1、 一、复习目标一、复习目标 了解导数概念的某些实际背景了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度瞬时速度, 加速度加速度, 光滑曲线切光滑曲线切线的斜率等线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义义, 理解导数的概念理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有理为有理数数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数的导数, 并能熟练应用它们求并能熟练应用它们求有关导数有关导数.二、重点解析二、重点解析 导数概念比较抽象导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉其定义、方
2、法一般不太熟悉, 因此对导数因此对导数概念的理解是学习中的一个难点概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数定本节要重点掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法义求简单函数的导数的方法. 一方面一方面, 根据导数定义求导可进一根据导数定义求导可进一步理解导数的概念步理解导数的概念, 另一方面另一方面, 许多法则都是由导数定义导出的许多法则都是由导数定义导出的. 导函数导函数(导数导数)是一个特殊的函数是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿着它的引出和定义始终贯穿着函数思想函数思想, 首先定义函数首先定义函数 y=f(x) 在点在点 x0 处可导处可导, 且在且在 x0 处有处有唯
3、一的导数唯一的导数 f(x0), 然后定义函数然后定义函数 y=f(x) 在开区间在开区间 (a, b) 内可内可导导, 因而对于开区间因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值内每一个确定的值, 都对应着一个确定都对应着一个确定的导数的导数 f(x0). 据函数定义据函数定义, 在开区间在开区间 (a, b) 内就构成了一个新内就构成了一个新函数函数, 即导数即导数.三、知识要点三、知识要点1.导数的概念导数的概念 对于函数对于函数 y=f(x), 如果自变量如果自变量 x 在在 x0 处有增量处有增量 D Dx, 那么函数那么函数 y 相应的有增量相应的有增量 D Dy=f(x0+D
4、Dx)- -f(x0), 比值比值 叫做函数叫做函数 y=f(x) 在在 x0 到到 x0+D Dx 之间的平均变化率之间的平均变化率, 即即 = . D DxD DyD DxD DyD Dxf(x0+D Dx)- -f(x0) D DxD Dy 如果当如果当 D Dx0 时时, 有极限有极限, 就说函数就说函数 y=f(x) 在在点点 x0 处可导处可导, 并把这个极限叫做并把这个极限叫做 f(x) 在点在点 x0 处的导数处的导数( (或变化率或变化率) ), 记作记作: f(x0) 或或 y | x=x0, 即即: D Dx f(x0+D Dx)- -f(x0) f (x0)=lim =
5、lim . D Dx0D DxD DyD Dx0 f (x)=y =lim =lim . D Dx f(x+D Dx)- -f(x) D Dx0D DxD DyD Dx0 函数函数 y=f(x) 的导数的导数 f (x), 就是就是当当 D Dx0 时时, 函数的增量函数的增量 D Dy 与与自变量的增量自变量的增量 D Dx 的比的比 的极限的极限, 即即: D DxD Dy求函数求函数 y=f(x) 在点在点 x0 处的导数的步骤处的导数的步骤:(2)求平均变化率求平均变化率: = ;D Dx f(x0+D Dx)- -f(x0) D DxD Dy(1)求函数的增量求函数的增量: y=f(
6、x0+x)-f(x0); (3) 取极限取极限: 得导数得导数 f (x0)=lim . D DxD DyD Dx0 如果函数如果函数 f(x) 在开区间在开区间 (a, b) 内每一点都可导内每一点都可导, 就说就说 f(x) 在开在开区间区间 (a, b) 内可导内可导. 这时这时, 对于开区间对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值内每一个确定的值 x0, 都对应着一个确定的导数都对应着一个确定的导数 f(x0), 这样就在开区间这样就在开区间 (a, b) 内内构成一个新的函数构成一个新的函数, 我们把这一新函数叫做我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间在开区间 (a, b)内的导
7、函数内的导函数, 记作记作 f(x) 或或 y(需指明自变量需指明自变量 x 时记作时记作 yx), 即即: 函数函数 y=f(x) 在点在点 x0 处的导数处的导数 f(x0), 就是曲线就是曲线y=f(x) 在点在点 P(x0, f(x0) 处的切线的斜率处的切线的斜率 k, 即即: k=tan=f(x0). 相应的切相应的切线方程为线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).2.导数的意义导数的意义(1)几何意义几何意义:(2)物理意义物理意义: 函数函数 S=s(t) 在点在点 t0 处的导数处的导数 s(t0), 就是当物体的运动方程就是当物体的运动方程为为 S=s(t) 时时, 物
8、体运动在时刻物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度时的瞬时速度 v, 即即: v=s(t0). 设设 v=v(t) 是速度函数是速度函数, 则则 v(t0)表示物体在时刻表示物体在时刻 t=t0 时的加速时的加速度度. f (x)=y =lim =lim . D Dxf(x+D Dx)- -f(x) D Dx0D DxD DyD Dx0 导函数也简称导数导函数也简称导数. 当当 x0(a, b) 时时, 函数函数 f(x) 在点在点 x0 处的导数处的导数 f(x0) 等于函数等于函数 f(x) 在开区间在开区间 (a, b)内的导数内的导数 f(x) 在点在点 x0 处处的函数值的函数值. 如果
9、函数如果函数 y=f(x) 在点在点 x0 处可导处可导, 那么函数那么函数 y=f(x) 在点在点 x0 处连处连续续, 但要注意连续不一定可导但要注意连续不一定可导. 3.几种常见函数的导数几种常见函数的导数(1)c=0(c 为常数为常数), (xn)=nxn-1(nQ);(2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx;(4)(ex)=ex, (ax)=axlna.(3)(lnx) = , (logax) = logae;1x1x典型例题典型例题 1 已知函数已知函数 f(x)= (1)确定确定 a, b 的值的值, 使使 f(x) 在在 x=0处连续、可导处连续、可导; (2)
10、求曲线求曲线 y=f(x) 在点在点 P(0, f(0) 处的切线方程处的切线方程. x2+x+1, x0, ax+b, x0. 解解: (1): (1)要使要使 f(x) f(x) 在在 x=0 x=0 处连续处连续, , 则需则需 lim f(x) =lim f(x)=f(0). x0 - -x0 +而而 lim f(x) =lim(x2+x+1)=1, f(0)=1, x0 - -x0 - -lim f(x) =lim(ax+b)=b, x0 +x0 +故当故当 b=1 时时, 可使可使 f(x) 在在 x=0 处连续处连续. 又又 lim =limD DxD Dy(0+D Dx)2+(
11、0+D Dx)+1- -(02+0+1)D Dx0 - -D Dx0 - -D Dx=lim (D Dx+1)=1, D Dx0 - -D Dx0 +lim =limD DxD Dya(0+D Dx)+b- -(02+0+1)D DxD Dx0 +=lim aD Dx+b- -1D DxD Dx0 +=a+lim b- -1 D DxD Dx0 +故当故当 b-1=0 且且 a=1 即即 a=b=1 时时, f(x) 在在 x=0 处可导处可导. 综上所述综上所述, 当当 b=1, a R 时时, f(x) 在在 x=0 处连续处连续, 当当 a=b=1 时时, f(x) 在在 x=0 处可导
12、处可导. (2)由由(1)知知, f (0)=1, 又又 f(0)=1, 故曲线故曲线 y=f(x) 在点在点 P(0, f(0) 处的切线方程为处的切线方程为 y-1=x-0, 即即 x-y+1=0. 典型例题典型例题 2 若若 f(x) 在在 R 上可导上可导, (1)求求 f(-x) 在在 x=a 处的导数与处的导数与 f(x) 在在 x=-a 处的导数的关系处的导数的关系; (2)证明证明: 若若 f(x) 为偶函数为偶函数, 则则 f (x) 为奇函数为奇函数.(1)解解: 设设f(-x)=g(x), 则则=-f (-a). f(-x) f(-x) 在在 x=a x=a 处的导数与处
13、的导数与 f(x) f(x) 在在 x=-a x=-a 处的导数互为处的导数互为相反数相反数. . (2)证证: f(x) 为偶函数为偶函数, ff (x) (x) 为奇函数为奇函数. .g (a)=lim D Dx0 g(a+D Dx)- -g(a) D Dx=lim D Dx0 f(- -a- -D Dx)- -f(- -a) D Dx=- -lim - -D Dx0 f(- -a- -D Dx)- -f(- -a) - -D Dx=lim D Dx0 f(x- -D Dx)- -f(x) D Dx=- -lim - -D Dx0 f(x- -D Dx)- -f(x) - -D Dx=-f
14、 (x), D Dx0 f(- -x+D Dx)- -f(- -x) D Dxf (- -x)=lim 注注: : 本题亦可利用复合函数的求导法则解决本题亦可利用复合函数的求导法则解决. . 典型例题典型例题 3 已知曲线已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线直线 l: y=kx, 且直线且直线 l 与曲线与曲线 C 相相切于点切于点 (x0, y0)(x0 0), 求直线求直线 l 的方程及切点坐标的方程及切点坐标.解解: 由已知直线由已知直线 l 过原点且其斜率过原点且其斜率 k= , x0y0点点 (x0, y0) (x0, y0) 在曲线在曲线 C C 上上, y0=x03-,
15、 y0=x03-3x02+2x0.3x02+2x0. =x02- -3x0+2.x0y0又又 y y =3x2-6x+2,=3x2-6x+2,在点在点 (x0, y0) (x0, y0) 处曲线处曲线 C C 的切线斜率的切线斜率 k=yk=y |x=x0.|x=x0.x02-3x0+2=3x02-6x0+2.x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得整理得 2x02- 2x02-3x0=0.3x0=0.解得解得 x0= (x0 0) ). 32这时这时 y0=- - , k=- - . 3814直线直线 l 的方程为的方程为 y=- - x, 14切点坐标是切点坐标是 ( , - -
16、). 3832 注注 有关曲线的切线问题有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义可考虑利用导数的几何意义. 曲线曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的因此斜率也是唯一的(若存在的若存在的话话), 采用斜率相等这一重要关系采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题往往都可解决这类问题. 典型例题典型例题 4 求曲线求曲线 y=2- - x2 与与 y= x3- -2 的交点处切线的夹角的交点处切线的夹角( (用弧度数用弧度数作答作答) ).1214解解: 由由 y=2- - x2 与与 y= x3- -2联立方程组解得交点坐标为联立方程组
17、解得交点坐标为 P(2, 0). 1214y=2- - x2 的导函数为的导函数为 y=- -x, 12它在它在 P P 处的切线斜率处的切线斜率 k1=-2, k1=-2, 同理同理, 曲线曲线 y= x3- -2 在在 P 处的切线斜率处的切线斜率 k2=3, 14由夹角公式由夹角公式 tan =| |=1 得得 k2- -k11+k2k1 4 = . 故两曲线的交点处切线的夹角为故两曲线的交点处切线的夹角为 . 4 课后练习课后练习 1 已知函数已知函数 f(x)= 判断判断 f(x) 在在 x=1 处是否可导处是否可导.(x2+1), x1, (x+1), x1. 1212D DxD
18、Dy lim lim , D DxD DyD Dx0 - -D Dx0 +解解: lim =lim D DxD DyD Dx0 - -(1+D Dx)2+1- - (12+1)D Dx0 - -D Dx1212lim =lim D DxD DyD Dx0 +D Dx0 +(1+D Dx+1)- - (12+1)D Dx1212=1, = , 12 f(x) f(x) 在在 x=1 x=1 处不可导处不可导. . 注注 判定分段函数在判定分段函数在“分界点处分界点处”的导数是否存在的导数是否存在, 要验证其左、要验证其左、右极限是否存在且相等右极限是否存在且相等, 如果存在且相等如果存在且相等,
19、 那么这点的导数存在那么这点的导数存在, 否则不存在否则不存在.=lim (1+ D Dx) 12D Dx0 - -=lim 12D Dx0 +D DxD Dx D Dx0 D DxD Dy从而从而 lim 不存在不存在. 课后练习课后练习 2 若函数若函数 f(x)=|x|, (1)试判断试判断 f(x) 在在 x=0 处是否可导处是否可导; (2)当当 x 0时时, 求求 f(x) 的导数的导数.解解: (1): (1)D Dy=f(0+y=f(0+D Dx)-x)-f(0)=|f(0)=|D Dx|, x|, D DxD DyD Dx0 - -D Dx0 + lim lim , D Dx
20、D Dy D Dx0 D DxD Dy从而从而 lim 不存在不存在. 故函数故函数 f(x)=|x| 在点在点 x=0 处不可导处不可导. (2)当当 x0 时时, 可使可使 x+D Dx0. f (x)=lim =lim D Dxf(x+D Dx)- -f(x) D Dx0D Dx|x+D Dx|- -|x| D Dx0=lim D Dx(x+D Dx)- -x D Dx0=1. 同理可得同理可得, 当当 x0 时时, f (x)=-1. = . D Dx|D Dx| D DxD Dy当当 D Dx0 时时, =1, lim =1, D Dx0 D DxD DyD DxD Dy 注注 函数
21、在一点连续函数在一点连续, 但不一定可导但不一定可导; 函数在一点可导函数在一点可导, 直观反直观反映是函数的图象在这一点是平滑的映是函数的图象在这一点是平滑的. 课后练习课后练习 3 一质点作直线运动一质点作直线运动, 它所经过的路程它所经过的路程 S(单位单位: m)和时间和时间 t(单位单位: s)的关系是的关系是 S=3t2+t+1. (1)求求 2, 2.01 这段时间内质点的平均速这段时间内质点的平均速度度; (2)当当 t=2 时的瞬时速度时的瞬时速度.解解: (1): (1)D DS=3S=3 2.012+2.01+1-2.012+2.01+1-(3(3 22+2+1) 22+
22、2+1) =0.1303. =0.13030.01v= D Dt D DS=13.03(m/s). (2)D DS=3(t+D Dt)2+(t+D Dt)+1-(3t2+t+1) =3t2+(1+6t)t, D Dt D DS =3D Dt2+(1+6t)D DtD Dt=3t+1+6t.v=lim D Dt D DSD Dt0 =lim(3D Dt+1+6t) D Dt0 =6t+1.v | v | t=2=13.t=2=13.即当即当 t=2 时时, 质点运动的瞬时速度为质点运动的瞬时速度为 13m/s.注注 (2)亦可直接对函数求导后解决亦可直接对函数求导后解决. 课后练习课后练习 4
23、如果曲线如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线的某一切线与直线 y=4x+3 平行平行, 求切点求切点坐标与切线方程坐标与切线方程.解解: : 切线与直线切线与直线 y=4x+3 y=4x+3 平平行行, , 切线斜率为切线斜率为 4. 4.又切线在又切线在 x0 x0 处斜率为处斜率为 y y | | x=x0 x=x03x02+1=4.3x02+1=4.x0=x0= 1.1.当当 x0=1 x0=1 时时, y0=-, y0=-8;8;当当 x0=-1 x0=-1 时时, y0=-, y0=-12. 12. 切点坐标为切点坐标为 (1, -8) (1, -8) 或或 (-1, (-
24、1, -12).-12).切线方程为切线方程为 y=4x-12 或或 y=4x-8.=(x3+x-10) | x=x0 =3x02+1. 课后练习课后练习 5 已知曲线已知曲线 S: y=x3-6x2-x+6. (1)求求 S 上斜率最小的切线方程上斜率最小的切线方程; (2)证明证明: S 关于切点对称关于切点对称.(1)解解: 由已知由已知 y =3x2-12x-1, 当当 x=2 x=2 时时, y, y 最小最小, , 最小值为最小值为 -13.-13.S S 上斜率最小的切线的斜率为上斜率最小的切线的斜率为 -13, -13, 切点为切点为 (2, (2, -12).-12).切线方
25、程为切线方程为 y+12=-13(x- y+12=-13(x-2),2),即即 13x+y-14=0. 13x+y-14=0.(2)证证: 设设 (x0, y0) S, (x, y) 是是 (x0, y0) 关于关于 (2, -12) 的对称的对称点点, 则则 x0=4-x, y0=- x0=4-x, y0=-24-y.24-y.(x0, (x0, y0)y0) S, S, -24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x )+6.-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x )+6.整理得整理得 y=x3-6x2-x+6.(x, y)(x, y) S. S. 曲线曲线 S S 关于切
26、点关于切点 (2, -12) (2, -12) 对称对称. . 课后练习课后练习 6 设直线设直线 l1 与曲线与曲线 y= x 相切于相切于 P, 直线直线 l2 过过 P 且垂直且垂直 l1, 若若 l2 交交 x 轴于轴于 Q 点点, 又作又作 PK 垂直垂直 x 轴于轴于 K 点点, 求求 KQ 的长的长.解解: : 设设 P(x0, y0), P(x0, y0), 则则 kl1=y kl1=y | x=x0| x=x0= . 2 x01直线直线 l2 l2 垂直垂直 l1, l1, kl2=- -2 x0. l2: y- -y0=- -2 x0(x- -x0). 令令 y=0, 则则 - -y0=- -2 x0(xQ- -x0), 即即 - - x0=- -2 x0(xQ- -x0). 解得解得 xQ= +x0. 12又易得又易得 xK=x0, xK=x0, |KQ|=|xQ- -xK|= , 12即即 KQ 的长为的长为 . 12
