出.频谱函数频谱函数F()的模的模|F()|通常称作通常称作f(t)的振幅频谱，的振幅频谱，这个频谱的图形是连续的，称为连续谱这个频谱的图形是连续的，称为连续谱.结结束束返回480,08.4( )0)(),e,0|()|.ttf tFtF - - 例例求求函函数数的的（的的频频谱谱函函数数并并作作出出频频谱谱的的图图形形()00()( )edeeded1ittititFf ttttiwwwwwwwwww- - 解：解：221|()|.F ww 结结束束返回49tf(t)|F()|1 结结束束
28、返回503.傅里叶积分的物理意义傅里叶积分的物理意义()( )di tFf t etw w - - 22( )dTkki tTTkkft etw w - - - 频谱函数频谱函数F()恰好反映前述频谱序列的和恰好反映前述频谱序列的和.结结束束返回511( )( )dd2ii tf tfeewwwwwwp p- - 8.1 若若f(t)在在(- - , + )上满足条件上满足条件: 1, f(t)在任一有在任一有限区间上满足狄氏条件限区间上满足狄氏条件; 2, f(t)在无限区间在无限区间(- - , + )上绝对可积上绝对可积, 则有则有8.1.3 傅里叶积分定理傅里叶积分定理注1：在绝对可积
29、是指的收敛；注1：在绝对可积是指的收敛；(,)|( )|df tt- - 注2：在间断点 处注2：在间断点 处(0)(0),( ).2f tf ttf t- 结结束束返回52例例8.5 求矩形脉冲函数求矩形脉冲函数,| |;( )20,E tf t 其它.其它.的傅里叶积分，傅里叶积公式的傅里叶积分，傅里叶积公式.解：解： 此函数显然满足傅里叶积分定理条件此函数显然满足傅里叶积分定理条件.()( )di tFf t etw w - - 22dTi tTEetw w- - - 2sin()2Ewww w 故傅里叶积分为故傅里叶积分为结结束束返回5312( )sin()d22i tEf tew w
30、www wpwpw- 0sincos22dtEwww ww wpwpw 故傅里叶积分公式为故傅里叶积分公式为其它其它0,| |;22sincos2d,| |;420,.tttppwww wppw ww w 由傅里叶积分定理可得到由傅里叶积分定理可得到结结束束返回548.2傅里叶变换傅里叶变换8.2.1 傅氏变换的定义傅氏变换的定义我们知道我们知道, 若函数若函数f(t)满足傅氏积分定理的满足傅氏积分定理的条件条件, 则在则在f(t)的连续点处的连续点处, 有有1( )( )eded2ii tf tfwwwwwwp p- - 结结束束返回55( )( )ed(8.6)i tFf ttw ww w
31、 - - 881( )( )ed(8.8)2i tf tFw wwwwwp p- ( ) ( )(8.7)FL f tw w (8.6)式叫做式叫做f(t)的的傅氏变换式傅氏变换式, (8.8)式为式为F(w w)的的傅式逆变换式傅式逆变换式.f(t)与与F(w w)可相互转换可相互转换,可记为可记为F(w w)=L Lf(t) 和和 f(t)=L L- -1F(w w)88结结束束返回56还可以将还可以将f(t)放在左端放在左端, F(w w)放在右端放在右端, 中间中间用双向箭头连接用双向箭头连接: f(t) F(w w) (8.6)式右端的积分运算式右端的积分运算, 叫做叫做f(t)的傅
32、氏变的傅氏变换换, 同样同样, (8.8)式右端的积分运算式右端的积分运算, 叫做叫做F(w w)的傅氏逆变换的傅氏逆变换. F(w w)称作称作f(t)的的象函数象函数, f(t)称作称作F(w w)的的象象原函数原函数.可以说象函数可以说象函数F(w w)和象原函数和象原函数f(t)构成了构成了一个傅氏变换对一个傅氏变换对.结结束束返回57ttf ttf t0,01( )e,0,0.( ),. - - 例求函数的傅氏变换及例求函数的傅氏变换及其积分表达式 其中这个叫做指数其积分表达式 其中这个叫做指数衰减函数 是工程技术中常碰到的一个函数衰减函数 是工程技术中常碰到的一个函数tf(t)结结
33、束束返回58( ) ( )( )edi tFL f tf ttw ww w- - 这就是指数衰减函数的傅氏变换这就是指数衰减函数的傅氏变换.221iiwwwwww- - ()0edittww- 0eedti ttww- 根据根据(8.6)式式, 有有结结束束返回5911( )( )( )ed2i tf tLFFw wwwwwwwp p- - 根据根据(8.8)式式, 有有22000cossind/20e0tttttt wwwwwwwpwpwwp p- - 因此因此2201cossindttwwwwwww wp pww 221ed2i tiw wwww wp pww- - 结结束束返回60222
34、244eedeitAAtAw wwwww p p - 22( )e,0.,.tf tAA - - 例求函数的傅氏变换及其积分例求函数的傅氏变换及其积分表达式 其中这个函数叫做钟形脉冲表达式 其中这个函数叫做钟形脉冲函数 也是工程技术中常碰到的一个函数函数 也是工程技术中常碰到的一个函数(1.6),解：根据式 有解：根据式 有( ) ( )( )edi tFL f tf ttw ww w- - 2eedti tAtww- 结结束束返回61224eetAAw w p p - - -2222e2etAAw wp p-可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数因此有因此有如果
35、令如果令 =1/2, 就有就有结结束束返回62221j4401( )( )( )ed21e(cosjsin)d2ecosdtf tLFFAttAtw ww w w w wwwwwwp pp pwwwwwwppwwwwpp- - - - 2240ecosd( )ttf teAw w ppwwpwwp- - - 因此 因此 求钟形脉冲函数的积分表达式求钟形脉冲函数的积分表达式, 根据根据(1.8)式式结结束束返回63例例3 解积分方程解积分方程01,01;( )cos0,1f xxdx - 解：解：给函数给函数f(x)在区间在区间(- ,0)上补充定义，使上补充定义，使f(x)在区间在区间(- ,
36、 + )上成为偶函数，则上成为偶函数，则1( )( )2i xi xf xf x edx ed p p- - ()1( )2ix xf x ed dx p p- 01( )cos ()f xxx d dxp p- 结结束束返回6401( )(coscos sinsin)f xxxxx dx dp p- 002( )coscosf xxx dx dp p 002cos ( )cosxf xx dx dp p 102(1)cosxdp p- 22(1cos )(0)xxxp p- -结结束束返回65这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为为了叙述方便起见了叙述方便起见
37、, 假定在这些性质中假定在这些性质中, 凡是凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件理中的条件, 在证明这些性质时在证明这些性质时, 不再重述不再重述这些条件这些条件.8.2.2 傅里叶变换傅里叶变换的性质的性质结结束束返回66这个性质的作用是很显然的这个性质的作用是很显然的, 它表明了函它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合变换的线性组合. 它的证明只需根据定义它的证明只需根据定义就可推出就可推出.设设F1(w w)=F F f1(t), F2(w w)=F F f2(t), , 是常数是常数
38、, 则则F F f1(t)+ f2(t)= F1(w w)+ F2(w w) (1.12)1.线性性质线性性质结结束束返回67同样同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, L L - -1 F1(w w)+ F2(w w)= f1(t)+ f2(t) （1.13)例例1求函数求函数1()(3)(43)Fii 的傅氏逆变换的傅氏逆变换.解：因为解：因为11/51/54(3)(43)33iiii - 结结束束返回6831,0;130,0.tetLit - - - - 4311,0;40,0.3tetLti - - - 433111,0;()550,0.tteetLFt
39、 - - - - - 故故结结束束返回6900 () ( )(1.14)j tL f tteL f tw w j00 ()()edtL f ttf tttw w- - 证证 由傅氏变换的定义由傅氏变换的定义, 可知可知010()( )ejtLFf tw wwwww - - 同理有同理有2. 位移性质位移性质0j()0()( )edu tttuf uuw w- - 令令00jjje( )ede ( )ttuf uuL f twwwww w- - 结结束束返回70例例2 求函数求函数001()(0,()Fiwwww为常数）为常数）的傅氏逆变换的傅氏逆变换.解：因为解：因为01()Fiww- 011
40、0,0;()( )0,0.titetLFeLFt w wwwww- - - 901,0;()0,0.itetLFtww - - 故故结结束束返回71例例3 证明证明000 ( )sin()().2iL f ttFFwwwwwwwwww-证：因为证：因为0001( )sin( )().2ititf ttf teeiwwwww w- -0011( )( ).22ititf t ef t eiiwwww- -0010()( ) ( )ititFL eLFL f t ewwwwwwwwww- -00() ( ).itFL f t ew wwwww00sinsin01 ( )sin ( ) ( )2tt
41、L f ttL f t eL f t eiwwwww w- -故故00()().2iFFwwwwwwww-结结束束返回723.微分性质微分性质( )( )edi tL ftfttw w- - 如果如果f(t)在在(- - , + )上连续或只有有限个上连续或只有有限个可去间断点可去间断点, 且当且当|t|+ 时时, f(t)0, 则则F F f (t)=iw wF F f(t).(1.16)证证 由傅氏变换的定义由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可并利用分部积分可得得( )e( )edi ti tf tif ttwwwww w- ( )iL f tw w 结结束束返回73推论推论 L L-1
42、-1 f(n)(t)=(iw w)n L L-1 -1 f(t).(1.17)d( )( ).d,d( )()( )dnnnnFLitf tFiL t f tw ww ww ww w- - -一般地有一般地有同样同样, 我们还能得到象函数的导数公式我们还能得到象函数的导数公式, 设设F F f(t)=F(w w), 则则结结束束返回74例例4 求函数求函数,| |( )20,.nEttf t 其它其它的傅氏变换的傅氏变换解：解：1,| |( )20,.E tf t 其它其它设设则则11( )( )i tL f tf t edtw w- - 22i tEedt w w - - - 202cosE
43、dt w w 2sin.2Eww 结结束束返回75( )111( )()( )() ( ),nnnnnFLit f til t f tw w- - -1( )( )nf tt f t 而而1( ) ( )( )nFL f tL t f tw w所以所以( )2( ) (sin)2nnEiwww w ()( )02( )()sin().2nnn kkkEiwww w- - ( )1()( )nniFw w- - - -结结束束返回764. 积分性质积分性质, ( )( )d0ttg tf tt- 如果当时如果当时 ( )( )dtL f tiLf ttw w- d( )d( ),dtf ttf
44、tt- 证因为证因为1( )d ( ).(1.18)jtLf ttL f tw w- 则则结结束束返回77( )( )( )d( )tax tbx tcx tth t- ( )( )( )( )caiXbXXHiwwwwwwwwwww w的解的解, 其中其中-t+ , a,b,c均为常数均为常数.例例2 求微分积分方程求微分积分方程根据傅氏变换的微分性质和积分性质根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记且记F F x(t)=X(w w), F F h(t)=H(w w).解：解：在方程两边取傅氏变换在方程两边取傅氏变换, 可得可得 ( )( )HXcbi aw ww ww ww w -结结束束
45、返回78运用傅氏变换的线性性质运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及微分性质以及积分性质积分性质, 可以把线性常系数微分方程转可以把线性常系数微分方程转化为代数方程化为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏通过解代数方程与求傅氏逆变换逆变换, 就可以得到此微分方程的解就可以得到此微分方程的解.11( )( )( )Hx tLXLcbi aw ww ww ww w-所以积分方程的解为所以积分方程的解为另外另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的方傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一法之一结结束束返回795.5.对称性与相似性对称性与相似性 ( )( ),( )2()f tFL F tfw wpwpw
46、 -（1）L则（1）L则1( )( ),2itf tFed wwp p- 证明：证明：1()( ),2itftFed wwp p- - 所以所以2()( ),itfF t edt pwpw- - ( )2()L F tfpwpw-故故结结束束返回802 ( )( ),1 ()(0)|f tFL f atFaaaw ww w （ ）L则（ ）L则()()itf atf at edt - - 证明：L证明：L1()()iataf at ed ata - 1(),0;1(),0.FaaaFaaa - 1.(0)|Faaaw w结结束束返回81:( )( )( )( )f tg tFG w w w w
47、 线线性性:( )( )fti Fwwww 导数导数0000:()( )e( )()i titf ttFf t eFw ww ww wwwww- -位移位移性质小结性质小结: 若若F F f(t)=F(w w), F F g(t)=G(w w)结结束束返回821:()(0)|f ataFaaw w相似相似1:( )d( )tf ttFiw ww w- 积分积分:( )2()F tfpwpw-对称对称结结束束返回83实际上实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换只要记住下面四个傅里叶变换, 则所有的傅里叶变换都无须从公式直接则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出推导而从傅
48、里叶变换的性质就可导出.224eetw w p p - - -1( )tu t ei ww- - 1( )( )u tip wp ww w( )1t 结结束束返回846.卷积与卷积定理卷积与卷积定理12( )()dfft- - 称为函数称为函数f1(t)与与f2(t)的的卷积卷积, 记为记为f1(t)*f2(t)1212( )( )( )()df tftfft- 若已知函数若已知函数f1(t), f2(t), 则积分则积分定义定义8.3结结束束返回85卷积的图示卷积的图示f1()f2()Of2(-)OOtf2(t-)结结束束返回8612( )()dfft- - 1212122121( )( )
49、( )()d()( )d( )()d( )( )f tftfftf tu fuufu f tuuftf t- - - 在积分在积分中中, 令令u t- - , 则则 t- -u, du-d , 则则即卷积满足交换律即卷积满足交换律.结结束束返回87下证卷积满足结合律下证卷积满足结合律, 即即f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)为此为此, 令令12122323( )( )( )( )()d( )( )( )()( )dg tf tftffts tftftftv fvv- 则则12333123( )*( )*( )( )*( )( )()d( )()d()df t
50、ftftg tftg u ftuuffuftuu- - 结结束束返回88交换二重积分的次序交换二重积分的次序, 得得令令v=t- -u, 则则u=t- -v, 123123123( )( )( )( )()d()d( )()()ddf tftftffuftuuffuftuu-12311123( )()( )dd( ) ()d( )( )( )( )( )fftvfvvfs tf ts tf tftft- 上式上式结结束束返回89例例1 证明证明123123( ) ( )( )( )()()df tftftfftft- 证证 根据卷积的定义根据卷积的定义f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(
