1、2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（3月份）（新高考卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|（x+1）（x1）0，By|y0RB）（）AB0，1）C（1，0）D（1，02（5分）若复数z满足z（1+i）2i1（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）Az的虚部为iB|z|Cz+3Dz在复平面内对应的点在第二象限3（5分）设a0，b0，则“9a+b4”是“ab（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）Af（
2、x）ln（1+cosx2）Bf（x）xln（1cosx2）Cf（x）ln（1+sinx2）Df（x）xln（1sinx2）5（5分）为了得到函数ysin（2x+）的图象，可以将函数ycos（2x+）（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位6（5分）已知，是三个互不相同的锐角，则在sin+cos，sin+cos三个值中，大于（）个A0B1C2D37（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为（k0）的直线，与椭圆交于A，满足|AF|2|FB|，则实数k的值为（）A1BCD28（5分）对任意的x1，x2（1，2，当x1x2时，x2x1+ln0恒成立（）A（2，+）B2，
3、+）C（4，+）D4，+）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知两平行直线l1：x2y20与l2：2xay+50，直线l1与圆（x1）2+（y2）2r2（r0）相切，则下列说法正确的是（）Aa的值为4B两平行直线间的距离为Cr的值为D直线l2截圆所得的弦长为（多选）10（5分）已知（ax+）6（a0）的展开式中含x2的系数为60，则下列说法正确的是（）A（ax+）6的展开式的各项系数之和为1B（ax+）6的展开式中系数最大的项为240x2C（ax）6的展开式中
4、的常数项为160D（ax）6的展开式中所有二项式的系数和为32（多选）11（5分）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将ACD绕AC边旋转的过程中（）ACDABBBCADCBDABDBCCD（多选）12（5分）设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn（nN*），则下列说法不正确的是（）Aa2021a20221Ba2021a20221Ca20222Da20222三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若双曲线1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为 14（5分）平面向量，满足：|1，|3，设向量，则sin
5、的最大值为 15（5分）已知实数a，b满足2a+2b+14a+4b，则t2a+2b的取值范围是 16（5分）电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排 种四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）一个口袋里装有大小相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，现从中任意取出4个小球（1）求其中恰有2个小球颜色相同的概率；（2）设变量X为取出的四个小球中红球的个数，求X的分布列、数学期望和方差18（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2（1）求角B的大小；（2）若ABC是锐角三角形，求ABC面积的取
6、值范围19（12分）已知数列an满足a11，且a1a2a3ann（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，且数列bn的前n项和为Sn，若Sn3（n+2）恒成立，求的取值范围20（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ABC120，PB1（1）求证：平面PBD平面PAC；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小21（12分）已知实数x，y满足x2+（exy）2+e2y2（1）若x0时，试问上述关于y的方程有几个实根？（2）证明：使方程x2+（exy）+e2y2有解的必要条件为：2x022（12分）如图所示，已知抛物线E：y22px，其焦点与准线的距离为
7、6，过点M（4，0）1，l2与E相交，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，BC的斜率为k1，k2（1）求抛物线E的方程；（2）问是否为定值？如是，请求出此定值，请说明理由2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（3月份）（新高考卷）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|（x+1）（x1）0，By|y0RB）（）AB0，1）C（1，0）D（1，0【解答】解：集合Ax|（x+1）（x1）6x|1x1，By|y4，RBy|y0，则A（RB）x|1x3故选
8、：D2（5分）若复数z满足z（1+i）2i1（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）Az的虚部为iB|z|Cz+3Dz在复平面内对应的点在第二象限【解答】解：z（1+i）2i8，z，z的虚部为，故选项A错误，|z|，故选项B正确，z+（）4，z在复平面内对应的点为（，），在第一象限，故选：B3（5分）设a0，b0，则“9a+b4”是“ab（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：当9a+b4时，a2，b02，64，充分性成立，当a10，b时，但9a+b6，9a+b4是ab的充分不必要条件，故选：A4（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可
9、能是（）Af（x）ln（1+cosx2）Bf（x）xln（1cosx2）Cf（x）ln（1+sinx2）Df（x）xln（1sinx2）【解答】解：由已知图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，对于A，由f（x）ln（1+cosx2）为偶函数，故A错误；对于C，由f（x）ln（4+sinx2）为偶函数，故C错误；对于B，由f（x）xln（1cosx5）为奇函数，且f（1）ln（1cos1）8）0）不存在；对于D，由f（x）xln（1sinx2）为奇函数，且f（1）ln（5sin1）0）不存在）0，故B错误，D正确故选：D5（5分）为了得到函数ysin（2x+）的图象，可以将函数ycos（2x+
10、）（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【解答】解：将函数ycos（2x+）sin（7x+，向右平移个单位+）sin（2x+，故选：B6（5分）已知，是三个互不相同的锐角，则在sin+cos，sin+cos三个值中，大于（）个A0B1C2D3【解答】解：，是三个互不相同的锐角，sin+cos2，sin+cos2，在sin+cos，sin+cos，大于sincos，sincos，大于，由基本不等式得：sincos，sincos，sincos+sincos+sincos，sincos，sincos，取，则sincos，sincos，sincos，sincos的个数的最
11、大值为2，在sin+cos，sin+cos，大于故选：C7（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为（k0）的直线，与椭圆交于A，满足|AF|2|FB|，则实数k的值为（）A1BCD2【解答】解：椭圆C：+1（ab8）的离心率为，a83c2，b52c2，设直线方程为，则与椭圆2x2+8y26c4，联立可得，设A（x5，y1），B（x2，y7），不妨设y1y2，|AF|8|FB|，y12y7，将y12y5 代入可得，从而22，k7，故选：B8（5分）对任意的x1，x2（1，2，当x1x2时，x2x1+ln0恒成立（）A（2，+）B2，+）C（4，+）D4，+）【解答】解：由题得x2x
12、1+（lnx2lnx1）7，所以x2lnx7x1lnx5，因为x1x2，所以函数f（x）xlnx在（1，所以f（x）10在（1.4恒成立，所以a2x在（1，4恒成立，实数a的取值范围是4，+）故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知两平行直线l1：x2y20与l2：2xay+50，直线l1与圆（x1）2+（y2）2r2（r0）相切，则下列说法正确的是（）Aa的值为4B两平行直线间的距离为Cr的值为D直线l2截圆所得的弦长为【解答】解：由两直线l1：x2y
13、80与l2：5xay+50平行，得，解得a4；直线l3：2xay+55的方程为x2y+0，故B不正确；直线l6与圆（x1）2+（y4）2r2（r3）相切，r；圆心到直线l2的距离为d，故弦长为2；故选：AC（多选）10（5分）已知（ax+）6（a0）的展开式中含x2的系数为60，则下列说法正确的是（）A（ax+）6的展开式的各项系数之和为1B（ax+）6的展开式中系数最大的项为240x2C（ax）6的展开式中的常数项为160D（ax）6的展开式中所有二项式的系数和为32【解答】解：展开式中含x2项为C15a2x2，所以15a260，解得a2或2（舍去），所以二项式（6x+）6的展开式的通项公式
14、为TC，选项A：令x1，则展开式的各项系数和为（2+8）633729，故A错误，选项B：令第r+1项的系数最大，则，且r0，1，4，6，解得r2，所以系数最大的项为C，选项C：二项式（8x）6展开式的常数项为C160，选项D：二项式（3x）6的展开式的所有二项式系数和为6664，故D错误，故选：BC（多选）11（5分）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将ACD绕AC边旋转的过程中（）ACDABBBCADCBDABDBCCD【解答】解：设ABBC1，则AC，AD，若CDAB，又ABBC，则ABBD，故A可能成立；若BCAD，又
15、ADCD，则ADBD，AB为直角三角形ABD的斜边，而ABAD；若BDAB，则ABAD；若BCCD，则BD为直角三角形BCD的斜边，故D可能成立故选：ACD（多选）12（5分）设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn（nN*），则下列说法不正确的是（）Aa2021a20221Ba2021a20221Ca20222Da20222【解答】解：因为数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn（nN*），当n1时，得2a7a1+，解得a11或2，当n2时，2Sn（SnSn）+，整理得，所以数列是公差为5的等差数列，a11时，1+（n1）nn；anSnSn2，首项a13满足通项公式；所以a2021，a2022，
16、所以选项C；所以a2021a2022（）（）6，选项B错误当a11时，1+（n1）n3，应舍去故选：BCD三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若双曲线1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为【解答】解：双曲线1的一条渐近线过点（5，可得a2b，即：a24b24c54a2，e6，解得e故答案为：；14（5分）平面向量，满足：|1，|3，设向量，则sin的最大值为 【解答】解：，故，cos0，由已知有，当29cos26时，此时，当49cos50时，则关于，其中52cos2165，解得，当时，此时47cos20，故方程必有正根，此时，当时，42cos20，记的两根为x1
17、，x2，则5，此时方程有两个正根，此时，所以sin的最大值为，故答案为：15（5分）已知实数a，b满足2a+2b+14a+4b，则t2a+2b的取值范围是 （1，【解答】解：令x2a，y2b（x7，y0）2+y6，tx+y，则（x）5+（y1）2，则点（x，y）在以（，为半径的圆上的第一象限的部分，如图，设圆（x）2+（y3）2与x轴交于A，当y0时，x1，3），当x0时，y2，4），当直线tx+y过A（1，0）时，t4，当直线tx+y与圆（x）2+（y1）2相切于第一象限时，则，解得t（舍），t7a+2b的取值范围是（1，故答案为：（1，16（5分）电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同
18、学相约一起观影，他们要求坐在同一排720种【解答】解：先列举出恰有两个连续的空座位的情况有30种，再对再对甲、乙、丙、丁四位全排列有，故甲、乙、丙、丁四位同学坐在同一排故答案为：720四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）一个口袋里装有大小相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，现从中任意取出4个小球（1）求其中恰有2个小球颜色相同的概率；（2）设变量X为取出的四个小球中红球的个数，求X的分布列、数学期望和方差【解答】解：一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色3个，蓝球4个，基本事件总数，其中恰有7个小球颜色相同包含的基本事件个数，其中恰有
19、2个小球颜色相同的概率是；（2）若变量 X 为取出的四个小球中红球的个数，则X的可能取值为1，2，6，P（X1），P（X2），X6 2 3 P 数学期望18（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2（1）求角B的大小；（2）若ABC是锐角三角形，求ABC面积的取值范围【解答】解：（1）由余弦定理知，cosC，整理得，4a5+c2ac，所以cosB，因为B（0，）（2）由正弦定理知，即，所以asinAsinC，所以acsinAsinAsin（sinA（sinA）（2A）（sin2A）+，因为ABC是锐角三角形，所以，解得A
20、（，）（，），所以sin（2A）（，所以ac（，4，所以ABC面积SacsinB（，故ABC面积的取值范围为（，19（12分）已知数列an满足a11，且a1a2a3ann（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，且数列bn的前n项和为Sn，若Sn3（n+2）恒成立，求的取值范围【解答】（1）解：数列an满足a11，且，当n8时，有a1a2an5an1n1，两式作商，可得，又由a12，得（2）解：当n2时，当n3时，所以对任意的nN*，均有，则，可得，两式相减可得，求得，由Sn2（n+2），可得，令，则，因为g（n）0，所以g（n+1）g（n），g（n）减小，所以g（n）maxg（1）
21、，即的取值范围是，+）20（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ABC120，PB1（1）求证：平面PBD平面PAC；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小【解答】解：（1）证明：平面PAB平面ABCD，面PAB面ABCDAB，PB面PAB，PB平面ABCD，AC面ABCD，ACPB，由菱形性质知ACBD，PBBDB，AC平面PBD，又AC平面PAC，平面PBD平面PAC（2）如图，设CD的中点为E，BECEBEAB，平面PAB平面ABCD，面PAB面ABCDAB，BE平面ABCD，BE面PAB，又PBAB，所以BE，AB两两互相垂直，所以以点B为坐标原点
22、，以直线BA、BE为x、y，如图所示建立空间直角坐标系，可得，设平面PAD的一个法向量为（x，y，而，由，得，取，得，设平面PBC的一个法向量为（a，b，且，由，得，取，得，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为，则，所以60，故平面PAD与平面PBC所成锐二面角为6021（12分）已知实数x，y满足x2+（exy）2+e2y2（1）若x0时，试问上述关于y的方程有几个实根？（2）证明：使方程x2+（exy）+e2y2有解的必要条件为：2x0【解答】解：（1）将x0代入，得（1y）6+e2y2，不妨记f（y）y22y1+e4y，f（y）2y2+5e2y，f（y）4e5y+20，f（y）在R上递
23、增，当y7时，f（y）0，f（y）0，f（y）在（，6）单调递减，+）单调递增，f（y）f（0）0，x0时（2）证明：先证明exx+2，令g（x）ex（x+1），则g（x）ex1，当x3时，g（x）0，当x0时，g（x）5，g（x）g（0）0，exx+1恒成立由（exy）72（exy）2+8（exy1）22，得（exy）22（exy）3，2x2+（exy）5+e2yx2+4（exy）1+1+2yx3+2exx3+2（1+x），x3+2x0，3x022（12分）如图所示，已知抛物线E：y22px，其焦点与准线的距离为6，过点M（4，0）1，l2与E相交，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，BC的斜率为k1，k2（1）求抛物线E的方程；（2）问是否为定值？如是，请求出此定值，请说明理由【解答】解：（1）抛物线E：y22px，可得焦点坐标F（，准线方程为x，由焦点与准线的距离为p6，则抛物线E的方程为y212x；（2）设A（3，6t1），B（4t22，6t2），C（3t32，6t6），D（3t46，6t4），因为k8，同理k2，所以，由lAD：y6t1（x3），0）代入可得：t5t41，又由lAB：y3t1（x3），0）代入可得：t5t2，同理：t3t4，由可得：t4，t2，t7，代入，可得，所以为定值第19页（共19页）
