1、第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图。剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁轴线选取坐标轴线变化的情况，沿梁轴线选取坐标 x 表示梁截表示梁截面位置，则剪力和
2、弯矩是面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解析的函数，函数的解析表达式分别称为表达式分别称为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。)( )(SSxMMxFF剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解决梁的弯曲强度和刚度问形象直观，两者对于解决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础基础。第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 例例5-3 如图所示简支梁，如图所示简支梁，C截面处作用有集中力截面处作用有集中力偶偶M，
3、作梁的剪力图和弯矩图。，作梁的剪力图和弯矩图。 0)(1BiniMF0AMlFlMF A0)(1AiniMF0BMlFlMF B解：解： 1）求）求支座反力支座反力第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 AC段段 lMFxFAS)()0(ax xlMxFxMA)(CB段段 )0(ax lMFxFBS)()(lxa)()()(BxllMxlFxM)(lxa2）求）求剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程（分段分段建立方程）建立方程） x第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 3）作剪
4、力图作剪力图和和弯矩图弯矩图 注意注意：弯矩图是两斜弯矩图是两斜直线，在直线，在 C 截面处有突截面处有突变，突变量为变，突变量为 M 。)0( )(SlxlMxF)()()0 ()(lxaxllMaxxlMxMx第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 0)(1BiniMF0)(AalFlFFF6 . 0A0)(1AiniMF0BaFlFFF4 . 0B解：解： 1）求）求支座反力支座反力2）求）求剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程 C截面作用有集中力，截面作用有集中力，AC 梁段和梁段和BC梁段的剪梁段的剪力方程表达式不一样，需力方
5、程表达式不一样，需分段分段建立方程。建立方程。 例例5-4 如图所示简支梁，如图所示简支梁，C 截面处作用集中力截面处作用集中力 ，且且 ，试作梁的剪力图和弯矩图。，试作梁的剪力图和弯矩图。Fla4 . 0第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 分段分段建立方程：建立方程： AC 段段 FxF6 . 0)(S)0(axCB 段段 FFxF4 . 0)(BS)(lxaFxxFxM6 . 0)(A)0(ax )(4 . 0)()(BxlFxlFxM)(lxax第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯
6、曲时内力和应力 )(4 . 0)0(6 . 0)(SlxaFaxFxF)()(4 . 0)0(6 . 0)(lxaxlFaxFxxM3）作）作剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图 x( a )( b )( c )第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 例例5-5 如图所示，简支梁如图所示，简支梁AB受载荷集度为受载荷集度为 q 的的均布载荷作用，试作梁均布载荷作用，试作梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 1）求）求支座反力支座反力解：解： qlFF21BA2）求）求剪力方程剪力方程和和 弯矩方程弯矩方程 )0(21)(SlxqxqlxF
7、)0(2121)(2lxqxqlxxMx第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 3）作）作剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图 剪力图：是一剪力图：是一斜直线斜直线qlF21)0(SqllF21)(S当当 时时 0 x当当 时时 lx )0(21)(SlxqxqlxF剪力图剪力图如图所示。如图所示。 第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 确定抛物线的确定抛物线的极值点极值点 qxqlxxM21d)(d2max81qlM弯矩图弯矩图如图所示。如图所示。 弯矩图弯矩图：是一：是一抛物线抛物
8、线0) 0(M0)(lM当当 时时 0 x当当 时时 lx0lx21得得)0(2121)(2lxqxqlxxM第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系剪力、弯矩与载荷剪力、弯矩与载荷集度的微分关系集度的微分关系)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 的特点和规律的特点和规律 1. q = 0的梁段：的梁段： ， 为为常数，常数，剪力剪力图图为为水平直线水平直线；而；而 为常数，则为常数，则
9、是是x的一次函数，即的一次函数，即弯矩图弯矩图为为斜直线斜直线，斜率斜率由由 值确定。值确定。 0d/dSxFQFSFxxMd/ )(d)(xMSF第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 当梁上当梁上仅有仅有集中力集中力作用时，作用时，剪力图剪力图在集中力作用在集中力作用处有处有突变突变，突变量突变量是是集中力的大小集中力的大小；弯矩图弯矩图在集在集中力作用处产生中力作用处产生尖角尖角。当梁上当梁上仅有仅有集中力偶集中力偶作用时，作用时，剪力图剪力图在集中力偶在集中力偶作用处作用处不变不变；弯矩图弯矩图在集中力偶作用处有在集中力偶作用处
10、有突变突变，突变量是集中力偶的大小。突变量是集中力偶的大小。剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 的特点和规律的特点和规律 1. q = 0的梁段：的梁段： ， 为为常数，常数，剪力剪力图图为为水平直线水平直线；而；而 为常数，则为常数，则 是是x的一次函数，即的一次函数，即弯矩图弯矩图为为斜直线斜直线，斜率斜率由由 值确定。值确定。 0d/dSxFQFSFxxMd/ )(d)(xMSF第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 2. q = 常数常数的梁段：的梁段： ， 为为 x 的一次的一次函数，函数，剪力图剪力图为为斜直线斜直线，斜率斜率由由
11、 值确定；而值确定；而 是是x的二次函数，则的二次函数，则弯矩图弯矩图为为二次抛物线二次抛物线。 qxFd/dSSF)(xMq当分布载荷当分布载荷向上向上 时，时， ，弯矩图为弯矩图为凹凹曲线。此时，因为曲线。此时，因为 ， 当当 时，弯矩图存在极时，弯矩图存在极小小值。值。0d/(x)d22qxMSd/ )(dFxxM0SF（即（即 q 0）当分布载荷当分布载荷向下向下 时，时， ，弯矩图为弯矩图为凸凸曲线。此时，因为曲线。此时，因为 ， 当当 时，弯矩图存在极时，弯矩图存在极大大值。值。0d/(x)d22qxMSd/ )(dFxxM0SF（即（即 q 0）剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 的特
12、点和规律的特点和规律第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 表表 5-1 各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图0q常数常数q0SF0SF0SF0SF0q0q0q0q第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 MFC不变不变CF突变突变CM突变突变C转折转折第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 解：解： 1）计算支座反力）计算支座反力 0 xFFFBAFFSA 例例5-6 简支梁在横截面简支梁在
13、横截面 C 和和 D 处各作用一集中处各作用一集中载荷载荷 。如图所示，试利用剪力、弯矩与载荷集度。如图所示，试利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。 F由由对称性对称性可知可知2）用截面法求控制截）用截面法求控制截 面处的剪力和弯矩面处的剪力和弯矩 A 右侧截面右侧截面 0AM 3xFFSCC 左侧截面左侧截面 FM3CC 右侧截面右侧截面 3x0SCFFM3C第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 由于由于 AC、CD、DB 三段梁上三段梁上无分布载荷无分布载荷作用，作用，故
14、各段梁的故各段梁的剪力图剪力图均为均为水平直线水平直线。在。在 CD 段，由于剪段，由于剪力恒为零，故由力恒为零，故由M、FQ 与与 q 之间的之间的微分关系微分关系知，知，该段的弯矩该段的弯矩 M 为常数，为常数，即对应即对应弯矩图弯矩图应为应为水平水平直线直线；其他两段的弯矩；其他两段的弯矩图则均为图则均为斜直线斜直线。 7x0SDFD 左侧截面左侧截面 FM3DD 右侧截面右侧截面 7xFFSDFM3D10 xFFSBB 左侧截面左侧截面 0BM3）判断判断剪力图和弯矩图形状剪力图和弯矩图形状 第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应
15、力 4）作剪力图和弯矩图）作剪力图和弯矩图 剪力图剪力图 弯矩弯矩图图 AC、CD、DB 各段各段梁的梁的剪力图剪力图均为均为水平水平直线直线。在。在 CD 段，弯段，弯矩矩 M 为常数，对应为常数，对应弯弯矩图矩图应为应为水平直线水平直线；其他两段的弯矩图则其他两段的弯矩图则均为均为斜直线斜直线。 3）判断判断剪力图和弯矩剪力图和弯矩 图形状图形状 第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 例例5-7 如图所示悬臂梁，自由端如图所示悬臂梁，自由端A作用有集中力作用有集中力F = 10kN，CB段作用有载荷集度为段作用有载荷集度为 q =
16、 2kN/m的均布的均布载荷，试作梁的剪力图和弯矩图。载荷，试作梁的剪力图和弯矩图。 AC段段 kN10)(SxF)m20 (xxxMkN10)()m20( x解：解： 1）求剪力方程和弯）求剪力方程和弯矩矩 方程（分段建立）方程（分段建立） CB段段 )m2(mkN2kN10)(SxxF)m5m2(x2)m2(mkN221kN10)(xxxM)m5m2(xx第第 3 节节 剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图 第五章第五章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力 mkN1 .36 mkN) 25 . 3 (215 . 310) 5 . 3 (2M弯矩图如图弯矩图如图c)所示。所示。 2）作剪力图和弯矩图）作剪力图和弯矩图 剪力图中剪力图中AC段的为一段的为一水平线，水平线，CB段是斜直线，段是斜直线，如图如图b)所示；弯矩图中所示；弯矩图中AC段是一斜直线，段是一斜直线，CB段是抛段是抛物线，物线，CB段的段的中点坐标中点坐标为为m 5 . 321CBACx36.1KN mx
