1、九章算术九章算术杨辉杨辉详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表本积本积平方平方立方立方三乘三乘四乘四乘五乘五乘商实商实 1 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1杨辉三角与杨辉三角与二项式定理二项式定理cn1cn2cnn1112nncrnccn21crn11crn 1cnn31cnn211 111nc证明：证明： 2 2）假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即011 1().kkkrk r rk kkkkka bC aCa bC a bC b 则当则当n=k+1n=k+1时，时， 1)(kba011 1(.)()kkrk rrkkkkkC aC abC ab
2、Cab01111.kkrk r bkkkkkkC aCa bC a bC ab 0+110+1+11+1=+()+.+()+ .+()+kkrrk rbkkkkkkkkkkkkkC aCC a bCC abCCabC b)()(babak 1)1)当当n=1n=1时，时，左边左边a+ba+b, , 右边右边a+ba+b 所以等式成立所以等式成立0111.krk rrkkkkkkkkC a bC abCabC bL利用组合数的重要性质可得利用组合数的重要性质可得 1011111111111().kkkrk rrkkkkkkabCaCa bCabCb011 1().nnnrn r rn nnnnn
3、a bC aCa bC a bC b 求证：求证：rnrnrnCCC111 rnnrnCC 1 1）表中每个数都是组合数，表中每个数都是组合数，第第n n行的第行的第r+1r+1个数是个数是 2 2）三角形的两条斜边上都是数字三角形的两条斜边上都是数字1 1，而其余的数都等，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是于它肩上的两个数字相加，也就是 3 3）杨辉三角具有对称性杨辉三角具有对称性 4 4）杨辉三角的第杨辉三角的第n n行是二项式（行是二项式（a+ba+b）n n展开式的二项展开式的二项式系数即式系数即! () !rnnCrnrg011 1().nnnrn rrn nnnnna b
4、C aCa bC a bC b 前课复习前课复习nnnnnccc2.105 5）所有项的二项式系数之和所有项的二项式系数之和1. 1. 斜行规律：斜行规律：第一条斜线上：第一条斜线上：16C 第二条斜线上：第二条斜线上：26C 第三条斜线上：第三条斜线上：36C 第四条斜线上：第四条斜线上：46C 猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+2+3+4+5=151+3+6+10=201+3+6+10=201+4+10=1
5、51+4+10=15第第m+1m+1条斜线上的第条斜线上的第n n个数个数. .观察杨辉三角的图形，组成它的观察杨辉三角的图形，组成它的数有什么排列规律么？数有什么排列规律么？第第4 4条斜线条斜线 1 14 41010 31 nC第第3 3条斜线条斜线1 13 36 6 21 nC第第2 2条斜线条斜线1 12 23 3 11 nC (nr)121.rrrrrrrnCCCC第第1条斜线条斜线 1 11 11 1 1 1 1nC2nC3nC4nC1 rnC结论结论1 1：杨辉三角中，第杨辉三角中，第m m条斜条斜( (从右上到左下从右上到左下) )上前上前n n个数字个数字的和，等于第的和，等
6、于第m+1m+1条斜线上第条斜线上第n n个数个数1121.()rrrrrrrrnnCCCCCnr即即兔子繁殖问题也可以从杨辉兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：三角得到答案：1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434， 2.2.斐波那契斐波那契“兔子繁殖问题兔子繁殖问题”中世纪意大利中世纪意大利数学家数学家斐波那斐波那契契(Fibonacci)的传世之作的传世之作算术之法算术之法中中提出了一个饶提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一子，再过一个月就开始生
7、下一对小兔子，并且以后每个月都对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？内可以繁殖成多少对兔子？ ? ? 125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么
8、规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1从第三从第三个数起，个数起，任一数任一数都等于都等于前两个前两个数的和数的和; ;这就是著名的斐波那契数列这就是著名的斐波那契数列则在兔子繁殖问题中从上而则在兔子繁殖问题中从上而下的一列数下的一列数1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，正好是刚生的，正好是刚生的兔子，第一个月后的兔兔子，第一个月后的兔子第二个月后的兔了，第子第二个月后的兔了，第三个月后的兔子，三个月后的兔子，个月后个月后的兔子的对数的兔子的对数我们把满足条件我们把满足条件: :a a1 1=a=a2 2=1,a=1,an+2n+2=a=an+1n
9、+1+a+an n的数列的数列aan n 称为称为斐波斐波那契数列那契数列. .其通项公式为其通项公式为: :.)251()251(51nnna由条件中的递推式知由条件中的递推式知, ,斐波那契数列中的各项均是斐波那契数列中的各项均是整数整数, ,那么你能否证明满足那么你能否证明满足 的数列的数列aan n 的各项均是整数的各项均是整数? ?)251()251(51nnna在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 ( (黑色黑色 ) ) 向容向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡
10、物再等可能地向两侧第三层跌落，第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，3. 3. 杨辉三角与高尔顿钉板杨辉三角与高尔顿钉板如是，一直下跌，最终小球落入底层，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问根据具体区域获得奖品。试问:哪边的哪边的奖品会比较高档？奖品会比较高档？分析：分析：弹子从每一通道通过时可能情况是：它弹子从每一通道通过时可能情况是：它选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一个通道的可能情形，个通道的可能情形，应等于它左右肩上两个通应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和道的可能情形的和。可以设想，第。可以设想，第1 1层只有
11、层只有条通道，通过的概率是条通道，通过的概率是: : 1 1；第；第2 2层有条通道，层有条通道，每条通过的概率依次是每条通过的概率依次是: :1/2,1/21/2,1/2；第；第3 3层有层有3 3个个通道，每条通过的概率从左到右依次通道，每条通过的概率从左到右依次是是: :1/4,2/4,1/41/4,2/4,1/4；第；第4 4层各通道通过的概率从层各通道通过的概率从左到右依次是左到右依次是: :1/8,3/8,3/8,1/81/8,3/8,3/8,1/8；照这样计算；照这样计算第第n+1n+1层有层有n+1n+1个通道，弹子通过各通道的概率个通道，弹子通过各通道的概率将是多少？将是多少
12、？“概率三角形概率三角形” 11241414121218383818通过研究可以发现第通过研究可以发现第n n行各概率的分行各概率的分子正是杨辉三角中的数，而分母是子正是杨辉三角中的数，而分母是2 2 n n. . 英国数学家高尔顿则通过设计这样一个实验证实，如果放英国数学家高尔顿则通过设计这样一个实验证实，如果放入大量得球的话其最后呈现的曲线总是雷同的，也就是说入大量得球的话其最后呈现的曲线总是雷同的，也就是说落入格中的概率分布趋向稳定。落入格中的概率分布趋向稳定。服从正态分布服从正态分布“纵横路线图纵横路线图” ” 是数学中的一类有趣的问题，中小学的是数学中的一类有趣的问题，中小学的数学中
13、时有出现数学中时有出现, ,图图1 1是某城市的一部分街道图，纵横各有是某城市的一部分街道图，纵横各有五条路如果从五条路如果从A A处走到处走到B B处处( (只能由北到南，由西向东只能由北到南，由西向东) )，那，那么有多少种不同的走法？我们把图么有多少种不同的走法？我们把图1 1稍加转动，使稍加转动，使A A在正上在正上方，方，B B在正下方，然后在图在正下方，然后在图1 1的交叉点标上相应的杨辉三角的交叉点标上相应的杨辉三角数，其数阵就是图数，其数阵就是图2 2的菱形数表的菱形数表4.“杨辉三角杨辉三角”与与“纵横路线图纵横路线图”有趣的是，有趣的是，B B处位置所对应处位置所对应的杨辉
14、三角数，正好就是本的杨辉三角数，正好就是本题的答案题的答案7070杨辉三角中的数，都是一些杨辉三角中的数，都是一些组合数，这些数无论在初等组合数，这些数无论在初等数学或高等数学中，都有着数学或高等数学中，都有着广泛的应用关于它的性广泛的应用关于它的性质则是重要的数学分支质则是重要的数学分支“组合数学组合数学”的研究对象的研究对象 . .将杨辉三角中的每个数将杨辉三角中的每个数 地换成地换成 , ,得到一个只得到一个只有单位分数组成的三角形有单位分数组成的三角形, ,称为莱布尼茨三角形称为莱布尼茨三角形, ,莱布莱布尼茨三角形又许多性质，这里仅介绍一条尼茨三角形又许多性质，这里仅介绍一条rnCr
15、nCn) 1(1每行的数字都等于左右每行的数字都等于左右“两足两足”的数字和的数字和111)2(1)2(1)1(1rnrnrnCnCnCn5.“5.“杨辉三角杨辉三角”与与“莱布尼茨三角形莱布尼茨三角形”112121313161614141121121512013012015160130130160161注：莱布尼兹注：莱布尼兹(Gottfriend(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646- Wilhelm Leibniz,1646-1716)1716)是是1717、1818世纪之交德国最重要的数学家、物理世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家学家和哲学家, ,一
16、个举世罕见的科学天才。一个举世罕见的科学天才。6.6.华罗庚与杨辉三角的研究华罗庚与杨辉三角的研究 华罗庚（华罗庚（1910-19851910-1985）是一位具有世界声誉）是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界著名数学行列最的数学家，我国进入世界著名数学行列最杰出的代表。撰写杰出的代表。撰写1010部专著、部专著、200200篇论文和篇论文和1010余部科普著作。由于他的贡献，有许多余部科普著作。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名在他的科普著作字命名在他的科普著作从杨辉三角谈从杨辉三角谈起起中，对杨辉三角的构成，提出了许多中，对杨辉三角的构成，提出了许多有趣的看法有趣的看法 杨辉三角是数学之花，是中国古代数学得伟大成就。它有许多杨辉三角是数学之花，是中国古代数学得伟大成就。它有许多有趣的性质和用途。本节课所介绍的几个问题不过只是管中窥有趣的性质和用途。本节课所介绍的几个问题不过只是管中窥豹而已。同学们有兴趣的话可以找相关得专著来看。豹而已。同学们有兴趣的话可以找相关得专著来看。
