1、微微 分分 方方 程程 模模 型型1 1 微分方程解题步骤微分方程解题步骤2 2 传染病模型传染病模型3 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除4 鱼雷击舰问题鱼雷击舰问题动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微
2、分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段t上的增量表达式，令t 0，即得到 的表达式dtdw一、微分方程模型建模步骤一、微分方程模型建模步骤3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件
3、和微分方程一起列出。建立微分方程的其他方法建立微分方程的其他方法1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。模型一、传染病模型模型一、传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的
4、时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t) 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2区分
5、已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm 1itLogistic 模型病人
6、可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接触率日接触率1/ 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线
7、增长按Sti )(感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)单调降至单调降至01/阈阈值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的
8、条件s01/ 的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (= / ) , 群体免疫群体免疫模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxT, c1(t)和和 c2(t)按指数规律趋于零按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt 0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(t
9、kekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相当于药物相当于药物( 剂量剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量吸收室药量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11参数估计参数估计各种给药方式下的各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数取决于参数k12, k21, k13, V1,V2t=0快速静脉注射快速静脉注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)
10、()()()(2121101ttekekVDtc充分大设t ,由较大的由较大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由较小的由较小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B, , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk参数估计参数估计进入中心室的药物全部排除进入中心室的药物全部排除模型三、鱼雷击舰问题模型三、鱼雷击舰问题问题问题: 如图所示如图所示,一敌舰在某海域内沿正北方向航行时一敌舰在某海域内
11、沿正北方向航行时,我方战舰我方战舰恰位于敌舰正西方恰位于敌舰正西方1海里处海里处,我舰向敌舰发射制导鱼雷我舰向敌舰发射制导鱼雷,敌舰速敌舰速度为度为0.42海里海里/分钟分钟,鱼雷速度为敌舰速度的鱼雷速度为敌舰速度的2倍倍,鱼雷的运行方鱼雷的运行方向始终指向敌舰向始终指向敌舰,试问敌舰航行多远时将被击中试问敌舰航行多远时将被击中?00.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.7模模 型型 假假 设设假设敌舰速度为假设敌舰速度为v0;t时刻敌舰的位置为时刻敌舰的位置为(1, v0 t)t时刻鱼雷的位置为时刻鱼雷的位置为(x,y)；建 模 目 的建立建立x,y和敌舰速度和敌
12、舰速度v0、 t、鱼雷速度鱼雷速度v之间的关系之间的关系（设设 v,v0 为已知参数）为已知参数）假设鱼雷速度为假设鱼雷速度为v,且且鱼雷的运行方向始终指向敌舰鱼雷的运行方向始终指向敌舰1.建立微分方程模型建立微分方程模型0)0( , 0)0(10,121222yyxxdxdydxyd)2(1)02202 1vdtdydtdxxytvdxdy022)(1:) 2 (vdxdydtdx可得由2200)1 (:;)1 ( :) 1 (dxydxdxdtvxytvdxdyx求导两边对可得由模型求解模型求解0)0( , 0)0(10,121222yyxxdxdydxydxxy1131132)1 ( 2
13、1:,),(222xpdxdpdxdpdxydxpdxdy从而有则令回答提出的问题回答提出的问题:当当x=1时时,y=2/3,时间时间t=y/v0 =1.59分分=95.24秒时追上秒时追上鱼鱼雷雷.2.建立计算机模拟模型建立计算机模拟模型tk时刻敌舰的位置为时刻敌舰的位置为(1, v0 tk),初始位置初始位置(1,0)tk时刻鱼雷的位置为时刻鱼雷的位置为(xk , yk),运动方向的方向角运动方向的方向角a;2020202)()1 (sin,)()1 (1coskkkkkkkkkytvxytvaytvxxa鱼雷的鱼雷的初始位置初始位置(0,0);atvyyatvxxtkkkksincos:
14、,1111则有取时间步长为计算机模拟方法鱼雷坐标如下计算机模拟方法鱼雷坐标如下: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0.0280 0.0004 0.0560 0.0012 0.0840 0.0024 0.1119 0.0040 0.1398 0.0061 0.1677 0.0086 0.1956 0.0116 0.2233 0.0151 0.2511 0.0190 0.2787 0.0235 0.3063 0.0285 0.3337 0.0340X y第第 k 秒秒 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 0.8994 0.3670
15、 0.9150 0.3903 0.9294 0.4143 0.9426 0.4390 0.9546 0.4643 0.9653 0.4902 0.9747 0.5166 0.9826 0.5434 0.9891 0.5707 0.9942 0.5982 0.9977 0.6260 0.9997 0.6539X y 第第 k 秒秒分即秒取时间步长为0333.0,2t计算机模拟方法敌舰坐标如下计算机模拟方法敌舰坐标如下: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1 0.0140 1 0.0280 1 0.0420 1 0.0560 1 0.0700 1 0.0840 1 0
16、.0980 1 0.1120 1 0.1260 1 0.1400 1 0.1540 1 0.1680X y第第 k 秒秒 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 1 0.5040 1 0.5180 1 0.5320 1 0.5460 1 0.5600 1 0.5740 1 0.5880 1 0.6020 1 0.6160 1 0.6300 1 0.6440 1 0.6580X y 第第 k 秒秒分即秒取时间步长为0333.0,2t类似问题类似问题问题问题: 作业：作业：如图所示如图所示,一条猎犬发现它的正西方一条猎犬发现它的正西方1里里处有一只野兔正朝北边处有一只野兔正朝北边1里处的兔巢逃奔里处的兔巢逃奔,猎犬随即猎犬随即朝兔子奔走方向追赶朝兔子奔走方向追赶.已知兔子奔跑速度为已知兔子奔跑速度为0.42里里/分钟分钟,猎犬速度为兔子速度的猎犬速度为兔子速度的2倍倍,试问猎犬能否在野试问猎犬能否在野兔逃回兔巢前追上野兔兔逃回兔巢前追上野兔?
