1、第一节第一节 拉（压）杆的轴向变形拉（压）杆的轴向变形第四章第四章 杆件的变形计算杆件的变形计算 1 1、杆的纵向总变形：、杆的纵向总变形： 3 3、平均线应变：、平均线应变：LLLLL1d2 2、线应变：、线应变： 单位长度的线变形单位长度的线变形LLL1dabcdxLPP d ac bxxdL1.14 4、x点处的纵向线应变：点处的纵向线应变：xxxdlim 06 6、x点处的横向线应变：点处的横向线应变：5 5、杆的横向变形：、杆的横向变形：accaacacac.2二、拉压杆的弹性定律二、拉压杆的弹性定律APLL dEANLEAPLLd1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹性定
2、律2 2、变内力拉压杆的弹性定律、变内力拉压杆的弹性定律)(d)()d(xEAxxNxLLxEAxxNxL)(d)( )d(dniiiiiAELNL1d内力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PPN（x）xd xN(x)dxx.3 1)()(1)d(ExAxNEdxx3 3、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律 1:E即4 4、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数） :或)1 (2EG.4EAlFlNlxEAxFl)(dNniiiiEAlFl1N.5是谁首先提出弹性定律是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体
3、力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。 东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图).6“”胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之是什么意思? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。 胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。 .7 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他
4、说：郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。 其中”“两萧 就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国”。1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至我在.8.9BCABlllABABABABEAl
5、FlN800102004001040331 . 0mm167. 024010200400102033NBCBCBCBCEAlFl067mm. 0167. 01 . 0BCABlll.10例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， = 0.3，拧紧后，l 0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 (b) 螺栓的横向变形d.11解：1) 求求横截面正应力横截面正应力4-10.4175404. 0llMPa 2 .1481041. 710200 43E2) 螺栓横向变形螺栓横向变形 41022. 2mm 00340i.dd 螺栓直径缩小螺栓直径
6、缩小 0.0034 mml = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， = 0.3，l 0.04 mm.12.13.14030sinFFAC80kN2FFAC030cosACBCFFkN340BCF.15111AElFCClACACAC96010200cos30/1000108033481mm. 0222AElFCClBCBCBCmm277. 050002100110001030433.160.277mm2CCCx44mm. 1cot30sin30/21CCCCCy47mm. 122xyCCC0.278mmxC44mm. 1yC.17第二节第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
7、圆轴的扭转变形及相对扭转角xGIMpxddpxGIMxddpGIpGI.18pxGIMxddlpxxGIM0dpxGIMpxGIlMnipiixiGIlM1.19.20pABxABABGIM320.061080140049m/01375rad. 0pBCxBCBCGIM320.04108080049m/03978rad. 0.21.22CBDCDBpCBxCBpDCxDCGIlMGIlM18013180GIpMaaGIpM540.23aGIpM540ppIMdIdM232maxmaxppIMdIdM232maxmax40010801080403540233aGIIdpp81MPa.69.24p
8、BABApCBCBACGIlMGIlM180pGIMa718033. 237DB.25第三节第三节 梁的变形梁的变形 .26.27 xfyxfw11)(或)(2xf第三节第三节 梁的变形梁的变形.28.29v坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。v挠度的符号规定：向上为正，向下为负。v转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；v顺时针转向的转角为负。.30 xywddtantantanddxyw.31zEIxMx)()(1zEIM12/32)1 ()(1wwx 1)1 (2wzEIxMw)( wx )(1.32z
9、EIxMw)( zEIxMw)( .33用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形zEIxMw)( CxxMwEIEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z.34v边界条件边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。v连续条件连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。v积分常数与边界条件、连续条件之间的关系：v积分常数2n个=2n个 边界条件+连续条件.35v积分常数的物理意义和几何意义积分常数的物理意义和几何意义v物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得v即坐标
10、原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。v几何意义：C转角v D挠度.36CxxMEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z0 x0|0 xw0|0 x0 x0|0 xw0|0 xlx 0|lxw0|lx用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.37CxxMEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z021|xaxww021|xax用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.38积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
11、AAA0 Aw0 Aw0 A Aw位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件ARALww ARAL ARALww 弹簧变形弹簧变形 .39v利用积分法求梁变形的一般步骤利用积分法求梁变形的一般步骤：v建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；v分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次；v利用边界条件，连续条件确定积分常数；v建立转角方程和挠曲线方程；v计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。.40BBw用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.41)()(lxFxM)()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DC
12、xlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(21用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.42ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(210 x0A0Aw0212CFl0613DFl221FlC361FlD EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.43lxEIFxEIFlEIlxF2222)(22xlEIFxEIFlEIxFlEIlxFw36626)(2323EIFlB22EIFlwB33用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.44用积分法求梁的弯
13、曲变形用积分法求梁的弯曲变形.45lFbFAlFaFB11xlFbM )0(1ax )(222axFxlFbM)(2lxa用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.4611xlFbwEI 12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw)(222axFxlFbwEI 222222)(22CaxFxlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIw用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.4712112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw222222)(22CaxFxlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIw01x0Awlx 0Bwaxa
14、x21|21axaxww21|21021 DD)(62221bllFbCC用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.48)3(622211lbxlFbEI122311)(6xlbxlFbwEI2222222)(3)3(6axbllbxlFbEI32222222)()(6axblxlbxlFbwEIlx 2EIlalFabB6)( ba EIblFbwl48)43(222用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形.49叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.50一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()()(2211
15、21nnnPPPPPP )()()()(221121nnnPfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：.51结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxf21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxf.52lxaaxEIFawaxxaEIFxw3603622EIFaB22alEIFawB362xlxlEIlMxw26EIMlEIMlBA63EIMlwlxEIMlwllxl16,239,3222max叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.532/2qlM 叠加法
16、求梁的变形叠加法求梁的变形.54CMCqCwwwEIMl162CMwEIql38454CqwEIqlEIMlEIql38417163845424AMAqAAMEIMl3AqEIql243EIqlEIMlEIql24532433叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.55叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.56CCBlwwtan2CBCCtanCCBlww2EIqlEIlq1288)2(44CwEIqlEIlq486)2(33CEIqllEIqlEIqlwB3847248128434EIqlCB483叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.57叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.58叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.59叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.60EIqlEIMlBC243312EIqlEIlqC486)2(3311288)2(441qlEIlqwCEIqllwBC482412EIqlBC24323EIqllwBC482323EIqlwwwwEIqlCCCCCCCC1284843213321叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形.61
