1、2022年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设全集U0，1，2，3，4，5，A1，B2，4UA）（UB）（）A0，5B1，2，3，4C0，1，2，3，4，5D0，1，2，52（5分）复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则（）A2+iB2iC2+iD2i3（5分）已知，均为单位向量，若|，则与的夹角为（）ABCD4（5分）若（0，），sin21+cos2，则cos（）ABCD15（5分）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1、F2，点M在y轴上，MF1F2为正三角
2、形，若线段MF2的中点恰好在双曲线的渐近线上，则E的离心率为（）ABC2D6（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图（）ABCD7（5分）在ABC中，AB3，AC2，则ACD的面积为（）ABCD8（5分）3月5日学雷锋活动日，某班安排5名同学（其中2人具有文艺特长）到敬老院参与文艺表演、疫情防控宣传、卫生大扫除、交流谈心四项活动，每人安排1个活动若文艺表演只能安排具有文艺特长的同学，则不同的安排方案有（）A240种B78种C72种D6种9（5分）已知椭圆M：+1（a），过焦点F的直线l与M交于A，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若|AF|2|BF|（）ABCD1
3、0（5分）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部），分别记五块标语牌为P1Q1，P2Q2，P5Q5，且BQ116米为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则BQ5（）A40.5米B54米C81米D121.5米11（5分）函数f（x）xex2xlnx的零点个数为（）A3B2C1D012（5分）已知函数f（x）sinx+cosx（0）在区间，下面三个结论：的取值范围为（0，1；f（x）在区间可能有1个零点；存在，使其中正确结论的个数是（）A0个B1个C2个D3个二、填空题：本题共4小题，每
4、小题5分，共20分13（5分）写出一个定义域为（0，+）且值域为R的函数f（x） 14（5分）四面体ABCD中，AD平面ABC，AB1，AD3，BAC90若A，B，C，则该球面面积等于 15（5分）长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，选取甲、乙两地实验田进行种植在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，整理测量数据得到如下22列联表（单位：份），其中a40且aN*注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一根据现行国家标准规定，马克隆
5、值可分为A，B，A级品质最好，B级为标准级A级或B级C级合计甲地a50a50乙地80aa3050合计8020100当aa0时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则a0的最小值为 附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816（5分）如图，正方形纸片ABCD的边长为5cm，在纸片上作正方形EFGH，再分别沿EFGH的四边将剩余部分折起若A，B，C，D四点恰好能重合于点P，则PEFGH体积的最大值为 cm3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题
6、，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知数列an满足，（1）设，证明：bn是等差数列；（2）设数列的前n项和为Sn，求Sn18（12分）如图1，在ABA1中，AA1AB，点D1，D是A1A的三等分点，点C1，C是A1B的三等分点分别沿D1C1和DC将A1DC和A1D1C1翻折，使平面A1C1D1平面ABCD，且DD1平面ABCD，得到几何体ABCDA1C1D1，作DECC1于E，连接AE，A1D，如图2（1）证明：图2中，AECC1；（2）在图2中，若，求直线DA1与平面ADE所成角的正弦值19（12分）生物多样性公约缔约方大会第十五次会议（COP15）第二阶段将于202
7、2年4月在昆明召开，组委会为大会招募志愿者，测试合格者录用为志愿者现有备选题6道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出4道题进行测试，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为（1）分别求甲、乙两人录用为志愿者的概率；（2）记甲、乙两人中录用为志愿者的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）20（12分）已知抛物线E：x22py（p0）的焦点为F，点在E上（1）求|TF|；（2）O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线y2上，记OAB和PMN的面积分别为S1和S2试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值，说明理由21（12分）已知函数，a0（1）讨论f（x）的单调性；（2）
8、当x0，a0时，exf（x）bx，证明：（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。选修44：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的方程为x2+y2r2（r0），曲线C2的参数方程为（为参数），已知圆C1与曲线C2相切，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求r和曲线C2的极坐标方程；（2）已知在极坐标系中，圆C1与极轴的交点为D，射线（0）与曲线C1、C2分别相交于点A、B（异于极点），求ABD面积的最大值选修45：不等式选讲（10分）23已知函数f（
9、x）|x1|x+1|（1）解不等式f（x）1；（2）若|xm|f（x），求实数m的取值范围2022年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设全集U0，1，2，3，4，5，A1，B2，4UA）（UB）（）A0，5B1，2，3，4C0，1，2，3，4，5D0，1，2，5【解答】解：全集U0，1，8，3，4，8，3，4，UA2，2，4，8，UB0，1，3，5，UAUB0，4，故选：A2（5分）复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则（）A2+iB2iC2
10、+iD2i【解答】解：复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），z7+2i，故选：B3（5分）已知，均为单位向量，若|，则与的夹角为（）ABCD【解答】解：因为|，即，设与的夹角为，则，代入，得，故选：D4（5分）若（0，），sin21+cos2，则cos（）ABCD1【解答】解：因为sin21+cos6，所以2sincos2cos5，又（0，），可得cos8，所以sincos，即tan1，则coscos故选：B5（5分）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1、F2，点M在y轴上，MF1F2为正三角形，若线段MF2的中点恰好在双曲线的渐近线上，则E的离心率为（）ABC2D【解答】解：不妨设M在
11、y轴的正半轴，设M（0，t0，由于MF5F2为正三角形，所以，故，设MF2的中点为N由于F4（c，0），N在渐近线上，所以故选：C6（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图（）ABCD【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1和2，高为4的圆台；如图所示：故故选：A7（5分）在ABC中，AB3，AC2，则ACD的面积为（）ABCD【解答】解：因为，且BAC（3，所以sinBAC，所以ABC的面积SABACsinBAC2，由余弦定理知，BC8AB2+AC23ABACcosBAC9+44329，所以BC3，因为BD1，所以CDBCBD2，所
12、以ACD的面积SS故选：D8（5分）3月5日学雷锋活动日，某班安排5名同学（其中2人具有文艺特长）到敬老院参与文艺表演、疫情防控宣传、卫生大扫除、交流谈心四项活动，每人安排1个活动若文艺表演只能安排具有文艺特长的同学，则不同的安排方案有（）A240种B78种C72种D6种【解答】解：分两种情况，（1）若文艺表演有2人种，（2）若文艺表演有1人，则其他某项活动有2人，共种，综上，不同的安排方案有7+7278种，故选：B9（5分）已知椭圆M：+1（a），过焦点F的直线l与M交于A，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若|AF|2|BF|（）ABCD【解答】解：由题意可设F（c，0），因为坐标原点O在以
13、AF为直径的圆上，所以OAOF，可得点A为椭圆M短轴的端点，设A（0，），因为|AF|2|BF|，所以B（，），代入椭圆M方程中可得+423c3，又c2a24，所以a23（a82），解得a25，所以椭圆M的方程为故选：A10（5分）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部），分别记五块标语牌为P1Q1，P2Q2，P5Q5，且BQ116米为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则BQ5（）A40.5米B54米C81米D121.5米【解答】解：依题意，所以BQ516+8+12+18+2781
14、米，故选：C11（5分）函数f（x）xex2xlnx的零点个数为（）A3B2C1D0【解答】解：由已知得f（x）elnx+x2（lnx+x），令tlnx+x，由x0得tR，故原函数零点的个数即为函数g（t）et7t，tR的零点个数，g（t）et21，由g（t）2得t2，g（t）0，g（t）2，故g（t）在（，2）上单调递减，+）上单调递增，故g（t）ming（2）18，而，g（4）e243，所以g（t）在（，2）和（2，故g（t）有两个零点故选：B12（5分）已知函数f（x）sinx+cosx（0）在区间，下面三个结论：的取值范围为（0，1；f（x）在区间可能有1个零点；存在，使其中正确结论的
15、个数是（）A0个B1个C2个D3个【解答】解：因为f（x）sinx+cosxsin（单调递增，所以，解得12k4.54k+1，kZ，因为0，12k8.58k+6，所以k0或k1，所以21或，错误；当01时，f（x）5，当时，此时f（x）0有一个零点，综上f（x）4有一个零点，正确；存在4时，T成立但是不在所求范围内故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）写出一个定义域为（0，+）且值域为R的函数f（x）lnx【解答】解：f（x）lnx的定义域为（0，+），f（x）lnx符合题意故答案为：lnx14（5分）四面体ABCD中，AD平面ABC，AB1，AD3，BAC90若A
16、，B，C，则该球面面积等于 14【解答】解：四面体ABCD中，AD平面ABC，B，C，D四点都在同一个球面上，如图所示：设点E为BC的中点，由于AB1，AD3，点O为外接球的球心，故，OE，所以，故故答案为：1415（5分）长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，选取甲、乙两地实验田进行种植在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，整理测量数据得到如下22列联表（单位：份），其中a40且aN*注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一根
17、据现行国家标准规定，马克隆值可分为A，B，A级品质最好，B级为标准级A级或B级C级合计甲地a50a50乙地80aa3050合计8020100当aa0时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则a0的最小值为 46附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：根据列联表中数据，计算K2，令6.635，或a405；因为a40且aN*，且2.73，即a2的最小值为46故答案为：4616（5分）如图，正方形纸片ABCD的边长为5cm，在纸片上作正方形EFGH，再分别沿EFGH的四边将剩余部分折起若A，B，C，D四点恰好能重合于点P，则P
18、EFGH体积的最大值为 cm3【解答】解：设正方形ABCD的中心为点O，则点O也为正方形EFGH的中心，连接HF，连接AC分别交EH、N，易知M、FG的中点，设正方形EFGH的边长为2x，O为AC的中点，则，O、M分别为HF，则，则，由题意可得，可得，如下图所示，在正四棱锥PEFGH中，OM平面EFGH，因为，OMx，则，令，其中，则，列表如下：xf（x）+6f（x）增极大值减所以，因此，PEFGH体积的最大值为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
19、。17（12分）已知数列an满足，（1）设，证明：bn是等差数列；（2）设数列的前n项和为Sn，求Sn【解答】（1）证明：依题意，由，可得an+17，则bn+8+1，bn+1bn+1，数列bn是以3为公差的等差数列（2）解：由（1），可知，故bn3+（n5）1n+2，即，18（12分）如图1，在ABA1中，AA1AB，点D1，D是A1A的三等分点，点C1，C是A1B的三等分点分别沿D1C1和DC将A1DC和A1D1C1翻折，使平面A1C1D1平面ABCD，且DD1平面ABCD，得到几何体ABCDA1C1D1，作DECC1于E，连接AE，A1D，如图2（1）证明：图2中，AECC1；（2）在图2
20、中，若，求直线DA1与平面ADE所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为DD1平面ABCD，AD平面ABCD1AD，在翻折前，点D8A，A1B的三等分点，所以DCAB，在四边形ABCD中，ADAB，因为DCDD1D，所以AD平面D8C1CD，又CC1平面CDD4C1，所以ADCC1，又因为DECC8，DEADD，所以CC1平面ADE，由AE平面ADE，所以AECC1（2）解：以D为原点，DA，DD7所在直线分别为x，y，z轴如图，由，不妨设AB6，则A1（2，6，2），C1（6，1，2），6，0），6，2），又由（1）知，平面ADE的一个法向量为，5，设直线DA1与平面ADE所成的角为，则，所以
21、，直线DA1与平面ADE所成角的正弦值为19（12分）生物多样性公约缔约方大会第十五次会议（COP15）第二阶段将于2022年4月在昆明召开，组委会为大会招募志愿者，测试合格者录用为志愿者现有备选题6道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出4道题进行测试，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为（1）分别求甲、乙两人录用为志愿者的概率；（2）记甲、乙两人中录用为志愿者的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）【解答】解：（1）设事件A为甲测试合格录用为志愿者，事件B为乙测试合格录用为志愿者由题，得，（2）甲、乙两人中成为志愿者的人数X的可能取值为0，1，6，故X的分布列为：X013P所
22、以20（12分）已知抛物线E：x22py（p0）的焦点为F，点在E上（1）求|TF|；（2）O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线y2上，记OAB和PMN的面积分别为S1和S2试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值，说明理由【解答】解：（1）因为点在E上，解得p2（2）抛物线方程为x24y，故，所以、B的坐标分别为、，则PA、PB的方程分别为：，所以P、M、N的坐标分别为：，P在直线y2上，则，x1x24，设AB的直线方程为ykx+b消去y得：x64kx4b4，由韦达定理可知：x1x22b8，所以b2，6），所以，因此，故为定值221（12分）已知函数，a0（1）讨论f（x）
23、的单调性；（2）当x0，a0时，exf（x）bx，证明：【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，当a0时，当x（，+）时，f（x）单调递增，当x（7，2）时，f（x）单调递减，当a0时，当x（，+）时，f（x）单调递减，当x（7，2）时，f（x）单调递增，综上，当a0时，6）递增，2）递减，+）单调递增，当a0时，f（x）在（，在（4，在（2；（2）证明：由exf（x）bx，得exax2bx4，因为x0，令，则，设，则，所以h（x）在（8，又因为h（1）a0，故当x（0，x3）时，g（x）0，当x（x0，+）时，g（x）8，所以，所以，所以，设，则，当时，F（x）0，当时，F（x）0，所以，所
24、以（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。选修44：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的方程为x2+y2r2（r0），曲线C2的参数方程为（为参数），已知圆C1与曲线C2相切，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求r和曲线C2的极坐标方程；（2）已知在极坐标系中，圆C1与极轴的交点为D，射线（0）与曲线C1、C2分别相交于点A、B（异于极点），求ABD面积的最大值【解答】解：（1）由曲线C2参数方程为（为参数）得，因为圆C1与曲线C2相切，所以r
25、3，因此，曲线C2极坐标方程为7sin（2）因为射线（0，0）与圆C7、曲线C2分别相交于点A、B（异于极点）A，）、B（B，），由题意得B3sin，A5，所以|AB|AB|33sin因为点D到直线AB的距离为d|OD|sin2sin，所以，当且仅当时等号成立选修45：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|x1|x+1|（1）解不等式f（x）1；（2）若|xm|f（x），求实数m的取值范围【解答】解：（1）由题意得由f（x）1可得或或，解得或x1，所以不等式的解集为（2）如图所示，函数y|xm|图象是顶点为（m，0），其左支yx+m过点（1，m5，当m1时，函数y|xm|图象在函数yf（x）的图象上方，当m1时，函数y|xm|图象有部分在函数yf（x）的图象下方，综上所述，实数m的取值范围为4第20页（共20页）
