1、2022年陕西省高考数学质检试卷（理科）（二模）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合，则AB（）Ax|4x2Bx|4x2且x3Cx|3x4Dx|3x42（5分）已知复数z满足（1+2i）z510i（）AB2CD3（5分）命题p：x1，2，2x3，命题q：x01，2，log2x01，则下列命题为真命题的是（）ApqB（p）（q）CpqDp（q）4（5分）若（1+mx2）（1+x）4的展开式中x3的系数为12，则实数m（）A1B2C3D45（5分）已知f（x）是R上的奇函数，当x0时，f（x）3x，则f（ln2）（）A
2、e8B8C6Dln26（5分）把函数f（x）cos2xsin2x的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象（x）在0，a上是减函数（）ABCD7（5分）如图，在直三棱柱ABDA1B1D1中，ABADAA1，ABD45，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A30B45C60D908（5分）高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（）ABCD9（5分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C60，则AB边上的中线长为（）A49B7CD10（5分）已知圆C：（x1）2+（y1）24，P为直线l：2x+y+20上的动
3、点，过点P作圆C的切线PA，当PAC的面积最小时，PAC的外接圆的方程为（）ABCD11（5分）已知抛物线C：y22x，过焦点的直线l与C交于A，B两点，则l的方程为（）Ax2y+10Bx2y10C2xy+10D2xy1012（5分）已知函数f（x）|x+1|+|x1|+2cosx，若函数g（x）（x）a恰有三个零点时，m+na（其中m，n为正实数），则（）A9B7CD4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量与的夹角为60，且，则 14（5分）已知为锐角，若，则 15（5分）已知F1，F2是双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，|PF1|3|PF2|，且，则C的离心率
4、为 16（5分）在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，PDCAPD90，则以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面PBC相切的球的体积为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且a11，2a1+a2a3，数列bn满足（）证明：数列bn为等差数列；（）记Tn为数列的前n项和，证明：18（12分）随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，越来越受到人们喜欢某新能源汽车销售企业在2017年至2021
5、年的销售量y（单位：万辆）数据如表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代号x12345销售量y（万辆）1718202223（）根据数据资料，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（）求出y关于x的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？附注：参考数据：（xi）（yi）16，（xi）210，（yi）226，8.06参考公式：相关系数r，线性回归方程中，其中为样本平均值19（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BD和BB1的中点，P为棱C1D1上的动点（）是否存在点P使PE平面EFC？若存在，求出满
6、足条件时C1P的长度并证明；若不存在，请说明理由；（）当C1P为何值时，平面BCC1B1与平面PEF所成锐二面角的正弦值最小20（12分）已知函数f（x）exax2x1（）当a1时，讨论f（x）的单调性；（）当x0时，f（x）恒成立，求实数a的取值范围21（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），且F1到直线bxcy0的距离为，若直线l与C有且只有一个公共点P，且点P不在x轴上1作l的垂线，垂足为Q，（）求椭圆C的方程；（）求QF1F2面积的最大值（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
7、题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数）以O为极点，曲线C的极坐标方程为2+52sin2360（）求l的极坐标方程和C的直角坐标方程；（）若l与C交于A，B两点，求的值选修4-5：不等式选讲（10分）23设x，y，z为正实数，且x+y+z4（）证明：；（）证明：2022年陕西省高考数学质检试卷（理科）（二模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合，则AB（）Ax|4x2Bx|4
8、x2且x3Cx|3x4Dx|3x4【解答】解：集合，Ax|2x5，Bx|3x2，ABx|7x4故选：D2（5分）已知复数z满足（1+2i）z510i（）AB2CD【解答】解：设za+bi，由（1+2i）z710i，则（1+2i）（a+bi）2a（5b+10）i，即a2b+（2a+b）i5a（5b+10）i，则，解得，则|z|，故选：C3（5分）命题p：x1，2，2x3，命题q：x01，2，log2x01，则下列命题为真命题的是（）ApqB（p）（q）CpqDp（q）【解答】解：当x1时，2x33，命题p：x1，5x3为假命题，当x2时，log7x1，命题q：x05，22x81为真命题，则pq是
9、真命题，其余为假命题，故选：C4（5分）若（1+mx2）（1+x）4的展开式中x3的系数为12，则实数m（）A1B2C3D4【解答】解：（1+mx2）（2+x）4的展开式中含x3的项为5+mx3，因为（1+mx7）（1+x）4的展开式中x4的系数为12，所以4+4m12，解得m7，故选：B5（5分）已知f（x）是R上的奇函数，当x0时，f（x）3x，则f（ln2）（）Ae8B8C6Dln2【解答】解：因为f（x）是R上的奇函数，当x0时3x，则f（ln3）f（ln2）e3ln38故选：B6（5分）把函数f（x）cos2xsin2x的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象（x）在0，a上是
10、减函数（）ABCD【解答】解：把函数f（x）cos2xsin2xcos3x的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）cos（2x+，若g（x）在8，a上是减函数，2a+，则实数a的最大值为，故选：A7（5分）如图，在直三棱柱ABDA1B1D1中，ABADAA1，ABD45，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A30B45C60D90【解答】解：取BD中点E，连接ED1，AE，直三棱柱ABDA1B7D1中，ABADAA1，ABD45，P为B7D1的中点，PD1BE，PD4BE，四边形BED1P是平行四边形，PBD1B，AD7E是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），令ABAD
11、AA17，则ADB45，AE，AD14，D1E，cosAD1E，AD5E（0，）1E，直线PB与AD1所成的角为故选：A8（5分）高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（）ABCD【解答】解：根据题意，六名同学任意安排出场顺序66720种情况，若甲排在后三位，且丙，分7种情况讨论：若甲排在第四位，有3AA，若甲排在第五位，有6AA，若甲排在第六位，有4AA，故有3AA+8AAA120种排法，则甲排在后三位，且丙，故选：B9（5分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C60，则AB边上的中线长为（）A49B7CD【解答】解：C
12、60，a3，absinC，b5，设AB边上的中线为CD，（+），（+2（25+9+5，|故选：D10（5分）已知圆C：（x1）2+（y1）24，P为直线l：2x+y+20上的动点，过点P作圆C的切线PA，当PAC的面积最小时，PAC的外接圆的方程为（）ABCD【解答】解：由题意知PAAC，半径|AC|2，1）ACP|PA|AC|PA|，又|PA|2+|AC|2|PC|2，故|PC|最小时，|PA|最小，|PC|最小值为点C到直线的距离，此时PCl，此时直线PC的方程为y1（x1），由，解得，0），因为PAC是直角三角形，所以斜边PC的中点坐标为（5，），而|PC|，所以PAC的外接圆的圆心为（
13、0，），PAC的外接圆的方程为故选：C11（5分）已知抛物线C：y22x，过焦点的直线l与C交于A，B两点，则l的方程为（）Ax2y+10Bx2y10C2xy+10D2xy10【解答】解：当直线l斜率不存在时，显然不成立，当直线l斜率存在时，设l的方程为yk（x）3，y1），B（x2，y7），联立方程组，消x化简得ky26yk0，4+5k20，y5+y2，y7y21，代入C可得x3+x2+1，x1x7，又以AB为直径的圆与C的准线切于点可知，0，且1+，y1），（x2+，y2），（x1+）（x2+）+（y1）（y2）0，即+，解得k2，l的方程为y3x1故选：D12（5分）已知函数f（x）|x
14、+1|+|x1|+2cosx，若函数g（x）（x）a恰有三个零点时，m+na（其中m，n为正实数），则（）A9B7CD4【解答】解：f（x）|x+1|+|x1|+6cosx，当x1时，f（x）在（，2）上单调递减，f（x）f（1）2+2cos（1）2+7cos1（3，6），当1x1时，f（x）5+2cosx为偶函数，0）上单调递增，8上单调递减，f（x）f（1），f（0），4（3，当x4时，f（x）22sinx7恒成立，+）上单调递增，f（x）f（1）2+2cos2（3，4），由此作出函数f（x）的草图如下所示，由函数g（x）f（x）a恰有三个零点可得a5，即m+n4，所以（+）（m+1+n+
15、2）2+9，即的最小值为2，n时，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量与的夹角为60，且，则1【解答】解：依题意，则有，由两边平方得：，即，解得：，所以故答案为：114（5分）已知为锐角，若，则【解答】解：因为为锐角，且，则cos，所以sin，则cos（），故答案为：15（5分）已知F1，F2是双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，|PF1|3|PF2|，且，则C的离心率为 【解答】解：由题意知，点P在右支上1|PF2|4a，又|PF1|3|PF8|，所以|PF1|3a，|PF6|a，又|F1F2|6c，则在PF1F2中，cosPF5F2，整理得c22ac+
16、2a24，即e22e+20）20，解得e，故答案为：16（5分）在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，PDCAPD90，则以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面PBC相切的球的体积为 【解答】解：将四棱锥PABCD放入如下图所示的正四棱柱中，可知其外接球的球心为AC与BD的交点O，因此以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面PBC相切，其半径为点O到平面PBC的距离，由题意可知，此正四棱柱的高，此高为1，所以由VOBCPVPBOC，即，解得，所以此球的体积为，故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题
17、，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且a11，2a1+a2a3，数列bn满足（）证明：数列bn为等差数列；（）记Tn为数列的前n项和，证明：【解答】证明：（）设等比数列an的公比为q（q0），因为a16，2a1+a3a3，所以2a6+a1qa1q2，解得q2或1（舍负），所以an3n1，Sn2n1，因为，即42n2（2n1+8）22n+5，所以bn2n+1，故数列bn为等差数列（）由（）知，（），所以Tn（+（），因为nN*，所以0，即0，所以，即18（12分）随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，越来越受到人们
18、喜欢某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量y（单位：万辆）数据如表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代号x12345销售量y（万辆）1718202223（）根据数据资料，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（）求出y关于x的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？附注：参考数据：（xi）（yi）16，（xi）210，（yi）226，8.06参考公式：相关系数r，线性回归方程中，其中为样本平均值【解答】（I）解：由参考数据及公式得相关系数，显然|r|非常接近1，故y与x有很好的相关关系；（II）解：由表中的数据
19、得：，设y关于x的线性回归方程为，则，而，所以所求的回归直线方程为，由2017年为第6年，则2022年为第6年，由此预计2022年新能漄汽车销量约为24.8万辆19（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BD和BB1的中点，P为棱C1D1上的动点（）是否存在点P使PE平面EFC？若存在，求出满足条件时C1P的长度并证明；若不存在，请说明理由；（）当C1P为何值时，平面BCC1B1与平面PEF所成锐二面角的正弦值最小【解答】解：建立如图的空间右手直角坐标系，根据题意设点P（0，t，2），则E（2，1，F（2，8，C（0，2，（4，2），1，2），0，1）（x，y，则
20、，令x8，y1，1，3），（）若存在满足题意得点P，则，即（1，2）（5，1，t0，即P与D2重合，此时C1P2；（）易知平面BCC7B1的一个法向量为（0，4，设平面PEF的法向量为（x0，y0，z5），又（2，1），4t，令y51，则，设平面BCC1B5与平面PEF所成锐二面角的平面角为，则cos，0t6，当t时，（cos）max，此时C1P5，（sin）min20（12分）已知函数f（x）exax2x1（）当a1时，讨论f（x）的单调性；（）当x0时，f（x）恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（I）当a1时，f（x）ex+x2x6，则f（x）ex+2x1在R上单调递增，又f（0）3，
21、故当x0时，f（x）0，当x5时，函数f（x）单调递减，所以f（x）在（0，+）上单调递增，0）上单调递减；（II）当x5时，不等式f（x），当x6时，由f（x）恒成立，令g（x），x0，则g（x），令m（x），则m（x）exx5，令h（x）exx1，x0x30，所以h（x）在（0，+）上单调递增，所以m（x）2，m（x）在（0，m（x）m（0）0，所以当5x2时，g（x）0，当x8时，g（x）单调递减，所以g（x）maxg（2），所以a，故a的取值范围为a|a21（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），且F1到直线bxcy0的
22、距离为，若直线l与C有且只有一个公共点P，且点P不在x轴上1作l的垂线，垂足为Q，（）求椭圆C的方程；（）求QF1F2面积的最大值【解答】解：（）因为椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，所以6ab，由F6到直线bxcy0的距离为得：，结合a2b2+c2可得：a2，b，所以椭圆C的方程为（）根据题意可知：直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为ykx+m，联立直线l与椭圆C的方程并消去y可得：（4+4k2）x8+8kmx+4m5120，因为直线l与椭圆C只有一个交点，所以（8km）54（3+6k2）（4m512）0，整理得m25+4k2又因为F4Q与直线l垂直，故当直线F1Q的斜率不存在时，QF1
23、F3面积为：S|F7F2|yQ|；当直线F2Q的斜率存在时，其斜率为，又因为该直线过点F1（2，0），故直线F1Q的方程为y（x+1），联立ykx+m可得：x，y，此时有x2+y24，故点Q的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，所以|yQ|2，所以QF5F2面积为S|F1F2|yQ|5；综上所述，QF1F2面积为8（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数）以O为极点，曲线C的极坐标方程为2+5
24、2sin2360（）求l的极坐标方程和C的直角坐标方程；（）若l与C交于A，B两点，求的值【解答】解：（）直线l的参数方程为（t是参数）；根据（R）曲线C的极坐标方程为2+55sin2360，根据；（）由（）得：，整理得516，所以14；44；故选修4-5：不等式选讲（10分）23设x，y，z为正实数，且x+y+z4（）证明：；（）证明：【解答】（）证明：因为x、y、z为正实数，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，等号成立，故（）证明：由柯西不等式可得（x6）+（y2）+（z3）5（x1）2+（y8）2+（z3）8（12+82+13），所以，当且仅当x7y2z3时，即当，时，故第20页（共20页）
