1、8-4.理想变压器和全耦合变压器理想变压器和全耦合变压器 理想变压器也是一种耦合元件。它是实际理想变压器也是一种耦合元件。它是实际变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：1u+-1i2i2u+-*n:1niinuu12121理想变压器的唯一参数是变比理想变压器的唯一参数是变比(或匝比或匝比): n1+有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压器已经没有电感或耦合电
2、感的作用了，故理想器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：-1i2i+-*n:11u2u+-1i2i+-ni2nu1+1u2u2 理想变压器可以看成是耦合电感或空芯理想变压器可以看成是耦合电感或空芯变压器在理想条件下的极限情况变压器在理想条件下的极限情况:(1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的；耦合电感无损耗，即线圈是理想的；(2)耦合系数耦合系数k=1，即是全耦合即是全耦合 ； (3)自感系数自感系数L1和和L2 均为无限大，但均为无限大，但 L1 / L2等等于常数，于常数， 互感系数互感系数 也为无限大。也为无
3、限大。21LLM 21LLM 3由于同名端的不同，理想变压器还有另一个由于同名端的不同，理想变压器还有另一个电路模型，其伏安关系为电路模型，其伏安关系为 niinuu12121当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两种种情况，这两种VCR仅差一个符号。仅差一个符号。-1i2i+-*n:11u2u+4下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的器着手推导理想变压器的VCR：当线圈的电压、：当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合线圈的
4、线圈的VCR：8 -4 -1 理想变压器伏安关系推导理想变压器伏安关系推导这里仅讨论第一种这里仅讨论第一种(相加的相加的)情况。当耦合系数情况。当耦合系数k=1时：时：dtdiMdtdiLvvdtddtddtdvML21111121111dtdiMdtdiLvvdtddtddtdvML122222122225电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈相交链，即：相交链，即： 若若 初、次级初、次级 线圈线圈的匝数分别为的匝数分别为N1和和N2，则两线圈的总磁链分别则两线圈的总磁链分别为：为：,1222,211122211221222212221221111
5、211112111)()()()(NNNNNN式中，式中， 称为主磁通，由电磁感应定称为主磁通，由电磁感应定律，初、次级电压分别为律，初、次级电压分别为1122tNtutNtudddddddd222111故得：故得：nNNuu21216由耦合电感由耦合电感VCR的第一式：的第一式：tiMtiLudddd2111从从 到到 t 积分，有积分，有tiMiLu2111d)(tiLMuLi21111d)(1得：得：222221212212111111,iLNMiNMiNiLN由自感、互感的定义：由自感、互感的定义：得：得：nNNLLLMML212121得：得：tinuLi21111d)(1*7保持不变
6、，即保持不变，即由于由于u1为有限值，当为有限值，当 满足理想化的第三个条件，有满足理想化的第三个条件，有211ini类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变压器是一种无记忆元件，也称即时元件。如代压器是一种无记忆元件，也称即时元件。如代入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：0)1)(22222211iuinnuiuiup可见：理想变压器既不耗能，也不储能。可见：理想变压器既不耗能，也不储能。nLLL211,8为了方便，习惯上把由于同
7、名端不同而引起的为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线圈的电压圈的电压(标同名端处假设为正极标同名端处假设为正极)、电流、电流(一侧一侧流入另一侧流出流入另一侧流出)应如下图假设：应如下图假设：1ini1-1i2i+-*n:11u2u+-1i2i+-*n:11u2u+1i-+-*n:12u+2nu-+-*n:12u+2nu1ini198 -4-2 全耦合变压器的电路模型全耦合变压器的电路模型实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。两不满
8、足第三个条件，那就是全耦合变压器。两线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有*式，有式，有tiiinuLi 1d)(112111可见，全耦合变压可见，全耦合变压器的初级电流有两器的初级电流有两部分组成，其中部分组成，其中 称为激磁电流。其称为激磁电流。其等效电路模型如图等效电路模型如图所示。所示。i+-1i2i+*n:1 1ii1L2u1u-10上图中，上图中， 称为激磁电感。这也说明理想变称为激磁电感。这也说明理想变压器由于压器由于 为无穷大为无穷大(极限情况极限情况)，故不需要，故不需要激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。
9、工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常采用导磁率采用导磁率 很高的磁性材料做变压器的芯子。很高的磁性材料做变压器的芯子。而在保持匝比不变得情况下，增加线圈的匝数，而在保持匝比不变得情况下，增加线圈的匝数，并尽量紧密耦合，使并尽量紧密耦合，使k接近于接近于1。同时使。同时使 非常非常大，认为增大到无限大。非常非常大，认为增大到无限大。MLL,211L1L118-5 含理想变压器电路的分析计算含理想变压器电路的分析计算由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想变压器，激磁电感变压器，激磁电感 ( 即初级电感即初级电感
10、) 可以认为是可以认为是外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路的分析计算。的分析计算。128-5-1 理想变压器的阻抗变换理想变压器的阻抗变换由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以以n倍的关系变换电压、电流外，还可以有倍的关系变换电压、电流外，还可以有n2倍的关系变换阻抗。倍的关系变换阻抗。如：从初级看进去的等效电阻为如：从初级看进去的等效电阻为1i+-L2RnL222222111RniuninnuiuRi2i+-+-1i*RLn:12u1u1u13显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无显然，输入电阻仅与匝比有关
11、，与同名端无关。关。对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：1221,InIUnU+-+-*n:12Un2U1In1I+-+-*n:12Un2U1In1I14若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效阻抗为阻抗为L2ZnZi上述上述“搬移搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：阻抗的方法还可以进一步推广：1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；并联阻抗可以从次级搬移到初级；2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。串联阻抗可以从初级搬移到次级。阻抗可以从初级与
12、次级之间来回搬移。阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。15+-+-*n:11U2U2I1I2I2IadcbN2Z+-+-*n:11U2U2I1IadcbN 1I22Zn1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；并联阻抗可以从次级搬移到初级；(a) (b)由图由图(a)： 1 ) (1) (11211221222222121InIIZnUIZUnIInInIUnU得图得图(b)。上式中：。上式中：162.串联阻抗可以从初级搬移到次级。串联阻抗可以从初级搬移到次级。1I(a) (b)由图由图(a):221S2111S12121)(1)(11InZUnnIZUnIZUnUnUInIS得图得图(b)。+-+-
13、*n:1SUadcbN1Z+-1U2U2I+-+-*n:1adcbN121Zn1ISU2U2I17应该指出：阻抗的应该指出：阻抗的 n2 倍与元件的倍与元件的 n2 倍是不一倍是不一样的。样的。电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反:)1(j1j1)(j)j()(222222CnCnLnLnRnRn18利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：acZ3简化为简化为121nZ+-*n:1adcbNZ3122nZSU+-*n:1dbNZ1Z2SU19电源也可以电源也可以“搬移搬移”。不过，电源搬移与同。不过，电源搬移与同名
14、端有关。名端有关。ac3Z121Zn*dbN+-*n:1221ZnS1Un121ZndcN+-3Z221ZnS1Un由理想变压器由理想变压器的的VCR，简化，简化成没有变压器成没有变压器的电路。的电路。20理想变压器还可由一个初级线圈与多个次级理想变压器还可由一个初级线圈与多个次级线圈构成。线圈构成。在图示电压，电流参考在图示电压，电流参考方向下，有方向下，有332211NuNuNu即：即：12121nNNuu23131nNNuu+2i1 :2n1i-+-*3i+-*2R3R2N3N1N1 :1n*1u2u3u210332211iNiNiN即即3221111inini即即从初级看入的等效电导从
15、初级看入的等效电导13212113221111111uinuinuininuiGi0332211iuiuiupv ivnivni1 11121230222232123232212111nGnGuninunin3222213222213222211/)(RnRnRnRnRnRnR即即,有多个次级线圈有多个次级线圈时，次级阻抗可以一时，次级阻抗可以一个一个地搬移。个一个地搬移。n R122n R22323其实，多个次级的理想变压器电路，可以认为其实，多个次级的理想变压器电路，可以认为初级是双线初级是双线(或多线或多线)并绕，这样就更易理解。并绕，这样就更易理解。2i1 :2n1i-+-*3i+-*
16、2R3R2N3N1N1 :1n+*1u3u2u1i1 :2n-+-*2R2N3i+-*3R3N1 :1n1N+1N*2ii1i13u1u2u24利用上述结论可以巧妙利用上述结论可以巧妙的计算如下例题：的计算如下例题：已知已知 1，求，求ab端的输端的输入阻抗。入阻抗。解：由解：由KVL：222212UUUUUUac+-1U+-22:1*4Fbac*2:12:1*2ac4F等效电路如左图，等效电路如左图，输入输入阻抗为：阻抗为：) j1 (211j) j(/1jZi2U25例例8-4.含理想变压器电路如图，试求含理想变压器电路如图，试求 和和 。1I解：将次级折合到初级解：将次级折合到初级2 j
17、1200j1002LLiZnZZU*1V0100+-+-100200j2I1I1:10U26由理想变压器的伏安关系由理想变压器的伏安关系例例8-5.在如图所示电路中，已知在如图所示电路中，已知V08SU内阻内阻 ，负载电阻，负载电阻 ，求，求n=?时，时，负载电阻与电源达到最大功率匹配？此时，负载电阻与电源达到最大功率匹配？此时， 2SR8LRA452252 j201001IA4525 . 212 InIV4522501002IU27负载获得的最大功率为多少？负载获得的最大功率为多少？解：将次级折合到初级，根据最大功率解：将次级折合到初级，根据最大功率匹配条件有匹配条件有L2Rn+-1ISRS
18、USR*+-LR1In:1SU285 . 082LSSL2RRnRRn时，达到最大功率匹配。时，达到最大功率匹配。L2Rn由于理想变压器既不能耗能也不能储能，故等由于理想变压器既不能耗能也不能储能，故等效电路中效电路中 吸收的功率就是吸收的功率就是 原电路获得原电路获得的功率，的功率，LRW84S2SmaxRUP294 j*V0200+-500n:13例例8-6要使负载获得最大功率，求：要使负载获得最大功率，求：?,maxPn解：将次级折合到初级，解：将次级折合到初级， 不可不可能达到共扼匹配。能达到共扼匹配。4 j3LLZR 与304 j)5003(02002nI4 j) 3(0200LR由
19、于这时可变化的只是变比由于这时可变化的只是变比n，这就是这就是“模匹配模匹配”的情况。的情况。34 jV0200+-2500nILR31一般地，理想变压器内阻一般地，理想变压器内阻 ，变换后的，变换后的阻抗阻抗 ，当仅负载阻抗的，当仅负载阻抗的模可变时，不可能达到共扼匹配，求负载获得模可变时，不可能达到共扼匹配，求负载获得最大功率的条件：最大功率的条件：SSSjXRZLLLLLsinjcosZZZ下面先证明：下面先证明：)sin( j)cos(LLSLLSSZXZRUI负载中电阻吸收的功率：负载中电阻吸收的功率：)cos(LL2ZIP 2LLS2LLSLL2S)sin()cos(cosZXZR
20、ZU32SLL, 0(ddZZZP即）要使要使P达到最大，必须达到最大，必须这时，负载获得最大功率。这种情况称为这时，负载获得最大功率。这种情况称为“模匹配模匹配”。模匹配时负载中电阻吸收的功。模匹配时负载中电阻吸收的功率一般比达到共扼匹配时的功率小。这时率一般比达到共扼匹配时的功率小。这时W25004)53(52001 . 0543222L222L2LRIPnRnR33例例8 -7：,V050,501,10,5 . 0S21UCRRn已知求流过求流过 的电流的电流I。2R.8 -5 -2 含理想变压器电路的一般分析方法含理想变压器电路的一般分析方法列写网络方程和应用戴维南定理是常用的方法。列
21、写网络方程和应用戴维南定理是常用的方法。1R+-n:1C1j+-+-2RI*1I2U2Un1InSU34解：理想变压器没有接成初、次级的形式，故解：理想变压器没有接成初、次级的形式，故只能列写网孔方程。按照前面的方法假设电压、只能列写网孔方程。按照前面的方法假设电压、电流。电流。网孔方程网孔方程0)(j1()()(212212S212121UInCRIRUUnInRIRR35代入数据代入数据得得452452221IIA45221III021)50j20(105021211020211211UIIUII36例例8 -8 求：求：A、B以左电路的戴维南等效电路。以左电路的戴维南等效电路。1Z+-*
22、+-+-+-+-LZ2Z*ABn2:1n1:1SU3U2U1U4U37解：本题含有两个理想变压器，先搬解：本题含有两个理想变压器，先搬 移走第一个：移走第一个：1211ZnS11Un*+-LZ2Z3U+-+-ABn2:14U38+-ABS211Unn1221)(1Znn2221Zn再搬移第二个：再搬移第二个：39则则 电阻上没有电流。电阻上没有电流。2解：运用解：运用VCR：A0183,A0612S1IIIII0012UUII求已知,A06S例例8 -9.SI+-1U+-1I2I2I3:1*2U40A0231SIIII求已知,A06S例例8 -10.解：由解：由VCR和和KCL：SI1I 3
23、jI1:2*IIIII1S12211解上两式，得解上两式，得41例例8 -11：电路初始状态为零，：电路初始状态为零，t=0开关闭合，开关闭合，试求试求t0时的电流时的电流i(t)解：由已知参数，解：由已知参数，此乃全耦合变压此乃全耦合变压器，其等效电路器，其等效电路为：为：121LLMk2H+-14H1H4K*i(t)(2tiV242其中其中 ，将理想变压器次级搬，将理想变压器次级搬移到初级，得等效电路，利用一阶电路的移到初级，得等效电路，利用一阶电路的三要素法求解。三要素法求解。214121LLnK+-4*n:11H1i(t)i t1( )i t2( )V2430Ae2e 21 2)(21
24、21ttitts2RLA2)(,A1)0(, )0(A0)0(LLiiii1H1+-KLi)(ti1)(1ti思考：思考：若需求若需求 ，应如何求解？，应如何求解？ 与与 是不是是不是n倍的关系？倍的关系？ i t2( )i t2( )(tiV244解：按图所示假设电压、电流。解：按图所示假设电压、电流。例例8 -12：求输入阻抗。：求输入阻抗。n:1*1Z2Z2U+-2Un+-1I1InU+-1) 1(In*法一：列方程法一：列方程21121112) 1() 1(UZInZInZInUnU1222) 1(ZnZnZIUi451I1In1) 1(Zn2Z11Znn221)1(nZZnn1) 1
25、(Zn法二法二:1222) 1(ZnZnZi46求输入阻抗求输入阻抗:解：按图所示假设电压、电流。解：按图所示假设电压、电流。2Zn:1*1Z2U+-2Un+-1I1InU+-*1)1(In由上题完全类似，可得：由上题完全类似，可得：1222) 1(ZnZnZIUi47P.247. 例例 8 -9就是实例：戴维南等效电路的就是实例：戴维南等效电路的输出阻抗为：输出阻抗为：ZRRRoo221102122()开路电压由理想变压器的开路电压由理想变压器的VCR直接得到：直接得到：)(22Stuuoc0012ii488-6 一般变压器的电路模型一般变压器的电路模型一般变压器可以用电感或空芯变压器的分析
26、方一般变压器可以用电感或空芯变压器的分析方法，也可以用含有理想变压器的等效电路的方法，也可以用含有理想变压器的等效电路的方法来分析。这其实也就是变压器电路分析的两法来分析。这其实也就是变压器电路分析的两种方法。一般变压器的初、次级电感不会是无种方法。一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数限大，耦合系数 k 也小于也小于 1 ，现在先看一般的，现在先看一般的互感线圈互感线圈(见图见图a)，由于存在漏磁通，可以想象由于存在漏磁通，可以想象为如图为如图(b)所示的全耦合电感和漏磁通组成；再所示的全耦合电感和漏磁通组成；再运用理想变压器的等效电路，即可得到一般变运用理想变压器的等效电路，即可得
27、到一般变压器的含理想变压器的等效电路压器的含理想变压器的等效电路(见图见图c)。491SL2SL (a) (b)(c)*M1i2i+MnMn11u2u*1L2LM1i2i+1u2u*1SL1i2i+2SLMn+ 2u 1u1:n1u2u50由图由图(a):tiMtiLudddd2111tiMtiLudddd1222由图由图(c):tiLntiLLtiLtiLtiLtiiLtiLutiLuMMMMMdd1dd)(ddddddd) (ddd dd211S1111S1111S111S1*1SL1i2i+2SLMn+ 2u 1u1:n1u2u51tiLuntiLuudd1dd22S122S22tiLL
28、ntiLntiLtiLntiLntiLtiiLnMMMMMdd1dd1dddd1dd1ddd) (d122S2122S1122S11式中应用了：式中应用了：, 1221iniunu*1SL1i2i+2SLMn+ 2u 1u1:n1u2u52这两种方法可以相互等效：这两种方法可以相互等效：2S221S111LLnLLnMLLLMMMMnLLMnLMnLLM122S11S当取当取 时：时：21LLn 2u1u*1L2LM1i2i+1u2u*1SL1i2i+2SLMn+ 2u 1u1:n1u2u53如果还需考虑线圈的绕线电阻和铁芯损失，铁如果还需考虑线圈的绕线电阻和铁芯损失，铁芯变压器的电路模型如下
29、图所示：芯变压器的电路模型如下图所示：1RmiS1LS2L2R*n:1MRMLiM当然，如果还要考虑线圈的匝间电容等，即还当然，如果还要考虑线圈的匝间电容等，即还有相应的等效电路。有相应的等效电路。54Mj+-LZ1j L2j L*1I2I2R1RSU当当k=1时，空芯变压器和理想变压器模型的时，空芯变压器和理想变压器模型的区别区别+-1R222)(ZM1j LSU1I+-*n:11R1j L2RSU1ILZ+-1R1j LLZ2Rn2n2SU1I55作业：作业：P.253.8 -128 -158 -1756作业：作业：P.254.8 -118 -198 -2057V10cos10)(Sttu+-*1)(1ti)(1tibaH8 . 0H2 . 0H2 . 0105 . 思考题思考题1: 试求试求a、b端的戴维南等效电路端的戴维南等效电路(时域时域)。思考题思考题2: 电路原已稳定，开关电路原已稳定，开关K在在t=0时闭合，试求：时闭合，试求：A10cos30)(3SttiH5 . 0+-*H2H440)(LtuK58
