1、-1-函数函数首页课前篇自主预习一二三知识点一、函数单调性的概念1.思考课前篇自主预习一二三(3)若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为“存在x1,x2”可以吗?提示:不可以,如图:虽然x=2-(-1)0,y=f(2)-f(-1)0,但f(x)在-1,2上并不是单调函数.因此“任意”两字不能忽视,更不能用“特殊”取代.为了方便也可将定义改为:如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,总有 ,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.课前篇自主预习一二三2.填空一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,且MA.(1)如果对任意x1,x2M,当x1x2
2、时,都有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在M上是增函数(也称在M上单调递增),如图(1)所示.课前篇自主预习一二三(2)如果对任意x1,x2M,当x1f(x2),则称y=f(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减),如图(2)所示.如果一个函数在M上是增函数或是减函数,就说这个函数在M上具有单调性(当M为区间时,称M为函数的单调区间).课前篇自主预习一二三3.做一做已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是() 答案:B课前篇自主预习一二三4.“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同?提示:不相同.函数f(x)的单调增(减
3、)区间是D,这一说法意味着除D之外,函数f(x)再无其他单调增(减)区间.函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间,即除区间D外,函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间.课前篇自主预习一二三5.做一做已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间为.课前篇自主预习一二三知识点二、判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2M,且x=x2-x10;(2)作差:y=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(
4、即判断y的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).课前篇自主预习一二三知识点三、函数的平均变化率课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用定义法证明用定义法证明(判断判断)函数的单调性函数的单调性例1 利用单调性的定义证明函数 在(-,0)内是增函数.分析:解题的关键是对y=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.证明设x1,x2是(-,0)内的任意两个值,且x10,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟证明函数的单调性的步骤1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1g(1-2t),
5、求t的取值范围.分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,寻找对称轴与区间的位置关系求解;(2)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2,该二次函数图像的对称轴为x=1-a.f(x)的单调减区间为(-,1-a.f(x)在(-,4上是减函数,对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.1-a4,解得a-3.(2)g(x)在R上为增函数,且g(t)g(1-2t),课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟根据单调性求参数的方法1.已知
6、函数的单调性求参数范围,要注意数形结合,画出图像,往往解题很方便,同时要采取逆向思维求解;2.充分利用了函数的单调性,在单调区间内,变量与函数值之间的关系,将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究延伸探究已知f(x)=-x3+ax在(0,1)内是增函数,求实数a的取值范围.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论思想在函数单调性中的应用典例 讨论函数f(x)= (-1x1,a0)的单调性.思路点拨:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想
7、的应用.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0,选项A中,y=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x20,所以该函数在区间(-,0)内为减函数;同理可判断选项B中和选项C中函数在区间(-,0)内为减函数,选项D中函数在区间(-,0)内为增函数.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.下列命题正确的是
8、()A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2(a,b),使得当x1x2时有f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,则f(x)在I1I2上为增函数D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),则x1g(1-3t),求t的取值范围. -30-第1 1课时函数的单调性函数的概念与性质函数的概念与性质首页首页一二一、增函数和减函数的定义1.(1)画出函数f(x)=x,f(
9、x)=x2的图象,观察它们的图象,图象的升降情况如何?提示:根据列表法的三个步骤:列表描点连线得两函数的图象如下.函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.首页一二(2)如何利用函数解析式f(x)=x2来描述随着自变量x值的变化,函数值f(x)的变化情况?提示:在(-,0上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐减小;在(0,+)上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐增大.(3)用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时,函数值依次增大?如果是函数值依次
10、减小呢?提示:在给定区间上,x1,x2,且x1x2,则f(x1)f(x2).在给定区间上,x1,x2且x1f(x2).(4)增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f(x1)x2时,都有f(x1)f(x2)”,这样可以吗?提示:可以.增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1)f(x2),即都是相同的不等号“x2时,都有f(x1)f(x2)”也是相同的不等号“”,步调也一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.首页一二2.填表 首页一二3.做一做(1)f(x)=-2x-1在(-,+)上是.(填“增函数”或“减函数”)(2)f(x)=x2-1在区间0,+)上是.(填“增函数”或“减函数”)答案:
11、(1)减函数(2)增函数首页一二二、函数的单调性与单调区间1.(1)“函数y=f(x)在区间D上是增函数”与“函数y=f(x)的单调递增区间为D”一样吗?提示:不一样.“函数y=f(x)的单调递增区间为D”,说明区间D是函数y=f(x)的所有单调递增区间;而“函数y=f(x)在区间D上是增函数”,只要函数在区间D上递增即可,区间D是整个单调增区间的子集.(2)函数y= 的定义域是(-,0)(0,+),图象在第一、三象限内分别是单调递减的,能否说函数y= 的单调递减区间是(-,0)(0,+)?提示:不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“”连接.首页一二(3)写一
12、个函数的单调区间时,是否只能写成开区间?提示:不是.对于某一个点而言,由于它的函数值是一个确定的常数,无单调性可言,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些不在定义域内的区间端点,书写时必须去掉,因此,书写单调区间时,不妨约定“能闭则闭,需开则开”.2.填空如果函数y=f(x)在区间D上单调递增(或单调递减),那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间.首页一二3.做一做(1)若函数f(x)的定义域为(0,+),且满足f(1)f(2)f(3),则函数f(x)在(0,+)上为()A.增函数B.减函数 C.先增后减D.
13、不能确定(2)函数y= 的单调递减区间是()A.0,+)B.(-,0)C.(-,0)和(0,+)D.(-,0)(0,+)(3)根据下图写出在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.首页一二(1)解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D.答案:D(2)解析:函数y= 在(-,0)和(0,+)上单调递减,故其单调递减区间为(-,0)和(0,+).答案:C(3)解:函数在-1,0上是减函数,在0,2上是增函数,在2,4上是减函数,在4,5上是增函数.首页一二4.判断正
14、误:(1)若函数f(x)在区间I上是减函数,且非空数集DI,则f(x)在D上也是减函数.()(2)若函数f(x)在定义域a,b上是增函数,且f(x1)f(x2),则ax10时,该函数在R上是增函数;当k0时,该函数在R上是减函数.课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调性以对称轴x=- 为分界线.课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.由图象可知,函数的单调增区间为(-,1,2,+);单调减区间为1,2.课前篇自主预习探究一探究二
15、探究三思维辨析随堂演练证明证明函数的单调性函数的单调性例2求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.分析:x1,x2(0,1),且x1f(x2)即可. 0 x1x20,x1x2-10,x1-x20,即f(x1)f(x2).课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练特别提醒作差变形的常用技巧:(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子
16、进行因式分解.如本例.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究延伸探究判断并证明本例中的函数f(x)在区间1,+)上的单调性.证明如下:x1,x21,+),且x1x2,1x1x2,x1-x20,x1x20.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)g(1-3t),求t的取值范围.课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念而致错典例 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间
17、是(-,4,则实数a的取值集合是.错解函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间(-,4上单调递减,因此1-a4,即a-3.故实数a的取值集合为a|a-3.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调.正解:因为函数的单调递减区间为(-,4,且函数图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故实数a的取值集合为-3.答案:-3课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练纠错纠错心得心得 单调区间是一个局部概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单
18、调,则是指该区间为相应单调区间的子集.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件的含义.课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练若函数f(x)=2x2+7(a-3)x+2在区间(-,5上单调递减,则实数a的取值范围是.课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.若函数f(x)的定义域为(0,+),且满足f(1)f(2)f(3),则函数f(x)在(0,+)内()A.是增函数B.是减函数C.先增后减D.单调性不能确定解析:1,2,3不是任意取的值,不能作为判断函数单调性的依据.答案:D课前篇自主预习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.函数y=f(x),x-
19、4,4的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为()A.-4,-2B.1,4C.-4,-2和1,4D.-4,-21,4答案:C3.若函数y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数,则k的取值范围是()解析:当2k+10,即k”“”或“=”)解析:f(x)在区间-2,2上是减函数,且-1f(2).答案:证明:x1,x2(0,+),且x1x2, 第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明606162自主探新知预习63646566单调性 676869最值点最值7071727374合作提素养探究75定义法证明(判断)函数的单调性76777879808
20、1求函数的单调区间82838485868788函数单调性的应用8990919293949596求函数的最值(值域)979899100101102103104105当堂固双基达标106107108109110Thank you for watching !3.1函数的概念与性质函数的概念与性质3.1.2函数的单调性函数的单调性第1课时函数的单调性及函数的平均变化率第三章函数第三章函数单调递增单调递增单调递减单调递减单调区间单调区间单调递增区间单调递增区间单调递减区间单调递减区间不存在不存在x轴轴本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第2课时函数
21、的平均变化率157158自主探新知预习159不存在 x 160161162163164165166167合作提素养探究168平均变化率的计算169170171172173174利用平均变化率证明函数的单调性175176177178179180181二次函数的单调性最值问题182183184185186187188189 感谢您的阅读！为了便于学习和使用，本文档下载后内容可随意修改调整及打印，欢迎下载！ 191192193194当堂固双基达标195196197198199Thank you for watching !3.1函数的概念与性质函数的概念与性质3.1.2函数的单调性函数的单调性第2课时函数的最大值、最小值第三章函数第三章函数最大值点最大值点最小值点最小值点最大最大最小最小最大值最大值最小值最小值本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束
