1、第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数二、梯度二、梯度一、问题的提出一、问题的提出一块长方形的金属板，受热一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场产生如图温度分布场. . 设一个小虫在板中逃生至某设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点？才能最快到达凉快的地点？处，处，问题的问题的实质实质： 应沿由热变冷变化最剧烈的应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行方向爬行需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：引入两个
2、概念：方向导数方向导数和和梯度梯度方向导数问题方向导数问题梯度问题梯度问题 讨论函数讨论函数 在一点在一点P P沿某一方向的沿某一方向的变化率问题变化率问题),( yxfz 二、方向导数二、方向导数oyxl( , )( , )( )zf x yP x yU PPl 设设函函数数在在点点的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，自自点点引引射射线线 ,(,)( ).xlP xx yylPU P 设设轴轴正正向向到到射射线线 的的转转角角为为并并设设为为上上的的另另一一点点且且PP xy |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时时，P Pl ),(),
3、(lim0yxfyyxxf ,z 考考虑虑是否存在？是否存在？oyxlPP xy.),(),(lim0 yxfyyxxflf (,)( , )f xx yyf x y定定义义函函数数的的增增量量记为记为oyxlPP 如如果果此此比比的的极极限限存存在在，则则称称这这极极限限为为函函数数在在点点22()()PPxy 与与两两点点间间的的距距离离之之比比值值，Pl沿沿方方向向 的的方方向向导导数数PlP 当当沿沿着着 趋趋于于时时，.),(),(lim0 yxfyyxxflf (1,0)i .yf的方向导数为的方向导数为0(,)( , )limff xx yyf x yl x 0 xfxf 1 ,
4、 02 e同理同理, ,沿沿y轴正向轴正向的方向导数分别为的方向导数分别为xx 此时此时x 在点在点沿着沿着轴正向轴正向x若偏导若偏导 存在存在, ,则则),(yxfPxf.若若方方向向导导数数存存在在，则则偏偏导导数数未未必必存存在在 220,0zxyOli 例例如如，在在处处沿沿方方向向的的 0 01fl ，方方向向导导数数， 0,0.zx 而而偏偏导导数数不不存存在在 )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx .偏偏导导数数存存在在沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数存存在在方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限方向导数是单侧极
5、限，而偏导数是双侧极限. .原因：原因：证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 方向导数的存在及计算公式方向导数的存在及计算公式那末函数在该点沿任意方向那末函数在该点沿任意方向l l的方向导数都存在，的方向导数都存在，),(yxfz ),(yxP定理定理 如果函数如果函数在点在点可微分，可微分，且有且有 sincosyfxflf 为为 x轴到方向轴到方向l l的转角的转角其中其中计算公式计算公式 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos
6、 yfxf lf)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到x y lcossin故故x轴到方向轴到方向l 的转角的转角解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)4sin(2)4cos( lz.22 1, 1 PQ方向方向l 即为即为4 所求方向导数所求方向导数解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx （1）最大值）最大值; （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）
7、等于零？ 22),(yxyxyxf 例例2 求函数求函数 l在点在点(1,1)沿与沿与 x轴方向夹角为轴方向夹角为的方向射线的方向射线的方向导数的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有并问在怎样的方向上此方向导数有 sincos),4sin(2 故故 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 方向导数达到最大值方向导数达到最大值2; ;方向导数达到最小值方向导数达到最小值2 ; ;方向导数等于方向导数等于0. .,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广推广: 三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义),(zyxfu ),(zyxP对于三元函数对于
8、三元函数它在空间一点它在空间一点沿着方向沿着方向l的方向导数的方向导数 ，可定义为可定义为 其中其中222)()()(zyx ）.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z方向导数的计算公式方向导数的计算公式xyzlo 解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故(,)xyznFFF (4,6, 2), ,142264222 n方向余弦为方向余弦为2122)86(1yxzu 求函数求函数n在此处沿方向在此处沿方向的方向导数的方向导数. .是曲面是曲面n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例
9、例3 3 设设 在点在点处的指向外侧的法向量处的指向外侧的法向量, ,142cos ,143cos .141cos ,142cos ,143cos .141cos 221,1,1668PPuxxzxy ;146 221,1,1868PPuyyzxy ;148 222(1,1,1)68PPxyuzz .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故三、梯度三、梯度:问问题题?P函函数数在在点点沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度最最快快 sincosyfxflf (,) (cos ,sin )ffxy eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf jie s
10、incos 设设是方向是方向l上的单位向量，上的单位向量， 当当 时，时，1),(cos( eyxgradflf 有最大值有最大值. .其中其中),(,eyxgradf 由方向导数公式知由方向导数公式知结论结论gradfgradf P22|( , )|ffgradf x yxy当当xf 不为零时，不为零时，xfyf tanx轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量，函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致它的方向与取得最大方向导数的方向一致, ,而它的模为方向导数的最大值而它的模为方向导数的最大值梯度的模为梯度的模为 l在几何上在几
11、何上 表示一个曲面表示一个曲面),(yxfz 曲面被平面曲面被平面 所截所截, ,得曲线得曲线cz ,),( czyxfz它它在在xoy面面上投影方程：上投影方程：oyx2( , )f x yc 1),(cyxf( , )f x yc 等高线等高线( , )f x yc 称为称为等值线等值线. .等值线等值线几何上，称为几何上，称为等高线等高线. .sinzxy 函函数数图图形形及及其其等等高高线线图图形形例如例如, ,( , )f x yc 等值线等值线上任一点处的一个法向量为上任一点处的一个法向量为),(yxffn fgrad 表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，表明：梯度方向与等值
12、线的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等梯度的模就等于函数在这个法线方向的梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数方向导数. .0nnf gradffn oyx2( , )f x yc 1( , )f x yc Pn( , )f x yc 21ccc =grad ( , )f x y值线，值线，问题问题：上山时，如何选择最快的方向？上山时，如何选择最快的方向？计算方法课程中的一种计算策略：计算方法课程中的一种计算策略：“瞎子下山法瞎子下山法”.),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元
13、函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值. .梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu grad(23)(42)60,fxiyjzk令令则在则在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为. 0yxzyxu2332222 )2 , 1 , 1 (例例4 求函数求函数 在点在点处的梯度，并问在何处梯度为零？处的梯度，并
14、问在何处梯度为零？一、一、方向导数方向导数（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）区别）小小 结结.),(),(lim0 yxfyyxxflf 1.1.定义定义2.2.计算公式计算公式 sincosyfxflf .coscoscos zfyfxflf 二、梯度二、梯度 （注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）grad ( , )f x y jyfixf 定义定义22| ),(| yfxfyxgradfxfyf tan方向：方向：x轴到梯度的转角的正切轴到梯度的转角的正切模模：三、方向导数与梯度的关系三、方向导数与梯度的关系方向方向与取得最大方向导数的方向一致与取
15、得最大方向导数的方向一致, ,模模为方向导数的最大值为方向导数的最大值. .梯度：梯度： sincosyfxflf ,cos| ),(| yxgradf 其中其中,( , )gradf x y l ( , ).f x y某某点点梯梯度度的的方方向向就就是是函函数数在在这这点点增增长长最最快快的的方方向向思考题思考题问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？2(1, 1,2).uxy zP求求函函数数在在点点处处方方向向导导数数的的最最大大值值答：梯度方向答：梯度方向答：答：21grad222 Pzyxffff作作 业业P.51 习题习题8-71; 4; 7
16、; 8; 10.一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.练练 习习 题题三
17、三、 设设vu,都都是是zyx,的的函函数数, ,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续, ,证证明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数, ,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模? ?二二、求求函函数数)(12222byaxz 在在点点)2,2(ba处处沿沿曲曲线线 12222 byax在在这这点点的的内内法法线线方方向向的的方方向向导导数数. .一、一、1 1、321 ； 2 2、 kji623； 3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(； 4 4、gradua . .二、二、)(2122baab . .四、四、cbazyxzyxuruM ;),(22020200000. .练习题答案练习题答案
