1、追及与相遇问题分析和解题思路1 2 3 n 追及与相遇问题分析和解题思路追及与相遇问题分析和解题思路追及与相遇问题分析和解题思路追及与相遇问题分析和解题思路 1.物理分析法物理分析法：抓好抓好“两物体能否同时到达空间某位两物体能否同时到达空间某位置置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。建立起一幅物体运动关系的图景。 2.数学分析法数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的方程（通常为一元二次方程），用判别式进行讨论，若0，即有两个解，说明可以相遇两次；若=0，说明刚好追上或相遇；若0，说明
2、追不上或不能相碰。 3.图象法图象法：将两者的速度将两者的速度时间图象在同一坐标系中画时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解。出，然后利用图象求解。 4.相对运动法相对运动法：巧妙地选取参照系，然后找两物体的运动关系。 解答追及、相遇问题常用的方法解答追及、相遇问题常用的方法追及与相遇问题分析和解题思路(1)速度小者追速度大者速度小者追速度大者类型类型图象图象说明说明匀加速追匀加速追匀速匀速t=t0以前以前,后面物体与前面后面物体与前面物体间距离增大物体间距离增大t=t0即速度相等时即速度相等时,两物体两物体相距最远为相距最远为x0+ xt=t0以后，后面物体与前以后，后面物体与前面物体
3、间距离减小面物体间距离减小能追及且只能相遇一次能追及且只能相遇一次匀速追匀匀速追匀减速减速匀加速追匀加速追匀减速匀减速追及与相遇问题分析和解题思路1.1.在解决追及相遇类问题时，要紧抓在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。2.2.分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚刚好好”“”“恰好恰好”
4、“”“最多最多”“”“至少至少”等，往往对应一个临等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。界状态，满足相应的临界条件。解题思路解题思路分析两物体分析两物体运动过程运动过程画运动画运动示意图示意图找两物体找两物体的关系式的关系式列方程列方程求解求解追及与相遇问题分析和解题思路(1)(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？例例3一辆汽车以一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆的加速度开始启动的瞬间，另一辆 以以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从
5、汽车的旁边的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过通过(2)当当v汽汽v自自时，两者距离如何变化？时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？是多大？(3)画出两车运动的画出两车运动的vt图象，并试着用图象法解上述两问题图象，并试着用图象法解上述两问题追及与相遇问题分析和解题思路例例3一辆汽车以一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，的加速度开始启动的瞬间，解：解：汽车汽车:tatv3汽222321tatx汽追及与相遇问题分析和解题思路例例3一辆汽车以一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的
6、瞬间，另一辆的加速度开始启动的瞬间，另一辆 以以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车的速度做匀速直线运动的自行车恰好恰好从汽车的旁边从汽车的旁边通过通过(1)(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？(2)当当v汽汽v自自时，两者距离如何变化？时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？距离是多大？解：解：汽车汽车:tatv3汽222321tatx汽乘客乘客:smv/6自tvtx6人追
7、及与相遇问题分析和解题思路追及与相遇问题分析和解题思路(3)画出两车运动的画出两车运动的vt图象，并试着用图象法解上述两问题图象，并试着用图象法解上述两问题追及与相遇问题分析和解题思路练一练、甲练一练、甲.乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方前方L111 m处，乙车速度处，乙车速度v乙乙60 m/s，甲车速度，甲车速度v甲甲50 m/s，此时乙车离终点线尚有，此时乙车离终点线尚有L2600 m，如图所示，如图所示.若甲车加若甲车加速运动，加速度速运动，加速度a2 m/s2，乙车速度不变，不计车长，乙车速度不变，不计车长.求：求：（1）经过
8、多长时间甲）经过多长时间甲.乙两车间距离最大，最大距离是多少？乙两车间距离最大，最大距离是多少？ （2）经过多长时间甲乙两车相遇？）经过多长时间甲乙两车相遇？（3）试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车？）试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车？ 追及与相遇问题分析和解题思路(2)速度大者追速度小者速度大者追速度小者类型类型图象图象说明说明匀减速匀减速追追匀速匀速开始追及时，后面物体与前面物体间开始追及时，后面物体与前面物体间的距离的距离在减小，当两物体速度相等时，即在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：时刻：若若 x=x0，则恰能追及，两物体只，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也
9、是避免相撞的临界能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件条件若若 xx0，则相遇两次，设，则相遇两次，设t1时刻时刻 x1=x0，两物体第一次相遇，则，两物体第一次相遇，则t2时时刻两物体第二次相遇刻两物体第二次相遇匀速追匀速追匀匀加速加速匀减速匀减速追追匀加速匀加速追及与相遇问题分析和解题思路 说明：说明：表中的表中的 x是开始追及以后，后面物体因速度大而比是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；前面物体多运动的位移； x0是开始追及以前两物体之间的距离；是开始追及以前两物体之间的距离； t2-t0=t0-t1； v1是前面物体的速度，是前面物体的速度，v2是后面物体的速度。是
10、后面物体的速度。追及与相遇问题分析和解题思路解：解：汽车汽车:tatv2汽2221tatx汽乘客乘客:smv/4人tvtx4人此时人和车相距最近此时人和车相距最近 此过程：此过程：x人人vt42 m8 mmtatx42122汽追及与相遇问题分析和解题思路 在一条平直的公路上，乙车以在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为，加速度大小为0.5m/s2的的匀减速运动，则两车初始距离匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：满足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；）两车不相遇；（2）两车只
11、相遇一次；）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）追及与相遇问题分析和解题思路例例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？多长时间两车相距最远？此时距离是多少？追及与相遇问题分析
12、和解题思路甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图象如图象如图示，图中图示，图中OPQ和和OQT的的“面积面积”分别为分别为x1和和x2(x2x1)。初始时，甲车在乙车前方。初始时，甲车在乙车前方x0处处( )A.若若x0=x1+x2，两车不会相遇，两车不会相遇B.若若x0 x1，两车相遇，两车相遇2次次C.若若x0=x1，两车相遇，两车相遇1次次D.若若x0=x2，两车相遇，两车相遇1次次A B C追及与相遇问题分析和解题思路分析：汽车追上自行车之前，分析：汽车追上自行车之前， v汽汽v自自时时 x变小变小解法一解法一 物理分析法物理分析法两者速度相等
13、时，两车相距最远。两者速度相等时，两车相距最远。 （速度关系）（速度关系） v汽汽=at=v自自 t= v自自/a=6/3=2sx= v自自t at2/2=62 3 22 /2=6m追及与相遇问题分析和解题思路解法二解法二 用数学求极值方法来求解用数学求极值方法来求解设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远x=x1x2=v自自t at2/2 （位移关系）（位移关系） x=6t 3t2/2由二次函数求极值条件知由二次函数求极值条件知t= b/2a = 6/3s = 2s时，时， x最大最大 xm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 追及与相遇问题分析和解题思路解法三解法三 用相
14、对运动求解更简捷用相对运动求解更简捷 选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：初速度初速度 v0= v汽初汽初v自自=0 6= 6 m/s末速度末速度 vt= v汽末汽末v自自=6 6= 0加速度加速度 a= a汽汽a自自=3 0= 3 m/s2 相距最远相距最远 x= = = 6 mvt2 v02 2a 6223追及与相遇问题分析和解题思路解法四解法四 用图象求解用图象求解1）自行车和汽车的）自行车和汽车的v t 图象图象 如图如图v/（ms-1）v
15、60t/sttV汽汽V自自由于图线与横坐标轴所包围的面积表由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出示位移的大小，所以由图上可以看出在相遇之前，在在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，时刻两车速度相等时， 自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以之差（即斜线部分）达最大，所以t=v自自/a= 6 / 3=2 s2）由图可看出，在）由图可看出，在t时刻以后，由时刻以后，由v自自线与线与v汽汽线组成的三线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相角形面积与标有斜线的三角形面积相
16、等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，等（即相遇）。所以由图得相遇时， t=2t=4 s v = 2v自自=12 m/s mtt662212621自自vvs追及与相遇问题分析和解题思路 2什么时候汽车追上自行车，此时汽车的什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？速度是多少？ 解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）则则 vt=at2/26t= at2/2， t=4 s v= at= 34=12 m/s 思考：若自行车超过汽车思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那后，汽车才开始加速。那么，前面的么，前面的1、2两问如
17、何？两问如何？ 追及与相遇问题分析和解题思路例例2：A火车以火车以v1=20m/s速度匀速行驶，速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距司机发现前方同轨道上相距100m处有处有另一列火车另一列火车B正以正以v2=10m/s速度与速度与A火火车同方向匀速行驶，车同方向匀速行驶，A车立即做加速车立即做加速度大小为度大小为a的匀减速直线运动。要使两的匀减速直线运动。要使两车不相撞，车不相撞，a应满足什么条件？应满足什么条件？追及与相遇问题分析和解题思路两车恰不相撞的条件是：两车速度两车恰不相撞的条件是：两车速度相同时相遇相同时相遇. .由由A A、B B 速度关系：速度关系： 由由A A、B B位移关
18、系：位移关系： 21vatv022121xtvattv2220221m/s5 . 0m/s1002)1020(2)(xvva2/5 . 0sma 则方法一：物理分析法方法一：物理分析法追及与相遇问题分析和解题思路v/ms-1B BA At/so10t020100)1020(210tst2005 . 0201020a2/5 . 0sma 则方法二：图象法方法二：图象法追及与相遇问题分析和解题思路022121xtvattv 代入数据得代入数据得 010010212tat若两车不相撞，其位移关系应为若两车不相撞，其位移关系应为2/5 . 0sma 则0214)10(1002142aa其图像其图像(
19、(抛物线抛物线) )的顶点纵坐标必为正值的顶点纵坐标必为正值, ,故有故有方法三：二次函数极值法方法三：二次函数极值法追及与相遇问题分析和解题思路022121xtvattv 代入数据得代入数据得 010010212tat不相撞不相撞 000100214100a2/5 . 0sma 则方法四、判别式法：方法四、判别式法：追及与相遇问题分析和解题思路 以以B车为参照物，车为参照物， A车的初速度为车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小以加速度大小a减速，行驶减速，行驶x=100m后后“停下停下”，末速度为末速度为vt=002022axvvt2220202/5 . 0/10021002smsmx
20、vvat2/5 . 0sma 则 以以B B为参照物为参照物, ,公式中的各个量都应是相对公式中的各个量都应是相对于于B B的物理量的物理量. .注意物理量的正负号注意物理量的正负号. .方法五：相对运动法方法五：相对运动法追及与相遇问题分析和解题思路例例3、一车从静止开始以、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距的加速度前进，车后相距x0为为25m处，某人同时开始以处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 一、数学分析法：一、数学分析法：依题意，人与车运动的时间相等，设为依题意，人
21、与车运动的时间相等，设为t,当人追上车时，两者之间的位移关系为：当人追上车时，两者之间的位移关系为：x车车+x0= x人人即：即： at22 + x0= v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，则可追上；，若有解，则可追上； 若无解，则不能追上。若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：代入数据并整理得：t212t+50=0=b24ac=1224501=560所以，人追不上车。所以，人追不上车。x0v=6m/sa=1m/s2追及与相遇问题分析和解题思路 二、物理分析法二、物理分析法在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐
22、渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。at= v人人 t=6s在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为：x人人=v人人t=66=36mx车车=at2/2=162/2=18mx=x0+x车车x人人=25+1836=7m 二、数学分析法二、数学分析法s=1/21t2 +25 - 6t = 1/21t2 - 6t +25=-14x汽汽所以，汽车不能撞上自行车。所以，汽车不能撞上自行车。汽车与自行车间的最近距离为汽车与自行车
23、间的最近距离为x=x0+x自自x汽汽=（10+47）m=7m数学分析法数学分析法x=x0+x自自x汽汽= (10+4t)- (10t-1/26t2)=3t2-6t+10 =-840，无解，无解 不相遇不相遇st追及与相遇问题分析和解题思路追及类问题【例2】摩托车先由静止开始以25/16 m/s2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度 25 m/s匀速运动，追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开 始运动时与卡车的距离为1 000 m，则： (1)追上卡车前二者相隔的最大距离是多少？ (2)摩托车经过多少时间才能追上卡车？ 【解析】(1)对摩托车由静止开始匀加速至vm=25
24、m/s，用时t1=vm/a=16 s。 发生位移x1=vm2/(2a)=200 m，显然未追上卡车。 则追上卡车前二者共速时，间距最大(如图所示)，即x=x0+x卡-x摩 x摩=v2/(2a) x卡=v v/a 由联立得x=1 072 m。追及与相遇问题分析和解题思路 1.通过运动的分析，找隐含条件 2.利用二次函数求极值的方法 3.因追及相遇问题至少涉及两个物体的运动问题，对描述它们的物理量必须选同一参考系。基本思路是： 分别对两物体研究 画出运动过程示意图 列出方程 找出时间关系 解出结果，必要时进行讨论 (2)追上时，由运动情景图(如图所示)分析可知， x摩=x卡+x0 vm2/(2a)
25、+vm(t-t1)=x0+vt 解得t=120 s。【答案】(1)1 072 m (2)120 s追及与相遇问题分析和解题思路A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？【答案】6 s追及与相遇问题分析和解题思路用图象求解追及问题【例3】甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运 动，它们的v-t图象如图所示。两图象在 t=t1时 相交于P点，P在横轴上的投影为Q，OPQ的 “面积”为S。
26、在t=0时刻，乙车在甲车前面，相 距为d。已知此后两车相遇两次，且 第一次相 遇的时刻为t，则下面四组t和d的组合可能 是 ( ) A.t=t1，d=S B.t=(1/2)t1，d=(1/4)S C.t=(1/2)t1，d=(1/2)S D.t=(1/2)t1 ，d=(3/4)SD 【解析】甲做匀速运动，乙做匀加速运动，速度越来越大，甲、乙同时异地运动，当t=t1时，乙的位移为S，甲的位移为2S且v甲=v乙，若两者第一次相遇在t=t1时，则由d+S=2S可得d=S。不过不会出现第二次相遇，所以A错误；若两者第一次相遇在t=(1/2)t1时，乙的位移为(1/4)S，甲的位移为S，由d+(1/4)S=S可得d=(3/4)S，所以D正确，B、C错误。追及与相遇问题分析和解题思路 (1)v-t图象中，由于位移的大小可以用图线和坐标轴包围的“面积”表示，因此可以根据“面积”判断物体是否相遇，还可以根据“面积”差判断物体间距离的变化。 (2)用图象法求解运动学问题形象、直观，利用运动图象可以直接得出物体运动的速度、位移、加速度，甚至可以结合牛顿第二定律根据加速度来确定物体的受力情况。追及与相遇问题分析和解题思路
