1、第第2222章章 一元二次方程一元二次方程教学目标：教学目标： 知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系。知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系。 过程与方法：能运用根与系数的关系求方程的两根过程与方法：能运用根与系数的关系求方程的两根 之和与两根之积。之和与两根之积。 情感态度与价值观情感态度与价值观: :经历观察经历观察发现发现猜想猜想证明的证明的 思维过程，培养分析和解决问题的能力。思维过程，培养分析和解决问题的能力。教学重难点教学重难点: : 重点：一元二次方程根与系数的关系。重点：一元二次方程根与系数的关系。 难点：运用根与系数关系解决问题。难点：运用根与系数关系解决问题。 1
2、一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？2一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000) 04(2422acbaacbbx探究探究1 1： 填表，观察、猜想填表，观察、猜想 方程 x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 1,121x2+3x-10=02,-5-3-10 x2+5x +4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律； 2q=0的两根1, 2用式子表示你
3、发现的规律。 根与系数关系根与系数关系 20px qx 如果关于的方程如果关于的方程的两根是的两根是 , ,则则:x1x2pxx 21qxx 21如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢探究探究2：填写下表：填写下表：方程方程两个根两个根两根两根之和之和两根两根之积之积a与与b之间之间关系关系a与与c之间之间关系关系1x2x21xx 21xx abac猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根的两个根分别是分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？，那么，你可以发现什么结论？)0(02acbxax1x2x0432xx0652xx01322 xx2321212321465
4、6531213434已知：如果一元二次方程已知：如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x求证：求证：推导:aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进
5、系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 0462 xx01522 xx522x05322 xx0732xx13245练习：口答下列方程的两根之和与两根之积。练习：口答下列方程的两根之和与两根之积。0122
6、xx21,xx_21xx_21xx632 xx21,xx0932mxx_21xx_21xx02qpxx5、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？013. 12 xx 223 .22 xx 032 .32 xx xx214 .426、设、设 x1 、 x2是方程是方程 利用利用 根与系数的根与系数的 关系，求下列各式的值：关系，求下列各式的值： 的根03422xx11).1 (21xx2112).2(xxxx返回例例1 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积不解方程，求出方程的两根之和和两根之积. .05322053122xxxx）（；）（解：（解：（
7、1）设两根为）设两根为x1 x2，由上述二次项系数为，由上述二次项系数为1的的一元二次方程根与系数的关系，可得一元二次方程根与系数的关系，可得5, 32121xxxx返回（2）方程两边同除以）方程两边同除以2，得，得设两根为设两根为1 2，可得，可得.025232xx.25,2323-2121xxxx例例2 试探索一元二次方程试探索一元二次方程 的根与系数的关系的根与系数的关系解：方程两边同除以解：方程两边同除以a，得，得 由二次项系数为由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得的一元二次方程根与系数的关系，可得这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括这就是一般情形下一元
8、二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的特例（二次项系数为的结论是它的特例（二次项系数为1），利用这个结论，我们），利用这个结论，我们)04, 0(022acbacbxax. 02acxabx.,2121acxxabxx可以直接写出例可以直接写出例1中题（中题（2）的答案）的答案.2525,23232121xxxx设设 1 1、2 2是方程是方程2 241=041=0的两个根，则的两个根，则 12 = _ 12 = _ 12 = _ 12 = _， 1222 = 1222 = ； 1-22 = 1-22 = ； 基基础础练练习习12211211xxxxxx1 1、如果、如果-1-1是方程
9、是方程2222m=0m=0的一个根，则另的一个根，则另 一个根是一个根是_，m =_m =_。2 2、设、设 1 1、2 2是方程是方程2 241=041=0的两个根，则的两个根，则 12 = _ ,12 = _ 12 = _ ,12 = _， 1222 = 122 - _ = _ 1222 = 122 - _ = _ 1-22 = _ 2 - 412 = _ 1-22 = _ 2 - 412 = _ 3 3、判断正误：、判断正误： 以以2 2和和-3-3为根的方程是为根的方程是2 2-6=0 -6=0 （ ）4 4、已知两个数的和是、已知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2，则这两个数是，
10、则这两个数是 _ _ 。12212-34114122和和-1基基础础练练习习（还有其他解法吗？）（还有其他解法吗？）23 5 已知方程已知方程 的一个根是的一个根是2，求它的另，求它的另一个根及的值一个根及的值 解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：=-7 答：方程的另一个根是 ，=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx531、设1，2是方程2-2-12=0的两个实数根，且1222=4，求的值。解：由方程有两个实数根，得0242) 1(4kk即-84021 k由根与系数的关系得12= 2-1 , 12=2
11、1222=122-212=4-12-22=22-84由1222 =4，得22-844解得1=0 , 2=4经检验， 2=4不合题意，舍去。 =0解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 12=- 12=-， 1 1 2=22=2 又又 12 2 2 = 4 12 2 2 = 4 即即1 22 -212=4 1 22 -212=4 2- 22 2- 22）=4=4 2-2-8=0 2-2-8=0 = 2-4-8= 2-4-8当当=4=4时，时， 0 0当当=-2=-2时，时，0 0 =-2 =-2解得：解得：=4 或或=2NoImage2 2 已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是且是
12、且 求的值。求的值。 022kkxx2, 1xx42221xx补充规律：补充规律：两根均为负的条件： 12 且12 。 两根均为正的条件： 12 且12 。 两根一正一负的条件： 12 。 当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0 一正根，一正根，一负根一负根0120两个正根两个正根0120120两个负根两个负根0012120 012120 0引申:1、若a2bc0 a0 0（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0 ;（4）若一根为1,则abc0 ;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根 2应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式 3应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系 1一元二次方程根与系数的关系是什么042 acb 请同学们在课后通过以下几道题检测请同学们在课后通过以下几道题检测自己对本节知识的掌握情况：自己对本节知识的掌握情况： 35 练习第练习第2，3题题
