1、攻克数量关系的八个要点：攻克数量关系的八个要点： 题型 基础 思想 方程 模块 技巧 训练 心态 两种题型：1、数字推理数字推理 2、数学运算数学运算 数字推理是公务员考试行测考试中阅读量最小的一类题型，但经常让很多考生觉得无从下手，因为每一道题的信息量都非常少。但是在公务员考试中可能出现的数列类型相对固定，只要我们对各类数列的可能性质进行推算，绝大多数的题目都可以得到正确的答案。因此考生必须要对各类数列的特征规律了解清楚。定义：对数列相邻两项进行“”四则运算从而形成规律的数列。分类：根据“次生数列”类型（等差数列、等比数列、“特殊数列” ） 等差数列是指相邻两项之差（后项减去前项）等于定值（
2、常数列），它是数字推理题中最基础、最基本的数列。考察的题型有基本型，二级等差数列及其变式和 三级等差数列三种。随着公务员考试的发展，题目难度有逐年上升的趋势，因此二级等差数列的变式及三级等差数列已成为等差数列考察的重点。一、等差数列题型一、等差数列题型 1、一级等差数列 【例题】 【河北2005真题】0， 6， 12， 18， （ ） A.22 B.24 C.32 D.28 【答案】B2、二级等差数列及其变式 二级等差数列是指相邻的两项做差，得到一个等差数列，则称其为二级等差数列。 等差数列的变式是指，一个数列相邻的项两两做差，得到一个数列，这个数列可以是质数型数列、周期型数列、幂次数列、和递
3、推数列。 【例1】【国2001-41】12， 13， 15， 18， 22， （） A.25 B.27 C.30 D.34 【答案】 B【例2】【国2002A-2】20， 22， 25， 30， 37， （ ） A.39 B.45 C.48 D.51 【答案】C【解析】逐差后得到一个质数数列 【例3】【浙江20045】6， 12， 19， 27， 33， （）， 48 A.39 B.40 C.41 D.42 【答案】B 6 12 19 27 33 ( ) 48 6 7 8 6 (7) (8)【解析】逐差后构成一个周期数列。 【例4】【国2003B4】1， 2， 6， 15， 31， （） A.
4、53 B.56 C.62 D.87 【答案】B 1 2 6 15 31 ( ) 1 4 9 16 ( )【解析】逐差后得到一个平方数列。 【例5】【浙江2003-5】3， 4，（），39， 103 A.7 B.9 C.11 D.12 【答案】D 3 4 (12) 39 103 1 (8) (27) 64 【解析】逐差后得到一个立方数列。 【例6】10，18，33，（ ），92。 A.56 B.57 C.48 D.32【答案答案】 B【解析解析】 10 18 33 (57) 92 8 15 (24) (35) 8=32 -1，15= 42-1，52-1=24,平方数列-1 故空缺项应为33+24
5、=57， 检验后面的数字，92-57= 62-1，符合规律。3、三级等差数列 一个数列相邻的项两两做差，得到新数列，相邻的项再两两做差，然后得到一个等差数列，则其为三级等差数列。 【例1】【国2009-101】5，12，21，34，53，80（） A121B115C119D117【答案】D【解析】做两次差，得到一个等差数列 5，12，21，34，53，80（117 ） 一次做差 7 9 13 19 27 （37 ） 二次做差 2 4 6 8 （10）等差数列【例2】3, 4, 7, 13, 24, 42,( ) A.63 B.68 C.70 D.71【答案】D【解析】3 4 7 13 24 4
6、2 (71 ) 一次做差 1 3 6 11 18（29） 二次做差 2 3 5 7 （11）质数数列【例3】（广东2006上-2）-8，15，39，65，94，128，170，（） A.180 B.210 C.225 D.256【答案】C【解析】-8 15 39 65 94 128 170 (225) 一次做差 23 24 26 29 34 42 (55) 二次做差 1 2 3 5 8 13 递推和数列二二 、题型特点、题型特点 重点考察等差数列的变式及三级等差数列，这列题型的特点是： 1、数列一般呈现单项递增或单项递减的规律。 2、数列一般给出五项或五项以上。 3、数列一般变化幅度不大。 4
7、、逐差法在解答这类问题时尤其重要。 一、一级等比数列 2，4，8，16，32，64 1，3，9，27，81，243二、二级等比数列 一个数列相邻两项两两做差，得到一个等比数列【例1】27，29，33，41，57，（） A.71 B.73 C.87 D.89【答案】D【解析】 27 29 33 41 57 （） 做差 2 4 8 16 (32) 等比数列【例2】(安徽2008-2)12，14，20，38，( ) A.46B.38 C.64 D.92【答案】 D 【解析】求差后得到等比数列2，6，18，54规律：规律：“二级等比数列二级等比数列”全部可以看成全部可以看成“递推递推倍数数列倍数数列”
8、，后项等于前项的倍数（最后等，后项等于前项的倍数（最后等比数列的公比）加上修正项（常数数列）。比数列的公比）加上修正项（常数数列）。【例3】(四川2008-2)2,-2,6,-10,22,( ) A.-36 B.-40 C.-42 D.-48【答案】C【解析】2 -2 6 -10 22 ( -42 ) 做差 -4 8 -16 32（-64） 等比为-2的等比数列【另解】每个数字是其后面两个数字的平均数【例4】（北京应届2008-4）32，48，40，44，42，（） A.43 B.45 C.47 D.49【答案】A【解析】 32 48 40 44 42 (43) 做差 16 -8 4 -2 （
9、1） 等比是-1/2的等比数列【另解】每个数字是其前面两个数字的平均数 推论：“二级等比数列”中，如果做一次差后生成的次生数列公比为-2，那么原数列中每个数字是其后面两个数字的平均数；如果做一次差后生成的次生数列公比为-1/2，那么原数列中的每个数字是其前面两个数字的平均数。三、三级等比数列 一个数列相邻两项两两做差两次，得到一个等比数列【例1】7，7，9，17，43，（） A.119 B.117 C.123 D.121【答案】C【解析】 7 7 9 17 43 （123） 一次做差 0 2 8 26（80） 二次做差 2 6 18（54）【另解】前一个数的三倍，分别减去14，12，10，8，
10、6等于后一项【例2】P22页例2特征 ：“三级等比数列”可以看成“递推倍数数列”，后项等于前项的倍数（最后等比数列的公比）加上修正项（等差数列）。1.3 做和做商做积数列做和做商做积数列一、做和数列 相邻两项之间做和得到一个规律明显的基础数列例题4个（P26页）二、做商数列1、基本特征：数字之间倍数关系比较明显2、三大趋势：数字分数化、小数化两两做商得到一个“非等差形式”简单数列两两做商得到一个“非整数形式”简单数列3、例题4个（P24页例1；P24页例3；P25页例12；P25页例11）三、做积数列 相邻两项做积能得到一个规律明显的基础数列例题3个（P27页） 数列基本类型： （1）交叉数列
11、：数列的奇数项与偶数项分别呈现规律 （2）分组数列：数列中的数字两两分组，然后进行组内的“”四则运算 数列的基本特征： （1）数列较长 （2）两个括号一、交叉数列基本解题思想： 1、 一般交叉数列中，奇数项与偶数项独立成规律，分别是两个较简单的数列； 2、在交叉数列中，如果奇数项规律明显而偶数项规律不明显，那么偶数项的规律可能依赖于奇数项的规律，反之亦然。【例1】 3，15，7，12，11，9，15，（）。 A.6B.8 C.18D.19 【答案】 A 【解析】奇数项数列3，7，11，15以及偶数项数列15，12，9，6分别是两个等差数列。【例2】（江苏2006A类-4） 1 2 7 13 4
12、9 24 343 ( ) A35 B69 C114 D238 【答案】 A 【解析】 1，7，49，343是等比数列以及2，13，24，35是等差数列。 【例3】 【例4】二、分组数列基本解题思想：一般只有两两分组的情况，所以项数（包括未知项）一般是8或10项；两两分组后进行组内“”运算。【例1】 400 360 200 170 100 80 50 ( ) A10 B20 C30 D40【解析】答案为D。分组数列，每两个数为一组，组内做差，其差分别为40、30、20、10，故最后一项为50-10=40。【例2】 1， 1， 8， 16， 7， 21， 4， 16， 2， ( ) A10 B20
13、 C30 D40 【答案】 A 【解析】组内做商 1/1=1 16/8=2 21/7=3 16/4=4 ?/2=5 【例3】P35页例1分组方式和交叉方式上的拓展分组方式和交叉方式上的拓展 【例3】P36页例1【例4】P38页例11一、基本知识点：经典分数数列是以“数列当中各分数的分子与分母”为研究对象的数列形式；当数列中含有少量非分数形式，常常需要以“整化分”的方式将其形式统一；当数列中含有少量分数，往往是以下三种题型：负幂次形式；做积商多级数列；递推积商数列 分数数列解题思路： 1、观察特征，各分数的分子与分母之间存在一个直观的简单规律 2、分组观察，分子与分母分别为一个简单数列 【例1】
14、P41页例1【例2】 4 ， 3 ， 8/3 ， 5/2 ，（ ） A. 13/5 B. 12/5 C.11/5 D14/5 答案B 解析。关键抓住8/3。分母是3.可以把前面的4，3改写为4/1，6/2，。这样很快发现数列是4/1，6/2，8/3，10/4，12/5.分子是4，6，8，10，12等差数列，分母是自然数数列1，2，3，4，5. 3838 【例3】P42页例9二、典型解题技巧 约分 通分 分子/分母有理化 反约分【例1】(国家2003B类-1)133/57，119/51，91/39，49/21，( )，7/3。 A28/12 B21/14 C28/9 D31/15 答案A 解析各
15、项化为最简分式都为7/3【例2】 1/6, 2/3 , 3/2 , 8/3 A. 10/3 B. 25/6 C. 5 D. 35/6 答案 B 解析将各项分母通分之后，数列变成1/6，4/6，9/6，16/6，25/6 这个数列的分子是自然数数列的平方，分母是6.【例3】P44页例9【例4】P44页例12【例5】（2009-104）0，1/6，3/8，1/2，1/2，（） A.5/13B.7/13C.5/12D.7/12【答案】C 分子组成二级等差数列。分母相邻两项之差依次为1，2，4，8，16。1 3 6 10156 8 12 20360【解析】，各项依次为 ， ， ，（）。5一、基础幂次数
16、列 常用幂次表底数1 2 345678910平方1 4 9162536496481100立方1 8 27 64125 216 343 512 729 1000 幂次变换法则：（1）普通幂次数：平方表，立方表、多次方表需要熟记于心（P3页）（2）普通数变换：a= ,如5=（3）负幂次变换： = ，如 =（4）负底数变换： = ； =（5）非唯一变换：当一个数字有多种常见变换方式时，做题需先从其他数字着手1a1a151a15152Na2N(-a)2N+1-a2N+1(-a)【例1】P50页例8【例2】 P50页例11二、幂次修正数列 （一）修正项为常数 （二）修正项为正负交错 （三）修正项为等差数
17、列【例1】0，8，24，48，80，（）【例2】14，20，54，76，（）【例3】0，6，24，60，120，（）【例4】2，12，45，112，（），468 一、基本定义类型 定义：所谓递推数列，是指数列中从某一项开始，其每项都是通过它前面的项经过一定的运算得到 类型：差、商、和、方、积、倍（包括基本型和修正型）【例1】（黑龙江2007-7）25，15，10，5，5，( )。 A10B5 C0 D-5【答案】 C 【解析】 此数列规律为：前一项减去后一项等于第三项，故空缺为5-5=0。 前项等于后面相连两项之和。【例2】P57页例5【例3】1，3，4，7，11，（ ）。 A.14 B.16
18、 C.18 D.20【答案】 C 【解析】本题前两项和等于第三项，所以下面应该是7+11=18，故选C。【例4】1， 0， -1， -2， ( ) A-8 B-9 C. -4 D3【答案】 B 【解析】数列规律为前一项的立方减1等于后一项.【例5】4. 3， 1，3，3，9，( )， A12 B27 C124D169【答案】B 【解析】前两项相乘得到第3项，所以答案为39=27 前后项之间是乘积关系。【例6】1， 1， 3， 7， 17， 41， ( ) A89 B99 C109 D119【答案】 B【解析】相连三项，第二项的2倍加上前一项等于第3项。 1+12=3 1+32=7 3+72=1
19、7 7+172=41 17+412=99二、解题方法（一）整体趋势法（二）递推联系法（一）整体趋势法 基本思路：（1）看趋势，根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式；（2）作试探，根据初步判断的趋势作合理的试探，并分析其误差，即“修正项”。 看趋势示意图：P60页【例1】P61页例9(基础递推数列，修正项为常数)【例2】P61页例12（“数列型修正项”递推数列）【例3】P62页例17（“前项型修正项”递推数列）（二）递推联系法 分类：两项递推（研究三个数字递推联系） 一项递推（研究两个数字递推联系）【例1】（江苏2009-66）1，3，5，11，21，（ ） A.25 B.32
20、C43 D46【答案】C【解析】研究“5，11，21”三个数字递推联系，易知“5211=21”，验算可知全部成立。【例2】（国2009-105) 153，179，227，321，533，（） A789B919C1229D1079【答案】D【解析】【例3】P68页例37【例4】P69页例31.8 因式分解因式分解【例题】 7，14，28，77，189，（） A.285 B.312 C.392 D.403【解析】本题可以通过“三级等差数列”的做法直接得到答案为C。 7 1 4 28 77 189 （392） 7 14 49 112（203） 7 35 63（91） （等差数列） 与此同时，我们很容
21、易发现题干当中的五个已知数字都是7的倍数，如果我们把这几个数的7因子去掉，然后再进行做差，就可以得到下面的结果： 1 2 4 11 27 （56） 1 2 7 16 （29） 1 5 9 （13） （等差数列）答案为：567=392，答案仍然选C。 如果一个数列既可以通过“多级数列”做差的方式来解决，也可以通过“因数分解”的方式来解决，强力推荐大家使用做差来得到答案。但有时候，必须并且只能通过“因数分解”来得到精准的答案。【例2】-2，-8，0，64，（ ） A-64 B.28 C.156 D.250【解析】原数列： -2,-8,0, 64,(250) 子数列1：-2,-1,0, 1, 2 (
22、常用子数列) 子数列2： 1,8,27,64,125 (立方数列)因数分解法常用子数列因数分解法常用子数列 1 -2，-1，0，1，2，3， 如果数列中间有0，或者有正有负的 2 0，1，2，3，4， 如果数列端点是0 3 2，3，5，7，11， 如果数列中有数字明显存在7或11因子 4 1，2，3，4，5，6， 可以是2或者3开头的自然数列 5 1，3，5，7，9， 也可以是3开头的奇数数列 【习题1】（山东2003-4）2，10，30，68，130，（B）A.169B.222C.181D.231【习题2】（山东2010-4）4.0，4，16，48，128，(B）A.280B.320C.350D.420【习题3】（江苏2010-20）6，8，8，0，-32，（A） A-128B64C-64D-961.9 总结总结思维步骤 一、判断类型 二、按类型使用具体方法 “特征特征做差做差递推递推”基本思维步骤P14页图
