1、2022年四川省德阳市高考数学质检试卷（理科）（二模）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x2|1，By|yx22，则（RA）B（）A2，+）B2，13，+）C2，1）（3，+）D2，1（3，+）2（5分）若（x24）+（x2+3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为（）A2B2C2或2D以上都不对3（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z3x+y的最小值为（）A12B11C8D14（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且|PF1|3，则|PF2|（）A1或5B1
2、C4D55（5分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b2asinB（）A（0，B（1，C（，）D（，）6（5分）下列结论错误的是（）A“x2”是“x24x+40”的充要条件B若mR，则方程x2+xm0一定有实根是假命题C在ABC中，若“AB”则“sinAsinB”D命题p：“x0R，x022x0+40”，则p：“xR，x22x+40”7（5分）如图，平面内有三个向量，其中与，与的夹角为30，且，若，则+（）A1B2C3D48（5分）已知函数f（x）+a（sinx+x）+2（x）满足g（x）+g（x），若函数yf（x）与yg（x）1，y1），（x2，y2），（x6，y6
3、），则（）A24B12C6D09（5分）已知P，A，B，C是球O面上的四个点，PA平面ABC，BAC90，则该球的表面积为（）A28B45C35D2510（5分）已知函数f（x）10sinx+在x0处的切线与直线nxy0平行2）（1x）n展开式中x4的系数为（）A120B135C140D10011（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是（）ABC2D312（5分）设a2022ln2020，b2021ln2021，c2020ln2022，则（）AacbBcbaCbacDabc二、填空题：共4小题，每小题
4、5分，共20分.将答案填在答题卡上.13（5分）在ABC中，若C，则sinAsinB的最大值是 14（5分）若函数f（x）xln（x+）为偶函数 15（5分）已知0，函数f（x）cos（x）在（，），则的取值范围是 16（5分）如图、矩形ABCD中，AB2AD2，E为AB的中点1DE，若M为线段A1C的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 翻折到某个位置，使得DA1EC；翻折到某个位置，使得AC平面A1DE；四棱锥A1DCBE体积的最大值为；点M在某个球面上运动三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有
5、限责任公司联合发布致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量x（千瓦时）时，每月用电量超过标准电量x（千瓦时）时，超过部分按议价计费随机抽取了100户居民月均用电量情况，将数据按照0，50），100），400，制成了频率分布直方图（如图所示）（1）求直方图中m的值；（2）如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的值；（3）在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400（千瓦时），求X的分布列18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a2+a512，
6、S416（1）求an的通项公式；（2）数列bn满足bn为数列bn的前n项和，是否存在正整数m，k（1mk），使得Tk3Tm2？若存在，求出m，k的值，请说明理由19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，已知ABCD，ABAD1，DCDP2（1）如图，点M，N分别为棱PA，点T为靠近P的四等分点，求证：B，N，T（2）求平面MNT与平面ABN所成锐二面角的余弦值20（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线C2：y24x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|（）求C1的方程；（）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A，B
7、两点，若，求直线l的方程21（12分）已知函数f（x）2ae2xxex（1）若a0，求f（x）的单调区间；（2）若对于任意的xR，f（x）+恒成立，求a的最小值选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C上的点到直线的距离的最大值；（2）设P，Q是曲线C上的两点，若OPOQ，求选修4-5：不等式选讲23已的函数f（x）2|x|x3|（1）求函数f（x）2的解集；（2）记函数f（x）的最小值为m，若实数a，b2+2b2+c22022年四川省德阳市高考数学质检试卷（理科）（二模）参考答案与试
8、题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x2|1，By|yx22，则（RA）B（）A2，+）B2，13，+）C2，1）（3，+）D2，1（3，+）【解答】解：|x2|1，3x3，RAx|x1或x6，yx228，By|y2，（RA）B2，6）（3，故选：C2（5分）若（x24）+（x2+3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为（）A2B2C2或2D以上都不对【解答】解：因为（x24）+（x6+3x+2）i是纯虚数，所以x740且x2+3x+23，解得x2故选：B3（5分）已知变量x，y满足
9、约束条件，则z3x+y的最小值为（）A12B11C8D1【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（2，B（，），6）设zF（x，y）3x+y，当l经过点A（2，5）时z最小值F（2，2）4故选：C4（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且|PF1|3，则|PF2|（）A1或5B1C4D5【解答】解：由双曲线，得a1，c，则c+a1+，ca，|PF1|32+，P只能在左支上，由双曲线的定义得|PF2|PF7|2a2，即|PF8|PF1|+24+25，故选：D5（5分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b2asin
10、B（）A（0，B（1，C（，）D（，）【解答】解：因为b2asinB，由正弦定理可得，sinB2sinAsinB，因为sinB4，故sinA，因为A为锐角，故A，由题意可得，解可得，则cosB+sinCcosB+sin（），cosB+cosB+sin（B+）故选：C6（5分）下列结论错误的是（）A“x2”是“x24x+40”的充要条件B若mR，则方程x2+xm0一定有实根是假命题C在ABC中，若“AB”则“sinAsinB”D命题p：“x0R，x022x0+40”，则p：“xR，x22x+40”【解答】解：对于A：由x24x+30（x2）80x26x2，A正确；对于B：方程x2+xm8的1+4
11、m，当mR时，所以方程有实根是假命题，B正确；在ABC中，若ABabsinAsinB（根据正弦定理）；根据命题的否定，可知p为“xR，x72x+42”，D错误故选：D7（5分）如图，平面内有三个向量，其中与，与的夹角为30，且，若，则+（）A1B2C3D4【解答】解：与的夹角为120，与，且；对两边平方得：72+2；对两边同乘，两边平方得：；得：；根据图象知，0，代入得；+3故选：C8（5分）已知函数f（x）+a（sinx+x）+2（x）满足g（x）+g（x），若函数yf（x）与yg（x）1，y1），（x2，y2），（x6，y6），则（）A24B12C6D0【解答】解：设h（x）+a（sinx
12、+x），即h（x）是奇函数，则f（x）h（x）+2关于（0，2）对称，由g（x）+g（x）4，得g（x）也关于点（0，则函数yf（x）与yg（x）图象的交点两两关于（7，2）对称，不妨设（x1，y8）和（x6，y6）关于（2，2）对称，则，得3（x1+x3）+3（y1+y5）0+3412，故选：B9（5分）已知P，A，B，C是球O面上的四个点，PA平面ABC，BAC90，则该球的表面积为（）A28B45C35D25【解答】解：已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，PA2BC6，如图所示：取BC的中点D，连接AD，设球心为O；则ADBCPA7，所以R235+（）8；球O的表面积为4R845故
13、选：B10（5分）已知函数f（x）10sinx+在x0处的切线与直线nxy0平行2）（1x）n展开式中x4的系数为（）A120B135C140D100【解答】解：函数f（x）10sinx+在x0处的切线与直线nxy0平行，则二项式（7+x+x2）（1x）n（7+x+x2）（1x）10 （7x3）（1x）6，（1x）9 的展开式的通项公式为 Tr+7（x）r，故分别令r4，r54的系数为（，故选：B11（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是（）ABC2D3【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲
14、线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF8|+|PF2|2a3，|PF1|PF2|6a2，|PF1|a7+a2，|PF2|a6a2，设|F1F2|2c，F1PF8，则：在PF1F2中由余弦定理得，4c2（a5+a2）2+（a3a2）22（a1+a2）（a6a2）cos化简得：a72+3a424c2，该式可变成：+4，4+4，故选：A12（5分）设a2022ln2020，b2021ln2021，c2020ln2022，则（）AacbBcbaCbacDabc【解答】解：设f（x），f（x），h（x）1（7+lnx）lnx，当x（0，1）时，当x（2，h（x）0，h（e2）2e20，存在
15、x8（1，e2），当x（8，x0）时，h（x）0，f（x）单调递增，当x（x2，+）时，h（x）0，f（x）单调递减，f（2020）f（2021），即2022ln20202021ln2021，设g（x），g（x），令m（x）x4xlnx，m（1）0，求导可得，m（x）1lnx8lnx，当x（0，1）时，m（x）单调递增，当x（6，+）时，m（x）单调递减，故m（x）m（1）0，故g（x）0，g（x）在（7，+）递减，g（2022）g（2020），即，2020ln20222021ln2021，abc，故选：D二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13（5分）在ABC中，
16、若C，则sinAsinB的最大值是 【解答】解：在ABC中，C，sinB0，由基本不等式得sinAsinB，A+B，sinBcosA，sinAsinB，等号当sinAsinB，则sinAsinB的最大值是故答案为：14（5分）若函数f（x）xln（x+）为偶函数1【解答】解：f（x）xln（x+）为偶函数，f（x）f（x），（x）ln（x+）xln（x+），ln（x+）ln（x+），ln（x+）+ln（x+，ln（+x）（，lna0，a1故答案为：615（5分）已知0，函数f（x）cos（x）在（，），则的取值范围是【解答】解：f（x）cos（x）cos（x），由3kx+2k，得+x+，若函数
17、f（x）在（，）上单调递减，则，解得，故答案为：16（5分）如图、矩形ABCD中，AB2AD2，E为AB的中点1DE，若M为线段A1C的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 翻折到某个位置，使得DA1EC；翻折到某个位置，使得AC平面A1DE；四棱锥A1DCBE体积的最大值为；点M在某个球面上运动【解答】解：对于，由题知A1DA1E，若存在某个位置使得DA3EC，由于A1EECE，A1E，EC平面A5EC，所以A1D平面A1EC，又A6C平面A1EC，即A1DA6C，由于AB2AD2，故，由于在折叠过程中，所以存在某个位置，故存在某个位置，使得DA1EC，故正确；对于，若存在某个位置1DE，
18、因为DE平面A3DE，所以ACDE，另一方面，在矩形ABCD中，故ACDE不成立，所以错误；对于，四棱锥A2DCBE体积的最大时，平面A1DE平面ABCD，由于A1DE 等腰直角三角形，所以此时点A5到平面DCBE的距离为，所以四棱锥A5DCBE体积的最大值为，故正确；对于，取DC中点O，由于M为线段A1C的中点，所以，所以M在以点O为球心的球面上，故正确；故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民
19、每月用电量不超过标准用电量x（千瓦时）时，每月用电量超过标准电量x（千瓦时）时，超过部分按议价计费随机抽取了100户居民月均用电量情况，将数据按照0，50），100），400，制成了频率分布直方图（如图所示）（1）求直方图中m的值；（2）如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的值；（3）在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400（千瓦时），求X的分布列【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.0008+0.0016+m+6.0040+0.0052+m+0.0012+5.0008+0.0004）501解得m7.
20、0030（2）0，250）的频率为（0.0008+3.0016+0.003+0.004+4.0052）500.73，250，300）的频率为0.003507.15，该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，估计每月的用电量标准x250+290（3）用电量不小于350（千瓦时）的居民样本有：100（0.0008+0.0004）507户，其中不小于400（千瓦时）的有1000.0004502户，从中随机抽取5户，其中不小于400（千瓦时）的有X户居民，1，2，P（X3），P（X8），P（X2）X的分布列为： X 0 6 2 P
21、 18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a2+a512，S416（1）求an的通项公式；（2）数列bn满足bn为数列bn的前n项和，是否存在正整数m，k（1mk），使得Tk3Tm2？若存在，求出m，k的值，请说明理由【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由，解得（2），Tnb1+b5+bn若，则整理得，又km4整理得解得，又mN*m2，k12存在m2，k12满足题意19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，已知ABCD，ABAD1，DCDP2（1）如图，点M，N分别为棱PA，点T为靠近P的四等分点，求证：B，N，T（2）求平面MNT与平面ABN所成锐二面角
22、的余弦值【解答】证明：（1）取PD中点H，连接MT，NH，T为PD上靠近P的四等分点，T为PH中点，MTAH；H，N分别为PD，又，HNAB，四边形ABNH为平行四边形，AHBN，MTBN，B，N，T，M四点共面；（2）以D为坐标原点，为x，y，则，设平面MNT的法向量（x6，y1，z1），则，令x12，解得：y51，z13，（2，1；设平面ABN的法向量（x3，y2，z2），则，解得：y23，z21，；，即平面MNT与平面ABN所成锐二面角的余弦值为20（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线C2：y24x的焦点，点M为C1与C2在第一
23、象限的交点，且|MF2|（）求C1的方程；（）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程【解答】解：（）由C2：y23x知F2（1，7）设M（x1，y1），M在C5上，因为，所以，得，M在C5上，且椭圆C1的半焦距c1，于是消去b2并整理得9a637a2+48，解得a2（，舍去）故椭圆C1的方程为（）由知四边形MF4NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为lMN，所以l与OM的斜率相同，故l的斜率设l的方程为由消去y并化简得9x316mx+8m280设A（x1，y8），B（x2，y2），因为，所以x5x2+y1y30x1x8+y1y2x8x2+6（x6m）（x
24、2m）7x3x26m（x5+x2）+6m2所以此时（16m）749（7m24）2，故所求直线l的方程为，或21（12分）已知函数f（x）2ae2xxex（1）若a0，求f（x）的单调区间；（2）若对于任意的xR，f（x）+恒成立，求a的最小值【解答】解：（1）因为a0，所以f（x）xex，f（x）（x+1）ex，令f（x）2，得x1，当x（，1）时，当x（4，+）时，所以f（x）的单调递增区间是（，1），+）（2）f（x）4ae5x（x+1）exex（x+1）7aex，因为任意xR，f（x）+，又f（0）2a，所以3a+0，令g（x）（x+7）4aex，则g（x）上R上单调递增，因为当x0时，
25、g（x）x+74a，所以g（4a6）4a1+44a0，因为g（8）4ae16，所以存在x0（4a2，1）0）3，且当x（，x0）时，g（x）0，当x（x3，+）时，g（x）0，所以f（x）在（，x0）上单调递增，在（x8，+）上单调递减，所以f（x）maxf（x0）2aex0e，由g（x0）（x0+8）4ae4，由f（x）max+7，得x0ee，即，结合x0+13，得x0278，所以3x41，令h（x）（3x1）0，所以h（x）在3，5）上单调递增，所以h（x）h（3），即a，所以a的最小值为选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为
26、极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C上的点到直线的距离的最大值；（2）设P，Q是曲线C上的两点，若OPOQ，求【解答】解：（1）设点P（2cos，sin）到直线x+2y，当时，即点P（1，）；（2）曲线C的参数方程为（为参数）；根据，转换为极坐标方程为，设点P（5，），由于，所以Q（），代入曲线C的极坐标方程得到：选修4-5：不等式选讲23已的函数f（x）2|x|x3|（1）求函数f（x）2的解集；（2）记函数f（x）的最小值为m，若实数a，b2+2b2+c2【解答】解：（1）当x0时，f（x）2x6+xx32，故x8，当0x3时，f（x）3x3+x3x42，故，当x3时，f（x）2xx+4x+32，故x6，综上所述，函数f（x）2的解集为（2）证明：当x0时，f（x）x53，当0x6时，f（x）3x32，当x3时，f（x）x+35，综上所述，f（x）的最小值为3，a+b+c3，由柯西不等式可得，（a+b+c）23，故，当且仅当ac时，等号成立，故a2+2b2+c2第22页（共22页）
