1、 最短距离系列之最短距离系列之 将军饮马问题将军饮马问题问题 唐代诗人李欣的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中蕴含着一个有趣的数学问题：如图，诗中的将军在观望烽火之后，从山脚下的A点出发，走到河边给马饮水后，再到B点宿营，请问怎样走才能使走的总路程最短？AB河流河流一、解题策略（两定一动）在直线一、解题策略（两定一动）在直线的异侧的异侧图解：已知直线图解：已知直线l l和在直线和在直线l l的异侧有两点的异侧有两点A A和点和点B B，在直线在直线l l上找一点上找一点P P，使，使PA+PBPA+PB的值最小的值最小ABPl l具体步骤：连接具体步骤：连接ABAB与直
2、线与直线l l的交点的交点P P即为所求即为所求，此时，此时PA+PBPA+PB的值最小。的值最小。依据：两点之间，线段最短。依据：两点之间，线段最短。一、解题策略（两定一动）在直线的同侧具体步骤：具体步骤：1 1、找动点所在的直线；、找动点所在的直线；依据：两点之间，线段最短。依据：两点之间，线段最短。图解：已知直线，在直线的同侧有两点图解：已知直线，在直线的同侧有两点A A和点和点B B，在直线上找一点在直线上找一点P P，使，使PA+PBPA+PB的值最小。的值最小。如果点A在河流的对岸，那么直走就是最短的，所以河同岸的问题转化成河两岸的问题ABl llABAP 2 2、作两个定点中其中
3、一个定点关于动点所在直线的对称点；、作两个定点中其中一个定点关于动点所在直线的对称点； 3 3、连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为动点所处在此位置时距离、连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为动点所处在此位置时距离 和最短。和最短。 此时对称点与另一个定点的连线就是最短距离。此时对称点与另一个定点的连线就是最短距离。知识应用：知识应用：例题1例题2学学以以致致用用一一、二、三、四、五、五、中考中考链接链接二、解题策略（一定两动一）二、解题策略（一定两动一）依据：（依据：（1 1）垂线段最短（斜边大于直角边）垂线段最短（斜边大于直角边）图解：已知直线图解：已知直线l l和和k,k,一定点
4、一定点A,A,在直线在直线l l和和k k分别找一点分别找一点P P和点和点B B，使得，使得AP+PBAP+PB的值最小。的值最小。具体步骤：具体步骤：1 1、作定点、作定点A A关于关于l l的对称点的对称点AA；2 2、过点、过点AA作作ABAB直线直线k k，交直线，交直线k k于点于点B B，交直线，交直线l l与点与点P,P,此时此时AP+PBAP+PB的最小的最小值就是值就是ABAB的长度。的长度。二、解题策略（一定两动二）二、解题策略（一定两动二）图解：已知直线图解：已知直线l l和和k,k,一定点一定点A,A,在直线在直线l l和和k k分别找一分别找一点点P P和点和点B
5、B，使得，使得PABPAB的周长最小。的周长最小。具体步骤：具体步骤：1 1、分别作点、分别作点A A关于直线关于直线l l和和k k的对称点的对称点AA和和AA；2 2、连接、连接AAAA，交直线，交直线l l于点于点P P，交直线，交直线k k于点于点B B，此时，此时PABPAB的周长最小。的周长最小。依据：（依据：（1 1）两点之间，线段最短）两点之间，线段最短。知识拓展：知识拓展：( (两定两动一两定两动一) )图解：已知直线图解：已知直线l l和和k,k,两定点两定点A A和和B,B,在直线在直线l l和和k k分别找一点分别找一点M M和点和点N N，使得四边形，使得四边形ABN
6、MABNM的周长最的周长最小。小。具体步骤：具体步骤：1 1、分别作点、分别作点A A关于直线关于直线l l的对称点的对称点AA，点，点B B关于直线关于直线k k的对称点的对称点BB；2 2、连接、连接ABAB，交直线，交直线l l于点于点M M，交直线，交直线k k于点于点N N，此时四边形，此时四边形ABNMABNM的周长最小。的周长最小。依据：（依据：（1 1）两点之间，线段最短。）两点之间，线段最短。知识应用例1例二例二、如图：BD平分ABC，E,F分别为线段BC,BD上的动点，AB=5,ABC的面积是20，求EF+CF的最小值。第一问要求两个常数a和c，只需代入A点和C点的坐标。即
7、可求出。第二问要求AM+AN（一定两动）的值，AM,AN在AMN中，第三边MN也不确定，所以不能求出最小值。所以需要把AM、AN等量代换到另一个三角形中，并且第三边是一个确定的值。思路分析思路分析：由已知条件可知，CM=BN,AC=BC，利用全等，所以连接DN，证明ACM和BDN全等，得到AM=DN，此时问题转化成求AN+DN的最小值，只要点A，D，N三点在一条直线上即可。20182018南宁市中南宁市中考数学压轴题考数学压轴题三、解题策略（两定两动二）三、解题策略（两定两动二）ABdl l三、解题策略（两定两动三、解题策略（两定两动二）二）A AB Bl ld dAANM具体步骤：具体步骤：
8、 作定点作定点A A关于直线关于直线l l的对称点的对称点AA，将点，将点AA向右平移向右平移长度长度d d得到点得到点AA，连接，连接ABAB，交直线，交直线l l于点于点N,N,将点将点N N向左向左平移长度平移长度d d，得到点，得到点M.M.依据：依据：两点之间线段最短。两点之间线段最短。平行四边形的对边相等。平行四边形的对边相等。 以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定两动”、“一定两动”、“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化成直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法求解。 当然，有时候，我们也需要学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称。课堂演练：一、二、
