1、第三章 微分中值定理与导数的应用第三节 泰勒公式目的目的 用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数.应用应用理论分析理论分析, , 近似计算近似计算.一. 泰勒公式的建立这些都是用这些都是用一次多项式一次多项式来近似表达函数的例子来近似表达函数的例子.设设 在在 处处可导可导，则有，则有 ， ( )f x0 x000( )()()()f xf xfxxx例如例如当当 很小时，有如下的近似公式很小时，有如下的近似公式: :xe1,xx 0()o xx误差为误差为 . .ln(1),xx缺点缺点1. 精确度不高；精确度不高；2. 误差不能估计误差不能估计.从几何上看从几何上看, ,缺陷缺陷1 1是
2、由于我们在是由于我们在 附近用附近用直线直线代替代替曲线曲线，精度当然不高精度当然不高. .00(,()xf x以直代曲以直代曲0 x1( )p xxxy( )yf xO特点特点10()p x0(),f x0().fx)(xf000( )()()()f xf xfxxx10()p x的一次多项式的一次多项式x1( )p x需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ? ?如何估计误差如何估计误差 ? ?y=ex1y=1+x2211xxy1x0y21设想设想能否改用二次曲线能否改用二次曲线, , 三次曲线三次曲线, , , , 代替代替? ? 精度是否精度是否能提高能提高, , 即：曲
3、线的吻合程度是否会更好些呢即：曲线的吻合程度是否会更好些呢? ?设函数设函数 在在 处处 阶可导阶可导 , ,试找出一个试找出一个 ( )fx0 xn2010200( )()()()nnnpxaa xxaxxaxx来近似表达来近似表达 ，要求使得，要求使得 与与 之差是当之差是当( )f x( )npx( )f x0()xxn关于关于 的的 次多项式次多项式 问题问题: : 0 xx0()nxx时比时比 高阶的无穷小高阶的无穷小. . 0 xoy分析分析2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在点若在点 对应点相交对应点相交0 x0
4、0()()nP xf x00()()nP xfx00()()nP xfx( )yf xx2010200()()() ,( )nnnaa xxpxaxxaxx( )npx1a202()axx10(),nnnaxx( )npx22!a20(1)(),nnn naxx!.nn a( )( )nnpx 00(),npxa 01(),npxa( )10!().nnnnpxa !2102(),napx假设假设 在在 处的函数值及它的直到处的函数值及它的直到 阶导数在阶导数在 处处( )npx0 xn0 x00()(),npxf x00()()npxfx( )( )00,()(),nnnpxfx得得 ， ，
5、 ， 00()af x10()afx02()2fxa！，( )0(),nnfxan！( )000(),(),()nf xfxfx的值依次与的值依次与 相等，即满足相等，即满足( )20000000()()( )()()()()() .2!nnnfxfxpxf xfxxxxxxxn二. 泰勒(Taylor)中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理1 1 如果函数如果函数 在在 处具有处具有 阶导数，阶导数，( )f x0 xn200000()( )()()()() +2!fxf xf xfxxxxx0( )() )nnR xo xx其中其中 . .( )00()()( ),!nnnfxxxR xn0 x
6、x那么存在那么存在 的一个邻域，对于该邻域内的任一的一个邻域，对于该邻域内的任一 ，有，有证证记记 ，由于，由于( )( )( )nnR xf xpx( )0000()()()()0.nnnnnR xRxRxRx由于由于 在在 处具有处具有 阶导数，因此阶导数，因此 必在必在 的某邻的某邻 ( )f x0 xn( )f x0 x(1)n ( )nRx(1)n 域内存在域内存在 阶导数阶导数, ,从而从而 也在该邻域内也在该邻域内 阶可阶可00()(),npxf x00()()npxfx( )( )00,()(),nnnpxfx则则导，反复应用洛必达法则导，反复应用洛必达法则 次次 ，得，得 (
7、1)n 01L H0( )lim()nnxxRxn xx0(L HL H1)0( )lim!()nxnxRxn xx0(1)0(1)0( )(1li)m!nnxnxnRxRxnxx0( )() )nnR xo xx因此因此 . .020L H( )lim(1)()nnxxRxn nxx( )01()!nnRxn00( )lim()nnxxR xxx000000 导数定义导数定义0.称为函数称为函数 在在 处的带有处的带有佩亚诺余项佩亚诺余项的的 阶泰勒公式阶泰勒公式. .( )f x0 xn注注1 1 公式公式200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx( )000(
8、)()() )!nnnfxxxo xxn 称为称为佩亚诺余项佩亚诺余项. .0( )() )nnR xo xx 注注3 3 如果在泰勒公式中取如果在泰勒公式中取 ，得到带有，得到带有佩亚诺余项佩亚诺余项的的0=0 x( )2(0)(0)( )(0)(0)().2!nnnfff xffxxxo xn麦克劳林公式麦克劳林公式注注2 2 多项式多项式( )20000000()()( )()()()()()2!nnnfxfxpxf xfxxxxxxxn称为函数称为函数 在在 处的处的 次泰勒多项式次泰勒多项式. .( )f x0 xn200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxx
9、x( )00()()( ),!nnnfxxxR xn泰勒中值定理泰勒中值定理2 2 如果函数如果函数 在在 的某个邻域的某个邻域 内内 ( )f x0 x0()U x具有具有 阶导数，那么对任一阶导数，那么对任一 ，有，有(1)n0()xU x(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn 其中其中 ，这里，这里 是是 与与 之间的某个值之间的某个值. .x0 x证证记记 , ,由于由于( )( )( )nnR xf xpx柯西中值定理的条件，应用柯西中值定理，得柯西中值定理的条件，应用柯西中值定理，得 函数函数 及及 在以在以 及及 为端点的区间上满足为端点的区间上满足0 xx( )
10、nRx10()nxx( )0000()()()()0.nnnnnR xRxRxRx00()(),npxf x00()()npxfx( )( )00,()(),nnnpxfx则则11010( ) ()(1)()nnRxxnx在在 与与 之之间间+10( )()nnR xxx010()( )=()0nnnR xxxR x1100()( )(1)()0nnnnxRxR2201120() ()(1) ()nnRxnnx在在 与与 之之间间照此方法继续下去，经过照此方法继续下去，经过 次后，得次后，得(1)n(1)100( )( )() () (1)!nnnfnxxR xxx在 与 之间+10( )()
11、nnR xxx(1)0( ) ()(1)!nnnRxn在 与之间(1)(1)( )( )nnnRxfx注意到注意到 , ,得得称为函数称为函数 在在 处的带有处的带有拉格朗日余项拉格朗日余项的的 阶泰勒公式阶泰勒公式. .( )f x0 xn注注1 1 公式公式( )(1)1000()( )()()!(1)!nnnnfxfxxxxnn200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项. .10( )(1).!nnMR xxxn(1)( )nfxM 注注2 2 如果存在正数如果存在正数 ，使
12、得当，使得当 时，恒有时，恒有M( , )xa b00( )lim()nnxxR xxx则则0(1)0( )lim()0.(1)!nxxfxxn是比是比 高阶的无穷小量，且有高阶的无穷小量，且有误差估计式误差估计式( )nR x0()nxx注注3 3 如果在泰勒公式中取如果在泰勒公式中取 ，得到带有，得到带有拉格朗日余项拉格朗日余项0=0 x( )(1)21(0)(0)()( )(0)(0),2!(1)!nnnnfffxf xffxxxxnn的的麦克劳林公式麦克劳林公式误差估计为误差估计为1( ).(1)!nnMR xxn泰勒中值定理泰勒中值定理2 2是拉格朗日中值定理的是拉格朗日中值定理的推
13、广推广. .注注4 4 当当 时，泰勒公式即是时，泰勒公式即是拉格朗日中值拉格朗日中值公式公式0n 000( )()( )() ()f xf xfxxxx在 与 之间三. 泰勒(Taylor)公式的应用例例1 1 写出函数写出函数 的带有拉格朗日余项的的带有拉格朗日余项的 阶阶( )exf x n麦克劳林公式麦克劳林公式. .21ee1 (01)(,).2!(1)!nxxnxxxxxnn ，解解 因为因为 , ,( )(1)( )( )( )( )ennxfxfxfxfx所以所以( )(1)(0)(0)(0)(0)1 , ()e,nnxfffffx代入公式代入公式, ,得得 例例2 2 求求
14、的带有拉格朗日余项的的带有拉格朗日余项的 阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. .( )sinf xxn352112sin( 1)( ), (,)3!5!(21)!mmmxxxxxRxxm 解解 因为因为 ，所以，所以( )( )sin()2, (,)nxnfxx 代入公式代入公式, ,得得 212sin(21)2( ) (01).(21)!mmxmRxxn其其中中(4)(0)0,f(0)0,f(0)1,f (0)0,f (3)(0)1,f 2nm取取xy xysin xy xysin !33xxy xy xysin !33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy xysin !1
15、1!9!7!5!3119753xxxxxxy 常用初等函数的麦克劳林公式常用初等函数的麦克劳林公式212sin(21)2.( )(21)! 01)mmxmRxxm其中21ee1 (01)2!(1)!nxxnxxxxnn 352112sin( 1)( ), (,)3!5!(21)!mmmxxxxxRxxn 常用初等函数的麦克劳林公式常用初等函数的麦克劳林公式2311( 1)ln(1)( 1) (01).23(1)(1)nnnnxxxxxxnnx 2221cos(1).( )(22) ! (01)mmxmRxxm其其中中24221cos1( 1)( ), (,)2!4!(2 )!mmmxxxxRx
16、xm 三阶泰勒公式三阶泰勒公式. .3lnln 3(1)3xx3ln3ln(1)3x23331313ln3(3) )32333xxxo x233231111 1ln3(3)33(3) )32 33 3xxxo x例例3 3 求出函数求出函数 在点在点 处的带有佩亚诺余项的处的带有佩亚诺余项的( )lnf xx3x 解解 由由 ，得，得 231ln(1)( 1)() 23nnnxxxxxo xn 例例4 4 计算计算 240e2cos3lim.xxxx分析分析 由于分母是由于分母是 ，将分子中，将分子中 分别用带有分别用带有4x2e ,cosxx2424e1()2!xxxo x ，244cos1
17、().2!4!xxxo x 佩亚诺余项的佩亚诺余项的四阶四阶麦克劳林公式表示，即麦克劳林公式表示，即2e1() 2!nxnxxxO xn 例例4 4 计算计算 240e2cos3lim.xxxx解解240e2cos3limxxxx42424404()12 13(2!2!4!lim)xxxxxoxo xx44047712lim.)1(2xo xxx2011lim().tanxxxx例例5 5 计算计算 解解2011lim()tanxxxx20tanlimtanxxxxx30tanlimxxxx331330()limxxxo xxx331330()1lim.3xxo xx 例例6 6 设函数设函数
18、 在闭区间在闭区间 上具有上具有三阶连续导数三阶连续导数，且，且( )f x 1,1 ，证明在开区间，证明在开区间 内至少存在内至少存在(1)1,f(0)0f ( 1)0,f ( 1,1)解解 将函数将函数 在在 处展开为处展开为二阶泰勒公式二阶泰勒公式，( )f x0 x ( )3f一点一点 ，使得，使得 . .23(0)( )( )(0)(0)2!3!fff xffxxx 介于介于 与与 之间之间. .0 x两式两式相减相减, ,得得 代入代入 ，得，得1,1xx 11( )(0)(0)(0), ( 1,0)2!3!( 1)0fffff 22()(0)(0)(0), (0,1)2!3!(1
19、)1fffff12( )()1,6ff 即即12( )()3 .2ff由已知函数由已知函数 在闭区间在闭区间 上具有上具有三阶连续导数三阶连续导数，则存在，则存在( )f x12 , 则存在最大值则存在最大值 ，最小值，最小值 ，使得，使得Mm12( )()3 2ffmM，由由介值定理介值定理，在开区间，在开区间 内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得12( ,)( 1,1) ( )3 .f泰勒泰勒 (16851731)英国数学家英国数学家, ,他早期是牛顿学派最他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一优秀的代表人物之一 , , 重要著作有重要著作有: : 正的和反的增量方法正的和反的增量方法(1715) 线性透视论线性透视论(1719) 他在他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式年就得到了现代形式的泰勒公式 . .他是有限差分理论的奠基人他是有限差分理论的奠基人 . .麦克劳林麦克劳林 (1698 1746)英国数学家英国数学家, ,著作有著作有: :流数论流数论(1742)有机几何学有机几何学(1720)代数论代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数 . .
