1、高斯混合模型（GMM）高斯混合模型（GMM） GMM的表 GMM参数计算 GMM应用举例高斯混合模型（GMM） GMM的表达 GMM参数计算 GMM应用举例高斯模型 是一种参数化模型，用高斯密度函数估计目标的分布 单高斯（SingleGaussianModel） 高斯混合模型（Gaussianmixturemodel）高斯混合模型(GMM) 公式表达：参数空间：高斯混合模型（GMM） GMM的表达式 GMM参数计算 GMM应用举例GMM参数学习*注意：对于观察集x中的各个观察值xi，这里认为相互之间独立。GMM参数学习 对目标函数取对数： 可以看出目标函数是和的对数，优化问题麻烦，简化的问题：
2、某混合高斯分布一共有K个分布，对于每一个观察到的x，如果我们同时还知道它是属于K中哪一个分布的，则可以直接求解出各个高斯分布的参数。 因此引入隐变量Z,用于表示样本x输入哪一个高斯分布111ln( (;)ln( ;)ln( ;,)NNKikikkiikp Xp xN x GMM参数学习 定义Zi=zi1,ziK,zik表示xi是否属于第k个高斯函数，zik只有两个取值0、1，即zik=1表示xi属于第k个高斯函数，zik=0表示xi不属于第k个高斯函数。 那么，有：1()ikKzikkp Z11KikkzGMM参数学习 引入Z后(|1;)(|,)iikikkp xzN x 从而得到1(|;)(
3、|,)ikzKiiikkkp xZN x 注意：这里zik只有0和1的选择GMM参数学习 在简化问题中，我们实际的观察变量是X,Z,根据一下两个公式1()ikKzikkp Z1(|;)(|,)ikzKiiikkkp xZN x 可以得到11(X,Z;)(|,)ikikzNKzkikknkpN x 注意：这里N是X X=x集合的大小。GMM参数学习 比较原问题和简化问题111ln( (;)ln( ;)ln( ;,)NNKikikkiikp Xp xN x 1111ln(X,Z;)ln(|,) =lnln(|,)ikikzNKzkikknkNKikkikknkpN xzN x 后者的ln直接作用于
4、正态分布，使正态分布由乘的e指数形式变为加的简单形式GMM参数学习 为了最大化上式，由于zik已知，我们可以把上式按观察到的(x,z)分为K组，即按照所属的高斯函数进行分组11ln(X,Z;)lnln(|,)NKikkikkikpzN x 12111222ln(X,Z;)(lnln(|,)(lnln(|,)+.+(lnln(|,)Kiii Ci CKiKKi CpN xN xN x 注意：用到zik的取值，所以zik不会再出现在公式中。GMM参数学习 因为我们假定zik已知，因而最大化某一个高斯函数(lnln(|,)lnln(|,)kkikkkkkki CN xNN X是可以数值求解的。 假定
5、Ck中含有Nk个样本，则(lnln(|,)kkikki CN x注意：这里X X表示的是xi的联合，X X 表示的是仅属于Ck的样本的联合。GMM参数学习 对于单高斯函数111ln(|,)ln(2 )()()222kNTkkkkikkikiN DNN Xxx 11ln(|,)()kNkkkikikN Xx 令上式等于0，则有11kNkiikxN 同理，可以得到11()()kNTkikikikxxN GMM参数学习 在zik已知的情况下，我们求出了高斯函数的数值解：11Nkikiikz xN11()()NTkikikikikzxxN 其中1NkikiNzGMM参数学习1111ln(X,Z;)(1
6、)lnln(|,)(1)KkkNKKikkikkkikkLpzN x 110KkkL 10NikikzL11NKikikzN 1NikikkzNNNGMM参数学习 引入隐变量Z后，我们得到了最大化目标函数的结果11ln(X,Z;)lnln(|,)NKikkikkikpzN x 11Nkikiikz xN11()()NTkikikikikzxxN 1NkikiNz1NikikkzNNN通过上面的公式，可以看出如果能够知道每一个zik的取值，那么就能求解出最大化目标函数的参数取值，但事实上给定一组观察数据x后，是无法获取zik的，因此我们将用zik的均值Ezik来代替。11()NkikiikE z
7、xN11()()NTkikikikikE zxxN （ ）1()NkikiNE z1E()NikikkzNNNGMM参数学习 进一步解释现在的问题转化为如何求解Ezik？Ezik11( )NkikiikE z xN11()()NTkikikikikE zxxN （ ）1( )NkikiNE z1E( )NikikkzNNNEM算法GMM参数学习GMM参数学习1iii(|)(|,)=(|,)(|) (|,)=(|)(1|) (|1,)(0|) (|0,)=10(|)(|)ikikikNikikiknznikikizikiikikzikiikikiikE zz p zxz p zxp zp xzz
8、p xp zp xzp zp xzp xp x ikj1(1|) (|1,)=(|)N(|,)=N(|,)ikiikikkKijjjp zp xzp xxxzik只与xi有关公式展开Zik只有0、1取值贝叶斯公式GMM参数学习 小结kj1N(|,)(|)=N(|,)ikkikKijjjxE zx 11( )NkikiikE z xN11()()NTkikikikikE zxxN （ ）1( )NkikiNE z1E( )NikikkzNNNM-stepE-stepGMM参数学习 算法流程GMM参数学习 GMM，K=2K-meams初始化原始数据迭代过程迭代过程迭代过程迭代结果高斯混合模型（GM
9、M） GMM的表达式 GMM参数计算 GMM应用举例GMM应用:背景建模 背景模型：对图像中的场景进行建模，从而进行运动检测。要点1：将图像中的每个图像单位(像素，块等)看成是从混合高斯分布样本中采样得到的随机变量；要点2：根据先验知识，每个像素点是前景或背景的先验概率可以估值；要点3：考虑到背景的多模态和复杂度，一般的混合高斯模型采用3-5个单高斯模型进行混合。GMM应用:背景建模 用K个高斯模型来表征图像中各个像素点的特征 Ixy,t属于背景区域的概率密度：, , , ,1()(,),Kxy txy k txy txy k txy k tkf IN IIxy,t 表示t时刻图像I中的xy位
10、置的像素特征。, ,11Kxy k tk模型主要步骤：1，模型初始化；2，背景描述；3，前景判决；4，模型更新。GMM应用:背景建模 模型初始化（1/3）, ,101xy txy k tIkk0kKGMM应用:背景建模 模型初始化（2/3）2, ,var1,2,.,xy k tkKGMM应用:背景建模 模型初始化（3/3）int, ,int1(1)/(1)1xy k tWkWKkGMM应用:背景建模 背景模型描述, , ,1,1,/xy k txy k txy ktxy kt2. 排序后，用前B个高斯模型作为背景模型：,1arg m in ()Bxy k tBkTT为选定的阈值。用于确定描述背
11、景模型的高斯函数的个数GMM应用:背景建模 前景判决（1/2）,1, , , ,1,11,|I|()0,xy txy k txy k txy k txy tifmIelse判断当前像素，属于背景或前景GMM应用:背景建模 前景判决（2/2）,1, ,1,1arg min()0 xy txy k txy tkMmI,1,elsexy tif MB前景背景前景判决：GMM应用:背景建模 模型更新（1/2）更新所有高斯模型的权重，并重新归一化：, , 1, ,k, 1(1)xy k txy k txytm ,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1222,(;,)(1)(1)()xy txy txy txy txy txy txy txy txy Mtxy Mtxy Mtxy Mtxy txy Mtxy Mtxy txy MtN III 更新模型，使其适应场景的变化GMM应用:背景建模 模型更新（2/2）, , 1, , 1(1)(), 111initxy i tinitxy i tWWikk , , 1, , 1, 12, , 1(1-W )/(K-1),varxy K tinitxy K txy txy K tI（1）更新前k-1个模型的权重：（2）重新初始化第K个模型：
