1、动力学设计机构及其系统9-1 9-1 机构及其系统的质量平衡与功率平衡机构及其系统的质量平衡与功率平衡一、质量平衡一、质量平衡m1r1m2r2mrbm1r1+m2r2+mbrb=0m2m1r1r2lm1s1m2s2m3s3 使构件质量参数合理分布及在使构件质量参数合理分布及在结构上采取特殊措施，将各惯性力结构上采取特殊措施，将各惯性力和惯性力矩限制在预期的容许范围和惯性力矩限制在预期的容许范围内，称为质量平衡。内，称为质量平衡。2、机构惯性力、机构惯性力(对机座对机座) 的平衡的平衡1、转子平衡、转子平衡二、功率平衡二、功率平衡1、机械运转中的功能、机械运转中的功能 关系关系12EEAAcdf
2、rcAAA其中其中为总耗功为总耗功 ABTmo起动稳定运动停车T2 2、机械运转的三个阶段、机械运转的三个阶段(1)起动阶段：起动阶段：，主动件的速度从零值上升到正常工作速度，主动件的速度从零值上升到正常工作速度cdAA (2)停车阶段：停车阶段：0rdAA(3)稳定运转阶段：稳定运转阶段：b .变速稳定运转变速稳定运转 围绕平均速度作周期性波动围绕平均速度作周期性波动a .匀速稳定运转匀速稳定运转 速度保持不变，速度保持不变， 在任何时间间隔都有在任何时间间隔都有0cdAA一个周期的时间间隔一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1;不满一个周期的时间间隔不满一个周期的时间间隔,Ad=Ar,
3、E2=E1功率平衡：功率平衡：若为实现一个尽可能匀速稳定运转，在结构上若为实现一个尽可能匀速稳定运转，在结构上或机构设计方面采取相关措施。或机构设计方面采取相关措施。9-2 9-2 基于质量平衡的动力学设计基于质量平衡的动力学设计一、质量平衡的设计方法之一（线性独立向量法）一、质量平衡的设计方法之一（线性独立向量法） 当且仅当平面机构总质心静止不动时，平面机构的惯性当且仅当平面机构总质心静止不动时，平面机构的惯性力才能达到完全平衡。力才能达到完全平衡。（一）（一） 平面机构惯性力平衡的必要和充分条件：平面机构惯性力平衡的必要和充分条件：机构的总惯性力为机构的总惯性力为F=-Mas，欲使任何位置
4、都有，欲使任何位置都有F=0，则，则0sa机构总质心作匀速直线运动；机构总质心作匀速直线运动；机构总质心沿着封闭曲线退化为停留在一个点。机构总质心沿着封闭曲线退化为停留在一个点。（二）（二） 平面机构惯性力完全平衡的线性独立向量法平面机构惯性力完全平衡的线性独立向量法基本思路基本思路列出总质心的向量表达式；列出总质心的向量表达式；使与时间有关的向量（时变向量）的使与时间有关的向量（时变向量）的系数为零。系数为零。nisiisrmMr11对于任何一个机构的总质心向量对于任何一个机构的总质心向量r rs s可表达为可表达为若r rs s为常向量，则可满足上述充要条件。为常向量，则可满足上述充要条件
5、。1、平面铰链四杆机构、平面铰链四杆机构(1)列出机构总质心列出机构总质心 位置向量方程式位置向量方程式)(1111iserr)(212221iiserear)(34333iserar4333221211332211)()()(1ameermeermeamermMriiiiiis321iiieee、注意时变向量：21rs2rs3a4Ba2a1ca3ADs1m11r1OYxs2r2m2 2nisiisrmMr113s3r3m33(2)使rs表达式中所含有的时变向量变为线性独立向量封闭条件：04321321aeaeaeaiii132212423iiieaaaaeaaeCAD21a4Ba2a1a3O
6、Yx3故有121)(121221211iiiseeaarmamermMr323)(232233iiieeaarmerm)(2242243ieaarmam(3)机构机构惯性力完全平稳的条件惯性力完全平稳的条件 则则rs就成为一常向量就成为一常向量, 即质心位置保持静止。即质心位置保持静止。由图可得由图可得22222iieraer令令02121221211iieaarmamerm023232233iieaarmerm2r2rs33Oa4Yrs2s2r2m2 2Ba2a1ca3AD21s1m11r1xs3r3m33021212211iieaarmerm023232233iieaarmerm机构机构惯
7、性力完全平稳的条件惯性力完全平稳的条件:铰链四杆机构惯性力完全平衡的条件是：铰链四杆机构惯性力完全平衡的条件是： 一般选两个连架杆一般选两个连架杆1、3作为加作为加平衡重的构件。平衡重的构件。000jijjerm若：若：调调 整前：整前：*jijjerm添加平衡重的大小与方位向量：添加平衡重的大小与方位向量：jijjerm调整后：调整后：212211aarmrm232233aarmrm2123，s2m222a1a2a3a4r22rm1s1 1m3s3 3yxmjrjeijjijjerm*mjrjei000jjjj0*按照向量加法规则可求得应添加的质径积的大小和方位为则应有：jjjijjijji
8、jjermermerm*0*00，( j=1或 3 )cos(2)()(0002002*jjjjjjjjjjjjrmrmrmrmrm)coscos(sinsin(000000*jjjjjjjjjjjjjrmrmrmrmtg其中*0jjjmmm( j=1或 3 )2 2、有移动副的平面四杆机构、有移动副的平面四杆机构(1)(1)列出各活动构件的质心向量表达式为列出各活动构件的质心向量表达式为)(1111 iserr)(212221 iiserear3213213 iiisereaear 1ie2ie可得到机构总质心向量表达式为可得到机构总质心向量表达式为 3221133232232111)()(
9、1 iiiiisermeamermemmaermmr 上式中两个时变向量上式中两个时变向量 及及 已是线性独立向量已是线性独立向量(S(S向量未出现向量未出现) )。将以上诸式代入将以上诸式代入 niSiisrmMr11rS2rS3Byr3 1r1S2S3 2r2m2a2m1a1 1m3O(A)Sx 3CS1 2(2) 令时变向量令时变向量 、 前的系数为零，得前的系数为零，得1ie2ie00)(23221321121 amermammermii 一般，滑块的质心在一般，滑块的质心在C C点，即点，即r r3 3=0=0。而构件而构件2 2的质心应在的质心应在CBCB的延长线上的延长线上Br2
10、m2a1m3Ca2r1m1A于是，曲柄滑块机构惯性力的完全平衡条件为：于是，曲柄滑块机构惯性力的完全平衡条件为：232213211)(amrmammrm 21，二、质量平衡的设计方法之二二、质量平衡的设计方法之二 ( (质量代换法质量代换法) )质量代换的实质是：用假想的集中质量的惯性力及惯性力质量代换的实质是：用假想的集中质量的惯性力及惯性力矩来代替原构件的惯性力及惯性力矩矩来代替原构件的惯性力及惯性力矩1 1、代换条件、代换条件(2)(2)代换质量的总质心位置与原构件质心位置重合代换质量的总质心位置与原构件质心位置重合0AABBlmlm静静代代换换(3)(3)代换质量对构件质心的转动惯量之
11、和与原代换质量对构件质心的转动惯量之和与原 件对质心的转动惯量相等件对质心的转动惯量相等SBBAAJlmlm22动动 代代 换换ABllAlB(1)(1)代换质量之和与原构件的质量相等代换质量之和与原构件的质量相等mmmBA即即两点质量静代换公式：两点质量静代换公式：mllllmlmABAABmllllmlmBBABASm( (二二) )曲柄滑块机构惯性力的部分平衡曲柄滑块机构惯性力的部分平衡2)(2mLcmB 2)(2mLbmC ，1)(1mRemB 1)(1mReRmA，323)(2mmLbmmmCC 21)(2)(1mLcmRemmmBBB 故故)2cos(cos112 LRRmFCC
12、故故)2cos(cos112 LRRaC 而而BOS1S2S3m2m1cm3yxCARebL 1)2cos(cos112 LRRmFCC 式中，第一项式中，第一项mC 2Rcos 1 第一级惯性力；第一级惯性力； 第二项第二项mC 2R R/L cos2 1 第二级惯性力。第二级惯性力。忽略第二级惯性力，忽略第二级惯性力，FC可近似表达为可近似表达为 12cosRmFcCRmFBB2而而12cos)(RmmFcBX12sinRmFBy全部惯性力在全部惯性力在X轴和轴和Y轴上的分量分别为轴上的分量分别为BOS1S2S3m2m1cm3yxCARebL 1RmmrmcBDD)( 若在若在D处加平衡质
13、量处加平衡质量 1212sinsinRmrmFFcDDyy于是水平方向的惯性力可以平衡，但于是水平方向的惯性力可以平衡，但一般因mcmB，故垂直方向的惯 性力反而增大多了。 在曲柄的反向延长线上加一较小的平衡质径积，在曲柄的反向延长线上加一较小的平衡质径积，RKmRmRkmmrmcBcBDD)(式中，式中，K为平衡系数，通常取为平衡系数，通常取 ，这就是这就是 部分平衡。部分平衡。31k2112cos)(RmmFcBX12sinRmFByBOS1S2S3m2m1cm3yxCARebL 1rDDmD9-3 9-3 机构及其系统动力学方程机构及其系统动力学方程iiiiFqUqEqEdtd)(一、拉
14、格朗日方程一、拉格朗日方程iqiq 、分别为广义坐标与广义速度；分别为广义坐标与广义速度；Fi为广义力。为广义力。E、U分别为系统的动能和势能；分别为系统的动能和势能；广义坐标广义坐标若机械系统用某一组独立的坐标（参数）就能完全若机械系统用某一组独立的坐标（参数）就能完全 确定系统的运动，则这组坐标称为确定系统的运动，则这组坐标称为广义坐标。广义坐标。广义坐标的数目等于机构的自由度。广义坐标的数目等于机构的自由度。等效构件等效构件广义坐标广义坐标q1、q2、qN(N为主动件的数目）的构件。为主动件的数目）的构件。如果不计构件的弹性，且忽略构件的重量，则势能如果不计构件的弹性，且忽略构件的重量，
15、则势能U不必计算。不必计算。例：平面五杆机构系统动力学方程例：平面五杆机构系统动力学方程选选广义坐标，广义坐标，11q42q， 在不计构件重量和弹性的情况在不计构件重量和弹性的情况下，此五杆机构的拉格朗日方程为下，此五杆机构的拉格朗日方程为111)(FqEqEdtd222)(FqEqEdtd二、两自由度机构系统运动方程式二、两自由度机构系统运动方程式 (1)第j个构件的动能222121jsjsjjjJvmE1 1、机构系统动能的确定、机构系统动能的确定OE1BCDA2341234其中其中 m mj j 构件构件j j的质量；的质量； V Vsjsj 构件构件j j的质心点的速度；的质心点的速度
16、；J Jsjsj 构件构件j j绕质心绕质心S Sj j的转动惯量；的转动惯量； 构件的角速度；构件的角速度；j(2)机构系统的动能机构系统的动能njjsjsjjJvmE122)(21222sjsjsjyxv其中其中 (1)第第j个构件的动能个构件的动能222121jsjsjjjJvmE . 作直线移动的构件， . 绕质心转动的构件，0j0sjv(3)求机构系统动能的步骤：求机构系统动能的步骤： a. 位移分析),(),(),(212121qqyyqqxxqqsjsjsjsjjj(j=1,2,3,4)b. 速度分析22sjsjsjyxv2211qqqqjjj2211qqxqqxxsjsjsj2
17、211qqyqqyysjsjsj( j=1,2,3,4)C. C. 系统动能表达式系统动能表达式2222211221112121qJqqJqJEjsjsjyx,将 代入系统总动能公式，并经整理后可得：njjsjsjsjjqJqyqxmJ121212111)()()(其中njsjsjsjsjjqyqyqxqxmJ1212112)(21qqJjjsjnjjsjsjsjjqJqyqxmJ122222222)()()(J J1111、J J1212、J J2222称之为等效转动惯量，具有转动惯量的量纲。称之为等效转动惯量，具有转动惯量的量纲。2222211221112121qJqqJqJEkjijji
18、jjyijjxiqMqyFqxFF1)(2 2、广义力、广义力F F1 1，F F2 2 ( (等效力或等效力矩等效力或等效力矩) )的确定的确定式中，式中，k k为外力为外力( (外力偶外力偶) )的数目；的数目； F FjxjxF Fjyjy为外力为外力F Fj j在在x x、y y方向的分量；方向的分量；Mj j为外力矩；为外力矩；x xj j 、 y yj j为外力为外力F Fj j作用点的坐标；作用点的坐标； j j为外力矩为外力矩M作用的构件的角位移；作用的构件的角位移；)(1jjjjyjkjjxMyFxFp因为总功率因为总功率2211qqqqjjj2211qqxqqxxjjj22
19、11qqyqqyyjjj而，则2211qFqFp 3 3、二自由度机构系统运动微分方程、二自由度机构系统运动微分方程111)(FqEqEdtd222)(FqEqEdtd2222211221112121qJqqJqJEkjijjijjyijjxiqMqyFqxFF1)(将将及其有关量，及其有关量，和和代入下式代入下式1221222122121121111212111)21()(21FqqJqJqqqJqqJqJqJ 222222211222121111222211221)21(FqqJqqqJqqJqJqJqJ 则得则得9-4 9-4 单自由度机构或机构系统动力学模型及单自由度机构或机构系统动力
20、学模型及 运动方程式运动方程式一、单自由度机构系统动力学模型一、单自由度机构系统动力学模型令 q2=0，J12=0，J22=0，F2=0单自由度运动微分方程：12111111121FqJdqdqJ 式中的式中的J J1111、F F1 1可分别按前述方法求得：可分别按前述方法求得：njjsjsjsjjqJqyqxmJ121212111)()()(njnjjjjjjqMqvF1111)()cos(njjjjjyjjxqMqyFqxFqpF111111)()()(式中，当式中，当 Mj与与 j j 同向时取同向时取“+”+”，否则取，否则取“”njjsjsjsjjqJqyqxmJ121212111
21、)()()(njnjjjjjjqMqvF1111)()cos(njjjjjyjjxqMqyFqxFqpF111111)()()(单自由度运动微分方程：12111111121FqJdqdqJ 当当q q1 1为角位移、为角位移、 为角速度时，为角速度时，J J1111具有转动惯量量纲，称为具有转动惯量量纲，称为 等效转动惯量，常用等效转动惯量，常用j je e 表示；而表示；而 F F1 1具有力矩的量纲，称为具有力矩的量纲，称为 等效力矩，常用等效力矩，常用Me表示；表示；1q 当当q q1 1为线位移、为线位移、 为线速度时，为线速度时， J J1111具有质量的量纲，具有质量的量纲， 称为
22、称为 等效质量，常用等效质量，常用m me e表示；而表示；而F F1 1具有力的量纲，称为等效力具有力的量纲，称为等效力, , 常用常用F Fe e表示。表示。1q 二、等效动力学模型的意义二、等效动力学模型的意义JeMe(a)(b)meFeve 注意：注意： 、 是某构件的真实运动；是某构件的真实运动； Me e是系统的等效力矩；是系统的等效力矩； J Je e是系统的等效转动惯量。是系统的等效转动惯量。 注意：注意： s s 、 v v是某构件的真实运动；是某构件的真实运动； F Fe e是系统的等效力；是系统的等效力； m me e是系统的等效质量。是系统的等效质量。 1 1、等效构件
23、、等效构件+ +等效质量等效质量( (等效转动惯量等效转动惯量)+)+等效力等效力( (等效力矩等效力矩) )等效力学模型2、等效构件的运动方程式、等效构件的运动方程式(机构系统的运动方程式机构系统的运动方程式) 把一复杂的机构系统简化为一个等效构件，建立系统的等效动力学模型，然后即可把功能原理应用到等效构件上。ttEEpdtA00微分上式可得dtdEp 即)21(2eeJdtdM或)21(2vmdtdvFee三、等效动力学模型的建立三、等效动力学模型的建立1、等效质量(等效转动惯量)、等效力(等效力矩)的计算njjsjsjjeJvmJ1222212121或 由此可知，等效转动惯量可以根据等效
24、前后动能由此可知，等效转动惯量可以根据等效前后动能相等的原则求取。相等的原则求取。enjejsjesjjJJvmJ12211)()(JeMe 当等效构件为转动构件（当等效构件为转动构件（ ）时）时1q eMqFp11njjjnjjjjMvF11)()cos( 等效力矩可以根据等效前后功率相等的原则求取。等效力矩可以根据等效前后功率相等的原则求取。 enjjsjsjjmvJvvmJ12211)()(njjsjsjjeJvmvm1222212121或等效质量同样可以根据等效前后动能相等的原则求取。等效质量同样可以根据等效前后动能相等的原则求取。 当当等效构件为移动构件（当等效构件为移动构件（ ）时
25、）时，vq 1meFevvFqFpe11njjjnjjjjMvF11)()cos( 等效力可以根据等效前后功率相等的原则求取。等效力可以根据等效前后功率相等的原则求取。2、等效力矩(等效力)与等效驱动力矩(等效驱动力)、 等效阻力矩(等效阻力)的关系eredeMMMeredeFFF简写为：简写为：M=Md-Mr, F=Fd-Fr四、机构系统的动能形式和力矩四、机构系统的动能形式和力矩( (力力) )形式的运动方程式形式的运动方程式1 1、动能形式的运动方程式、动能形式的运动方程式根据功能原理根据功能原理EA积分得0022121)(00JJdMMMdrdssrdssvmmvdsFFFds0000
26、22121)(可得)21(2JdMd)21(2mvdFds 或或2 2、力矩、力矩( (力力) )形式的运动方程式形式的运动方程式即MddJddJ2)2/(22当J=const 时，上式变为MdtdJ其中dtdddtdtddd2222( (力矩形式的方程式力矩形式的方程式) )代入上式得MddJdtdJ22)21(2JdMd MdJd/ )21(2( (力形式的方程式力形式的方程式) ) Fdsdmvdtdvm22FdtdVm当m=const 时，上式变为五、建立机械系统动力学方程步骤五、建立机械系统动力学方程步骤1 1、将具有独立坐标的构件取作等效构件；、将具有独立坐标的构件取作等效构件；2
27、 2、求出等效参数，形成机械系统等效动力学模型；、求出等效参数，形成机械系统等效动力学模型；2122221212121vmJvmJenjjsjsjjevFMvFMenjjjnjjjje11)()cos(3 3、根据功能原理，列出等效动力学模型的运动方程；、根据功能原理，列出等效动力学模型的运动方程；MddJdtdJ22, Fdsdmvdtdvm220022121)(00JJdMMMdrdssrdssvmmvdsFFFds000022121)(5 5、用运动分析方法，由具有独立坐标的构件运动规律，、用运动分析方法，由具有独立坐标的构件运动规律， 求出机械系统中所有其他构件的运动规律。求出机械系统
28、中所有其他构件的运动规律。4 4、求解运动方程，得到等效构件运动规律，即机械系、求解运动方程，得到等效构件运动规律，即机械系 统中具有独立坐标的构件运动规律；统中具有独立坐标的构件运动规律；9-5 9-5 基于功率平衡的机构系统动力学设计基于功率平衡的机构系统动力学设计一、变速稳定运动状态的描述一、变速稳定运动状态的描述1 1、平均角速度、平均角速度2 2、速度不均匀系数、速度不均匀系数)(21minmaxm(1)mminmax(2)于是可得22min2max2mCmaxminmABDTOt周期性变速稳定运动三参数：周期性变速稳定运动三参数： 周期周期T、 平均角速度平均角速度 m、 速度不均
29、匀系数 由(1)和(2)解得)21 (maxm)21 (minm，二、周期性速度波动调节原理二、周期性速度波动调节原理 A A是在区间是在区间( ( 0 0， ) )内等效驱动力矩与等效阻力矩内等效驱动力矩与等效阻力矩曲线间所夹面积代数和。曲线间所夹面积代数和。故当故当J=constJ=const，或其变化可以忽略时，最大盈亏功为，或其变化可以忽略时，最大盈亏功为讨论：，盈功(1) 当0,AAArd，亏功(2) 当0,AAArd盈亏功200221210JJEEEAdMdMMAAArdrd00)(dMAdd0dMArr0，2min2maxmaxminmaxmax2121JJEEEA将代入得22m
30、in2max2m2maxmJA 一般做法是，在系统中装置一个转动惯量较大的一般做法是，在系统中装置一个转动惯量较大的构件，这个构件通常称之为飞轮，其转动惯量构件，这个构件通常称之为飞轮，其转动惯量J JF F。 装置飞轮的实质就是增加机械系统的转动惯量。 飞轮在系统中的作用相当于一个容量很大的储能器。当系统出现盈功，它将多余的能量以动能形式“储存”起来，并使系统运转速度的升高幅度减小；反之，当系统出现亏功时，它可将“储存”的动能释放出来以弥补能量的不足，并使系统运转速度下降的幅度减小。从而减小了系统运转速度波动的程度，获得了调速的效果。2maxmJA 因此，在系统中，因此，在系统中，A Ama
31、xmax及及 m m一定时，欲减小系统的一定时，欲减小系统的运转不均匀程度，则应当增加系统的等效转动惯量运转不均匀程度，则应当增加系统的等效转动惯量 J J。飞轮的作用：飞轮的作用：三、飞轮转动惯量的计算三、飞轮转动惯量的计算E Emaxmax角速度为最大的位置所具有的动能；角速度为最大的位置所具有的动能； E Eminmin角速度为最小的位置所具有的动能；角速度为最小的位置所具有的动能；由由 2maxmFcAJJJ可得 cmFJAJ2max或或 22max900mFnAJminmaxmaxEEAVCFJJJJ系统的等效转动惯量系统的等效转动惯量常量部分常量部分飞轮转动惯量飞轮转动惯量变量部分
32、变量部分当0vJ，并按许用值设计若若0CJ时，时， cmFAJ2max例：图为发动机的输出力矩例：图为发动机的输出力矩(M(Md d) )图，且等效阻力矩图，且等效阻力矩M Mr r为为常数，若不计机械中其它构件的转动惯量常数，若不计机械中其它构件的转动惯量, ,只考虑飞轮只考虑飞轮转动惯量转动惯量, ,设等效构件的平均转速为设等效构件的平均转速为1000r/min1000r/min，运转，运转不均匀系数不均匀系数 =0.02,=0.02,试计算飞轮的转动惯量试计算飞轮的转动惯量J JF F。1.1.等效驳动力矩和等效阻力矩为等效构件角位置函数等效驳动力矩和等效阻力矩为等效构件角位置函数901
33、80360450540630720)(M/(N.m)Md75100-50-7550-10075o周期性变速稳定运转的特点周期性变速稳定运转的特点:一个周期的时间间隔一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1;不满一个周期的时间间隔不满一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1解90180360450540630720)(M/(N.m)Md75100-50-7550-10075o（1）根据一个周期的时间间隔,Ad=Ar，求出等效阻 力矩Mr；210027525010025022754rMmNMr875.21面积)(JAF1F2F3F4F5F626.56 78.13 -35.94 F7-48.44
34、 14.06 -60.94 26.56 (2)计算各块盈亏功面积,90180360450540630720)(M/(N.m)Md75100-50-7550-10075oMrAB CD EFGA(3)确定Emax(max) 、 Emin(min)的位置，位置JE /ABCDEF0A026.56 -9.38 68.75 20.31 34.37 -26.56 G)(44.299313.95938.6006.1444.48654maxmNFFFA 一般飞轮计算不需要很精确，应用上述简化计算已能满足要求，这种简化计算是工程中的实用方法。 max max 、 minmin的的位置分别在位置分别在D D、G G 处处 （4 4）求）求A Amaxmax（5）计算飞轮的转动惯量JF 222max36. 1900mkgnAJmF
