1、第十章第十章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路10-1 互感互感10-2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算10-3 空心变压器空心变压器10-4 理想理想 变压器变压器v重重 点点 1、互感的概念及同名端方法互感的概念及同名端方法 2、具有耦合电感的正弦交流电路计算具有耦合电感的正弦交流电路计算 3、理想变压器的端口特性理想变压器的端口特性v 难点难点 复杂电路分析复杂电路分析10 - 1 互感互感 L i u 问题的引入问题的引入-自感回顾自感回顾 电感电流随时间变化时，在电感两端产生感应电压。自感电感电流随时间变化时，在电感两端产生感应电压。自感电压的参考方向选定为与电流方
2、向关联，其方向与磁通方向满电压的参考方向选定为与电流方向关联，其方向与磁通方向满足右手螺旋定则，其大小为足右手螺旋定则，其大小为: : dtdiLdtdu 互感问题互感问题的出现的出现: : i + u - 自感线圈的磁通与电流自感线圈的磁通与电流 N N 11 21 21 12 22 i2 i1 1 1u 1 2 2u 2 一、耦合电感的端电压及其问题一、耦合电感的端电压及其问题1 . 端电压的表达式端电压的表达式2121112111iMiL 1212221222iMiL 2112MMM 线性条件下有：线性条件下有： 自感磁链自感磁链互感磁链互感磁链 互感系数互感系数 如图所示：全关联参向；
3、如图所示：全关联参向； 双下标双下标 21 11 21 12 22 12u i2 21u i1 1 11u 1 2 22u 2 1111111iLN 12121221iMN 21212112iMN 2222222iLN 1N2N据电磁感应定律有据电磁感应定律有: :2121112111iMiL 1212221222iMiL 121121111uudtdiMdtdiLdtdu 212212222uudtdiMdtdiLdtdu dtdiMu212 dtdiLu1111 dtdiMu121 dtdiLu2222 自感电压自感电压互感互感电压电压 21 11 21 12 22 12u i2 21u
4、i1 1 11u 1 2 22u 2 1N2N推得推得 再如图所示再如图所示 121121111uudtdiMdtdiLdtdu 212212222uudtdiMdtdiLdtdu 2121112111iMiL 1212221222iMiL 即互感电压即互感电压 0 0，电压方向如图所示，电压方向如图所示 2.端电压表达式的问题端电压表达式的问题 -确定互感电压的正负确定互感电压的正负问题问题: : 需知绕向需知绕向-密封密封解决：解决： 同名端方法同名端方法 21 11 21 12 22 12u i2 21u i1 1 11u 1 2 22u 2 1N2N二二. . 同名端的概念同名端的概念
5、: :1. 1. 用途：标记用途：标记 i 与绕向的关系，确定互感与绕向的关系，确定互感 u 的正负的正负. .2. 2. 定义：定义：i 入，入，增强增强. .3. 3. 标定：用标号标定：用标号“ ”等，得耦合电感的电路符号如图所等，得耦合电感的电路符号如图所示示. .4. 4. 性质：以施感电流为准，同名端是其互感性质：以施感电流为准，同名端是其互感u 的的“+ +”端端. . 21 11 21 12 22 12u i2 21u i1 1 11u 1 2 22u 2 L1 M L2 i1 i2 u11 u22 u12 u21 21 11 21 12 22 12u i2 21u i1 1
6、11u 1 2 22u 2 L1 M L2 i1 i2 u11 u22 u12 u21 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 * 同名端同名端i1+u11+u21 11 0N1N2+u31N3 si2i3注意：线圈的同名端必须两两确定。注意：线圈的同名端必须两两确定。5. 5. 确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入( (或
7、流出或流出) )时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。 i1122*112233* 例例(2) (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。2111IIMjLjU dtdiMdtdiLu2111 dtdiMdtdiLu1222 2. 写电压表达式写电压表达式3. 正弦情况：正弦情况： 1. 标定参向标定参向 、定互感、定互感u u极性极性: : 自感电压与电流取关联参向。自感电压与电流取关联参向。CCVS等效：等效：三三. . 同名端方法同名
8、端方法1222IIMjLjU L1 M L2 i1 i2 u11 u22 u12 u21 + - + - 11ILj 22ILj 2IMj 1IMj 1I2I1U2UtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M例例写写出出图图示示电电路路电电压、压、电电流流关关系系式式四四. . 耦合系数耦合系数 a) a) 全耦合全耦合 b) b) 无耦合无耦合 1|21221112
9、22211112 LLMiLMiiLMik 12-2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算一一. .串联串联反接反接i M + L1 L2 - M + i - L1 L2 II )2(I )2() II() II(U212121eqLjMLLjMjLjLjMjLjMjLj MLLLeq221 II )2(I )2( I )(I I )(IU212121eqLjMLLjMjLjLjMjLjMjLj MLLLeq221 0221 MLLLeq正弦情况正弦情况如图所示如图所示: :顺接顺接“容性效应容性效应” 综述综述 Leq i u 在正弦激励下：在正弦激励下：*1 U+R1R2j L1+
10、j L22 Uj M U I )2(j)(2121IMLLIRRU+ I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量图：相量图：(a) (a) 顺接顺接(b) (b) 反接反接二二. .并联并联同侧同侧 IIIIIIIU21122211MjLjMjLj U)()2(I21221LLMMLLj MLLMLLjMLLjLLMZ2)2()(IU2122121212 MLLMLLLeq221221 IIIIIIIU21122211MjLjMjLj U)()2(I21221LLMMLLj MLLMLLjM
11、LLjLLMZ2)2()(IU2122121212 MLLMLLLeq221221 异侧异侧 i M + L1 L2 _ i1 i2 i M + L1 L2 _ i1 i2 一端联接一端联接( (并联并联) )的互感消去法的互感消去法: : 异侧异侧同侧同侧有等效电路有等效电路: : IIIIIIIU21122211MjLjUMjLj M L1-M L2-M IIIIIIIU21122211MjLjUMjLj 2211I)(II)(IUMLjMjUMLjMj 2211I)(II)(IUMLjMjUMLjMj -M L1+M L2+M i M + L1 L2 _ i1 i2 i M + L1 L
12、2 _ i1 i2 三三. . 有互感的电路的计算有互感的电路的计算 (1) (1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的 相量分析的方法均适用。相量分析的方法均适用。 (2) (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感 电压。电压。 (3) (3) 一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。列写下图电路的回路电流方程。列写下图电路的回路电流方程。例例1 1MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1SUIIMjILjILjR )()(3231111 213MuS+CL1
13、L2R1R2*+ki1i113132222)()(IkIIMjILjILjR 0)()()1(23132211321 IIMjIIMjILjILjICjLjLj 解解例例2 2求图示电路的开路电压。求图示电路的开路电压。1I)2(313111 MLLjRUIS M12+_+_SUocU* M23M31L1L2L3R1)2()( 313113123123131311231120MLLjRUMMMLjILjIMjIMjIMjUSc 解解1 1作出去耦等效电路，作出去耦等效电路，( (一对一对消一对一对消):):M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M
14、12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 解解2 2L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23 M13L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 R1 + +_SUocU1I)2(313111 MLLjRUIS )2()(3131131231230MLLjRUMMMLjUSc 10-4 变压器原理变压器原理 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向
15、另一个电路传输能量或信号的器件。当变压一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。变压器的作用变压器的作用: :交流变压、变流交流变压、变流传送功率传送功率阻抗匹配阻抗匹配电隔离电隔离*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX1. 1. 空心变压器电路空心变压器电路原边回路原边回路副边回路副边回路2. 2. 分析方法分析方法（1 1） 方程法分析方程法分析*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXS2111 j-) j( UIMILR 0)j(j2221 IZLR
16、IM令令 Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)回路方程：回路方程：S2111 j- UIMIZ 0j2221 IZIM )(22211S1 ZMZUI 222111Sin)( ZMZIUZ 1122211S2222211S2)(1j)(j ZMZZUMZZMZUMI 1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路原边等效电路2 I+oc UZ22112)(ZM副边等效电路副边等效电路（2 2） 等效电路法分析等效电路法分析lllXRXRXMXRRMXRMZMZjj j)(22222222222222222222222222222 Zl= Rl+j Xl2222222
17、222XRRMRl 2222222222XRXMXl 11in2 , , 0ZZI 即副边开路即副边开路当当1 I+S UZ11222)(ZM副边对原边的反映阻抗。副边对原边的反映阻抗。反映电阻。恒为正反映电阻。恒为正 , , 表示副边回表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。路吸收的功率是靠原边供给的。反映电抗。反映电抗。负号反映了引入电负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。抗与付边电抗的性质相反。a.a.原边等效电路分析原边等效电路分析反映阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意反映阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的义讲，虽
18、然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。11Soc jZUMU 112)(ZM 原边对副边的反映阻抗。原边对副边的反映阻抗。 副边开路时，副边开路时， 原边电流在副边产原边电流在副边产 生的互感电压。生的互感电压。2 I+oc UZ22112)(ZMb. b. 副边等效电路分析副边等效电路分析L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20W W , R2=0.08W W , RL=42W W , 314 314rad/s,V 0115o sU. , :21II求求应用
19、原边等效电路应用原边等效电路4 .1130j20j1111 LRZ 85.1808.42j2222jLRRZL W W 8188422)1 .24(3 .4621 .2411.46146o2222.-jZXZMl1 I+S UZ11222)(ZM 例例1 1*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2RL解解1 1A)9 .64(111. 08 .1884224 .1130200115o11S1 jjZZUIl应用副边等效电路应用副边等效电路VjjLjRUMjIMjUSOC085.144 .1130200115146 111 W W 5 .18906 .1130213164 .1130
20、20146)(2112jjZM AjjZIMjI1351. 01 .2411.461 .252 .1685.1808.429 .64111. 01462212 解解2 22 I+oc UZ22112)(ZMAjjUIOC0353. 008.42085.1485.1808.425 .182 11Soc jZUMU 例例2全耦合互感电路如图，求电路初级端全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。间的等效阻抗。* *L1aM+S UbL2解解1111 jLZ 222 jLZ 22222)(LMjZMZl )1()1( 21212122111kLjLLMLjLMjLjZZZlab 解解2画出去
21、耦等效电路画出去耦等效电路L1M L2M+ SUMab)1( )1( )( )/()(212121222122121kLLLMLLMLLLMLMMLMLMMLLab 10-4 10-4 理想变压器理想变压器 121LLMk 1.1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。（2）全耦合）全耦合（1）无损耗）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。磁导率无限大。（
22、3）参数无限大）参数无限大nLLMLL 2121, 2, 1NN ,但但 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。想变压器对待，可使计算过程简化。 i1122N1N2 2211212.2.理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能（1）变压关系）变压关系1 kdtdNdtdu 111 dtdNdtdu 222 nNNuu 2121*n:1+_u1+_u2*n:1+_u1+_u2理想变压器模型理想变压器模型若若nNN
23、uu 2121（2）变流关系）变流关系i1*L1L2+_u1+_u2i2MdtdiMdtdiLu2111 )()(1)(210111tiLMduLtit 考虑到理想化条件：考虑到理想化条件： 121LLMk nLLL 21211NN ,0nLLLM1121 )(1)(21tinti 若若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：)(1)(21tinti n:1理想变压器模型理想变压器模型（3）变阻抗关系）变阻抗关系ZnIUnInUnIU22222211)( /1 *1 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z 理想变压器的阻抗
24、变换性质只改变阻抗的理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。大小，不改变阻抗的性质。注注（b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。它是无记忆的多端元件。 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i2+u20)(111112211 niuniuiuiup（a a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。中只起传递信号和能量的作用。（4）功率性质）功率性质表明：表明：例例1已知电源内阻已知电源内阻RS=1kW W，负载电阻负载电阻RL=10W W。为使
25、为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。n2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1000 n2=100， n=10 .* *n : 1RL+uSRS应用变阻应用变阻抗性质抗性质例例21 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050W W+V010o 1W W.2 U求求方法方法1 1：列方程：列方程 10121UU 2110II o110101 UI05022 UI解得解得V033.33o2 U方法方法2 2：阻抗变换：阻抗变换V0100 1010oS1oc UUU0 , 012 II1 I2150)101(2 +1 U+V01
26、0o 1W WV 0310212/11010oo1 UV033.33 101o112 UUnU方法方法3 3：戴维南等效：戴维南等效1 I2 I* *+oc U+1 U1 : 10+V010o 1W W:ocU求求求求Req：Req=102 1=100W W戴维南等效电路：戴维南等效电路：+2 U+V0100o 100W W50W WV033.3350501000100oo2 UReq* *1 : 101W W例例3理想变压器副边有两个线圈，变比分别为理想变压器副边有两个线圈，变比分别为5:15:1和和6:16:1。求原边等效电阻求原边等效电阻R。*+1 U+5 : 14W W*6 : 15W
27、 W1 I2 I3 I2 U+3 U332211IUIUIU W W 562W W 452213321222111IIUIIUIIU W W 280536425 3322222111IUnIUnIUR把次级线圈看作串联把次级线圈看作串联W W 562W W 452*+1 U+5 : 14W W*6 : 15W W1 I2 I3 I2 U+3 U332211IUIUIU 213321222111UIUUIUUIU 450753514251 3223221211 UnIUnIUIGW W 286.6474501GR把次级线圈看作并联把次级线圈看作并联例例4已知图示电路的等效阻抗已知图示电路的等效阻
28、抗Zab=0.25W W，求理想变求理想变压器的变比压器的变比n。解解102 n+1 U1.5W W2 3 U I+U应用阻抗变换应用阻抗变换外加电源得：外加电源得： 10)3(221nUIU )105 . 1()3(22nUIU 21UnU 130102 nInU 130105 . 125. 02 nnIUZabn=0.5 or n=0.25Zab* *n : 11.5W W10W W+ 32U 2U例例5求电阻求电阻R 吸收的功率吸收的功率解解应用回路法应用回路法 21UnU 211InI 11 UUIS2322UII 解得解得1 I2 I* *+2 U+1 U1 : 10+SU1W W1
29、W W1W WR=1W W123SUII 322nnnnUIS23)121(3 23RIP 例例62 I*+ U+n1 : 1R1n2 : 1R2 I4 I2 U+4 U3 U1 U+R3ab求入端电阻求入端电阻Rab解解422131 UnUnUUU 4423422224232121)()(IIRRIInIIIRIRn 442222214221 IUnIUnIUnIUnIURab 423223222243213121)()(IIRnRRnIIRnRRn 2412nInII 2142nnII 2213222121)(nnRRnRnRab 10-5 10-5 实际变压器的电路模型实际变压器的电路模
30、型实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合， k 1。且且 L1，M，L2 , , 。除了用具有互感的电路来分析计。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。1.1.理想变压器理想变压器( (全耦合，无损，全耦合，无损，m m= 线性变压器线性变压器) ) 21UnU 211InI 21nuu 211ini i1*+_u1+_u2i2n:1理想变压器模型理想变压器模型2.2.全耦合变压器全耦合变压器(k=1，无损无损 ，m m， 线性线性) )由于全耦合，所以仍满足：由于全耦合，所以
31、仍满足：2121NNnUU *j L11 I2 Ij L2j M+2 U+1 U21111 j1InULI 全耦合变压器的等值电路图全耦合变压器的等值电路图*j L11 I2 I+2 U+1 Un : 1理想变压器理想变压器L1：激磁电感激磁电感 (magnetizing inductance ) 0I（空载激磁电流）空载激磁电流）2111 j j IMILU 又因又因3.3.无损非全耦合变压器无损非全耦合变压器( (忽略损耗忽略损耗，k 1，m m 线性线性) ) 21i1i2+u1u2 12 1s 2sN1N2111S11111d dd dd dddudtdiLttttNuS 222S22
32、222d dd dd dddudtdiLttttNuS SS2211 线圈中的磁通看成是漏磁线圈中的磁通看成是漏磁通加全耦合磁通，即：通加全耦合磁通，即：全耦合全耦合 磁通磁通在线性情况下，有：在线性情况下，有：由此得无损非全耦合变压器的电路模型：由此得无损非全耦合变压器的电路模型：* *L1+n : 1L1SL2Si1u1u2i2+u1+u2L1S, L2S：漏电感漏电感(leakage inductance)4. 4. 有损耗的非全耦合变压器有损耗的非全耦合变压器(k 1，m m， 线性线性) * *L1+n : 1L1SL2Si1u1u2i2RmR1R2考虑了导线考虑了导线和铁芯损耗和铁
33、芯损耗全耦合变压器全耦合变压器以上是在线性情况下讨论实际变压器。实际上铁心变压器以上是在线性情况下讨论实际变压器。实际上铁心变压器由于铁磁材料由于铁磁材料 B BH H特性的非线性特性的非线性, , 初级和次级都是非线性元初级和次级都是非线性元件，原本不能用线性电路的方法来分析计算，但漏磁通是通件，原本不能用线性电路的方法来分析计算，但漏磁通是通过空气闭合的，认为漏感过空气闭合的，认为漏感L LS1S1，L LS2 S2 基本上是线性的，磁化电感基本上是线性的，磁化电感L L1 1虽是非线性的，但其值很大，并联在电路上只取很小的电流虽是非线性的，但其值很大，并联在电路上只取很小的电流影响很小，电机学中常用这种等值电路。影响很小，电机学中常用这种等值电路。例例图示为全耦合变压器，求初级电流和输出电压。图示为全耦合变压器，求初级电流和输出电压。*j2W W1 I2 Ik=1+2 U+001 j8W W8W W解解做全耦合变压器等效电路做全耦合变压器等效电路*j2W W1 I2 I+2 U+001 n : 18W W2182 2121 LLLLn j2W W1 I+1 U+001 2W WAjjI5 . 05 . 021211 VnUnUUS01202
