1、第第3章章 张量函数及其导数张量函数及其导数2022年年4月月18日日主要内容主要内容张量函数、各向同性张量函数的定义和例张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量的标量函数矢量的标量函数二阶张量的标量函数二阶张量的标量函数二阶张量二阶张量的二阶张量函数的二阶张量函数张量函数导数的定义，链规则张量函数导数的定义，链规则矢量矢量的函数之导数的函数之导数二阶二阶张量的函数之导数张量的函数之导数张量函数、各向同性张量函数的定义和例张量函数、各向同性张量函数的定义和例要研究导数，必须引进函数。要研究导数，必须引进函数。张量函数，有各种类型。张量函数，有各种类型。例如，张量的标量函数：例如，张量的标量函数
2、：11:22w 例如，张量的张量函数：例如，张量的张量函数：: 12,nT TT1212nncccTTT 张量函数、各向同性张量函数的定义和例张量函数、各向同性张量函数的定义和例各向同性张量函数（客观性背景）各向同性张量函数（客观性背景）可先看各向同性标量函数：在坐标系刚性旋转变可先看各向同性标量函数：在坐标系刚性旋转变换下，其表现形式和数值均保持不变。换下，其表现形式和数值均保持不变。例如：例如：123123,f uuuf u u u iif uf u i jijf Tf T ijijjijifT TT TT 2111222iiiifmv vmv vmvv张量函数、各向同性张量函数的定义和例
3、张量函数、各向同性张量函数的定义和例等价表示或等价描述：上述各向同性函数的描述，等价表示或等价描述：上述各向同性函数的描述，虽然清晰，但很不方便，因为坐标系要旋转。问虽然清晰，但很不方便，因为坐标系要旋转。问题：能否找到一种等价描述，在该描述下，坐标题：能否找到一种等价描述，在该描述下，坐标系保持不动？系保持不动？经典经典解析几何解析几何中，解析地描述一个几何图形中，解析地描述一个几何图形的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思想：坐标不动，图形移动。想：坐标不动，图
4、形移动。注意：运动学思想之重要！注意：运动学思想之重要！张量函数、各向同性张量函数的定义和例张量函数、各向同性张量函数的定义和例考察一个最简单的图形考察一个最简单的图形，一个矢量一个矢量 。研究两种相。研究两种相对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量函数的表达。一种旋转运动，矢量不动，坐标系函数的表达。一种旋转运动，矢量不动，坐标系顺时针旋转一个角度，函数不变：顺时针旋转一个角度，函数不变：另一种旋转运动，坐标系不动，矢量逆时针旋转同另一种旋转运动，坐标系不动，矢量逆时针旋转同一个角度，函数不变：一个角度，函数不变：进一步：进一步： iif uf
5、uuiixxiiuu uQ uiiuu iiif uf uf u fff uQ uu张量函数、各向同性张量函数的定义和例张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量矢量 的旋转量：的旋转量：二阶张量二阶张量 的旋转量的旋转量 ：进一步看：进一步看：u uQ uTTTQ T Q张量函数、各向同性张量函数的定义和张量函数、各向同性张量函数的定义和例例把上述思想推广至一般情形：各向同性张量函把上述思想推广至一般情形：各向同性张量函数数函数函数1(,)nf XX满足当自变量满足当自变量1,nXX改为其旋转量改为其旋转量1,nXX时，函数值时，函数值必相应地必相应地变为其旋转量变为其旋转量，即：，即：通过正
6、交变换，使通过正交变换，使iiXX 从而使从而使(), (1,2, )if Xin张量函数、各向同性张量函数的定义和张量函数、各向同性张量函数的定义和例例各向同性张量函数各向同性张量函数例子请见例子请见张量分析张量分析的的92 93页。页。矢量的标量函数矢量的标量函数Cauchy基本表示定理：基本表示定理：矢量矢量 (1,2,)ivim的标量函数的标量函数( )if v为各向同性为各向同性f 可表示为内积可表示为内积 (1,2,)ijimv v的函数。的函数。推论：推论：矢量矢量v的标量函数的标量函数( )f v为各向同性为各向同性f 可表示为可表示为()f v张张量的标量函数量的标量函数定理
7、定理1：若若( )fT(,)ijklf Tg为各向同性函数为各向同性函数例：屈服函数例：屈服函数定理定理2：若若()fN123(,)NNNf JJJ为各向同性函数为各向同性函数( )f ( )fConst时，发生屈服，张成的曲面为屈服面。时，发生屈服，张成的曲面为屈服面。因此，因此，123( )(,)ff JJJConst一次项一次项二二次项次项三次项三次项张张量的标量函数量的标量函数例：屈服函数例：屈服函数( )f 212( )()()fJJConst若材料不可压缩，若材料不可压缩，马氏体相变（金属材料）马氏体相变（金属材料）+ 塑性屈服塑性屈服1J考虑考虑因此有因此有消失；消失；若只研究二
8、次项，若只研究二次项，3J消失，因此有消失，因此有2( )()ff JConst若材料可压缩，若材料可压缩， 则与则与1,J2J有关，因此有有关，因此有1,J2,J3,J21231( )()()(/)fJJJJConst二阶张量的二阶张量二阶张量的二阶张量函数函数二阶张量二阶张量的解析函数的解析函数幂级数：幂级数：0( )niiiza z仿照复变函数中的解析函数来构造二阶张量的解析函数：仿照复变函数中的解析函数来构造二阶张量的解析函数：0!nznzen0( )niiifaHTT1!nnnenTTG如何确定如何确定 ？ia二阶张量的二阶张量二阶张量的二阶张量函数函数Hamilton-Cayley
9、等式等式推广推广：32123( )0JJJT的特征多项式：的特征多项式：32123( )TTTJJJTTTTGO1230( )(,)nTTTiiifa JJJHTT1230()(,)nNNNiiifa JJJHNNH-C等式：等式：均可用均可用 来表达。来表达。nT2T由于由于 ，32123TTTJJJTTTG也就是说也就是说，22012( )(, ,)ffkkkHTTT GGTTH-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。123,TTTiikkJJJ二阶张量的二阶张量二阶张量的二阶张量函数函数例：应力应变关系例：应力应变关系1、各向同性材料、各向
10、同性材料未加载时，有未加载时，有2012() fkkkHNHGNN123(,)NNNiikk JJJ2012123, (,)iikkkkk JJJG2、线性、线性各向同性各向同性材料材料20k 12k01kJ0,0,则则10J0因此，有因此，有2ijkkijij 张量函数导数的定义，链规则张量函数导数的定义，链规则有限有限微分、导数与微分微分、导数与微分函数函数的导数、微分：的导数、微分：0()( )( )limxf xxf xfxx 有限微分是张量函数导数的核心！有限微分是张量函数导数的核心！2()( )( )() f xxf xfxxOx d( )dffxxd( )dffxx先对函数概念做
11、扩展！先对函数概念做扩展！ A是自变量，可以是标量，矢量，张量。是自变量，可以是标量，矢量，张量。 B是函数，也可以是标量，矢量，张量。是函数，也可以是标量，矢量，张量。( ) BF A典型例子：典型例子：非线性弹性材料：非线性弹性材料：过去，这样求导，似乎天经地义。过去，这样求导，似乎天经地义。本章假定：仅研究直线坐标系下张量函数的导数。本章假定：仅研究直线坐标系下张量函数的导数。换言之，基矢量不变，是常矢量。换言之，基矢量不变，是常矢量。11:22w : ww ddw ijijwdd 2ijklijklwE如果：如果： 且且x是标量，是标量，则总有：则总有：然而，如果：然而，如果： 且且v
12、是矢量，是矢量，就没有任何意义了！因此，微分的概念要拓展。就没有任何意义了！因此，微分的概念要拓展。 x F 0limxxxxxx FFF 2xxxxxOx FFF ddxxxFF ddxxxFF F v 0limx F vvF vFvv从从微分微分到到有限微分，有限微分，出发点，仍然是传统的微分出发点，仍然是传统的微分称为函数称为函数F(x)对对z的有限微分。的有限微分。其中：其中：h无量纲无穷小量；无量纲无穷小量； z自变量自变量x的有限增量，与的有限增量，与x同量纲。同量纲。令令z=1，立即有：，立即有： 0limxxxxxx FFF 0;limhxhzxx zhFFF ;1xxFF可以
13、证明：可以证明：这是有限微分与传统微分之间的关系：线性关系！这是有限微分与传统微分之间的关系：线性关系！令令dx=hz，则有：，则有：即得：即得：进一步：进一步： 00;limlimhhzxhzxxhzxx zzhhzFFFFF ; x zxzFF 22;xhzxx zhO hxhzO h FFFF 2xhzxxdxO hFFF ddddddiiiiFxFxxxxgFFg ddxxxFF ddxxxFF进一步推广：矢量的矢量函数进一步推广：矢量的矢量函数( )F v0()( )( ; )limhhhF vuF vF v u( ;)( ; )F vuF v u有限微分运算具有线性性与可和性。有限
14、微分运算具有线性性与可和性。线性性：线性性：可和性：可和性：( ;)( ; )( ; )F vutF v uF v t( ; )( ;)( ;) ( )iiiiuuF v uF vgF v gF vu规定规定gi是是常矢量常矢量( ;)( ; )( ; )F v utF v uF v t矢量的矢量函数矢量的矢量函数 的有限微分的有限微分( )F v0()( )( ; )limhhhF vuF vF v u2()( )( ; )()hhO hF vuF vF v ud( ; )( )( ) dhhFF v uF vuF vvd( )dFF vv张量的张量的张张量函数的有限微分（协变微分意义下）量
15、函数的有限微分（协变微分意义下）0()( )( ;)limhhhT ACT AT A C( ;)( ;)( ;)( ):ijijijijCCT A CT Ag gT A g gT ACd( ):dTT AAd( )dTT AA张量函数张量函数 ，其中，其中，注意：至此，都只是给出定义！注意：至此，都只是给出定义！( )T AijijAAg g ，ijijCCg g22()( )( ;)() ( ):()hhO hhO hT ACT AT A CT AC张量函数张量函数导数的链规则导数的链规则类似于经典的复合函数求导类似于经典的复合函数求导ddddddddddddddgggdxggxxgx经典复
16、合函数经典复合函数 的导数的导数 ( ( )g xddddddd:d:d:ddddddHHFHHFHFTFFTTFT张量的张量复合函数张量的张量复合函数 的导数（二阶张量）的导数（二阶张量） ( )HH F T矢量的函数之导数矢量的函数之导数矢量的矢量的矢量矢量标标量量张张量量函数之导数函数之导数先看矢量的标量函数之导数。已有：先看矢量的标量函数之导数。已有：出发点，仍为定义：出发点，仍为定义：于是，关键是计算于是，关键是计算 d( ; )( )dfffv uvu=uv( ; )( ;)( ;)kkkkffuu fv uvgv g( ;)kf v g 00000( ;)limlimlimlim
17、limkkhiiikihiiiikiihiiiiiikiikhhikkfhffhf vhf vhf vhf vhfvhf vf vhf vhhf vfvvvgvv gggggggggv于是有：于是有：比较（定义式和计算式）：比较（定义式和计算式）：u任意，故立即有：任意，故立即有： ( ;)kkffvvv g ( ; )( ;)( ;)kkkkkkkkffffuu fuvvvvv uvgv ggu d( ; )dkkfffvvv uuguv d( )dkkfffvvvgv矢量的函数之导数矢量的函数之导数推而广之，矢量的函数求导数的计算式推而广之，矢量的函数求导数的计算式d( ) dkkvFFF
18、 vgvd( ) dkkvTTT vgv矢量的矢量的矢量矢量标标量量张张量量函数之导数函数之导数d( )dkkfffvvgv张张量的函数之导数量的函数之导数张量的函数求导数的计算式张量的函数求导数的计算式d( ) dijijSFFF Sg gSd( ) dijijfffSSg gSd( ) dijijSTTT Sg gS张张量的量的矢量矢量标标量量张张量量函数之导数函数之导数张张量的函数之导数量的函数之导数与力学的联系：应变能密度与力学的联系：应变能密度2011212waJa J应变能密度是应变张量应变能密度是应变张量的的标量标量函数函数研究非线性弹性材料的本构，例如橡胶，可先从研究非线性弹性材料的本构，例如橡胶，可先从应变能入手。应变能入手。:C d dC为弹性张量为弹性张量弹性张量还可写做应变能密度对应变张量的导数：弹性张量还可写做应变能密度对应变张量的导数：2ijklklijjikljilkijklwCCCC
