1、数字电子技术基础第二章逻辑代数和逻辑函数化简ppt课件 与逻辑与逻辑2.1 2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算基本逻辑运算和复合逻辑运算或逻辑或逻辑非逻辑非逻辑ABBAY BAY A Y 数码数码0, 1相反的逻辑状态相反的逻辑状态1. 与逻辑：与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，这当决定一事件的所有条件都具备时，这个事件才发生个事件才发生, ,这样的逻辑关系称为这样的逻辑关系称为与与逻辑逻辑。功能表功能表2.1.1 2.1.1 基本逻辑运算基本逻辑运算灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合合合与逻辑关系与逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源ABY真值表真值表与逻辑的表示
2、方法：与逻辑的表示方法：000100011011功能表功能表灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABYABY开关断用开关断用0表示表示, 开关闭合用开关闭合用1表示表示灯亮用灯亮用1表示表示, 灭用灭用0表示表示（Truth table）真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式逻逻辑辑符符号号ABY&000100011011ABBAY ABY 见见0为为0 全全1为为1 与门与门（AND gate)2. 或逻辑：或逻辑： 决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备时，这个事件就会发生时，这个事件就会发生, ,这样的逻辑关系称为这样的逻辑关系
3、称为或逻辑或逻辑。或逻辑关系或逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源真值表真值表011100011011ABY开关断用开关断用0表示表示, 开关闭合用开关闭合用1表示表示灯亮用灯亮用1表示表示, 灭用灭用0表示表示BAY 真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式逻逻辑辑符符号号011100011011ABYABY1 见见1为为1 全全0为为0或门或门（OR gate) )ABY1见见“0”为为“0”，全全“1”为为“1”见见 “1”为为“1”，全全“0”为为“0”&ABY1 1ABY2Y23. 非逻辑：非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事
4、件一定发生的逻辑关系。事件一定发生的逻辑关系。真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式A Y 逻逻辑辑符符号号非逻辑关系非逻辑关系1001AY1开关开关A灯灯Y电源电源RAY非门非门（NOT gate)(1) 与非逻辑与非逻辑 ABY 1AB&1Y2. 1. 2 复合逻辑运算复合逻辑运算真值表真值表 0 0 0 100 0 11011ABY Y1 1 1 1 0 见见0为为1 全全1为为0逻辑函数式逻辑函数式逻逻辑辑符符号号(2) 或或非逻辑非逻辑 2. 1. 2 复合逻辑运算复合逻辑运算真值表真值表 0 1 1 10 0 0 11 01 1ABY Y2 1 0 0 0 见见1为为0 全全0为为1逻辑
5、函数式逻辑函数式逻逻辑辑符符号号BAY 2AB2Y1(3) 与或与或(非非)逻辑逻辑 (真值表略真值表略)CDABY 3AB&CD3Y1CDABY3与或非逻辑与或非逻辑与或逻辑与或逻辑(4) 异或逻辑异或逻辑(5) 同或逻辑同或逻辑( (异或非异或非) )AB=14YBABABAY 401100 00 11 01 1 AB=15YBAY 5= ABABY4ABBA 10010 00 11 01 1ABY5曾用符号曾用符号美国符号美国符号ABYABYABYAYAY国标符号国标符号AB&BAY A1AY ABYABBAY 12. 1. 3 逻辑符号对照逻辑符号对照国标符号国标符号曾用符号曾用符号美
6、国符号美国符号AB&BAY ABYABYABYAB=1BAY ABY ABYABYABBAY 1或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 与：与：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系( (变量：变量：A、B、C) )或：或：A + 0 = AA + 1 = 1与与: :A 0 = 0A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 2. 2. 1 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律一、一、 常量之间的关系常量之间的关系( (常量：常量：0 和和 1 ) ) 2.2 逻辑代数的基本定律及规则逻辑代数的基本
7、定律及规则三、与普通代数相似的定理三、与普通代数相似的定理交换律交换律ABBA ABBA 结合律结合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA 证明公式证明公式)(CABABCA 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左式左式 BCA 证明公式证明公式)(CABABCA 方法二：真值表法方法二：真值表法 ( (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中) ) A B CCB BCA BA CA )(CABA 0 0 00
8、 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理BABA BABA 同一律同一律A + A = AA A = A还原律还原律AA 证明：证明： 德德 摩根定摩根定理理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA BA 00 0 1 1110ABBA 11 0 0 10101110BA BA BA 011110001000相等相等相等相等德德 摩根定摩根定理理五、五、若干常用公式若干常用公式BAA
9、B (1)ABA (2)BAA (3)CAABBCCAAB (4)AAA ) ()(BBA )1(BA )(BAAA A A BA 推广推广 BCAACAAB)( 左左BCAABCCAAB CAAB CAABBCDCAAB 推论推论AABA )( )(CABABCA 分配律分配律ABB ABABA BABA 左左)()(BA BA BBABB AAA ABB A (5)即即BA = AB同理可证同理可证BA ABBABA BABA 六、关于异或运算的一些公式六、关于异或运算的一些公式异或异或同或同或BABABA B AAB AB(1) 交换律交换律ABBA (2) 结合律结合律)()(C BA
10、CBA (3) 分配律分配律 )(ACAB C BA BA = ABBA AB(4) 常量和变量的异或运算常量和变量的异或运算AA 1AA 00 AA1 AA(5) 因果互换律因果互换律如果如果CBA BCA 则有则有ACB BCABCBBA0CABCABAA0证明证明2.2.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则1. 代入规则：代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。辑函数，则等式仍然成立。BABA BCABCABCA )()()(CBBABCABBCAB)(CBACBACBABABA AA1 ABAB1 CABCAB1BABAACABCA
11、BABBABAAAA1CABCAB1)(例如：例如：已知已知 )( 1CDCBAY ) ( ) (1DCCBAY CDCBAY 2 CDCBAY )(22.反演规则：反演规则：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数则则 将将 Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量已知已知则则运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保留不变的反号应保留不变Y3. 对偶规则：对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对如果两个表达式相等，则它们的对偶式
12、也一定相等。偶式也一定相等。将将 Y 中中“. ”换成换成“+”,“+”换成换成“.”“0” 换成换成“1”,“1”换成换成“0” )()(1DC BCAY )( 1CDCBAY CDCBA Y 2 CD CBAY )(2例如例如对偶规则的应用对偶规则的应用：证明等式成立：证明等式成立0 0 = 01 + 1 = 1 0 AA AA1 ) ( 对对偶偶式式Y 运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或 2.3.1 2.3.1 逻辑表达式逻辑表达式 2.3 逻辑函数的表示方法及其转换逻辑函数的表示方法及其转换2.3.2 2.3.2 真值表真值表2.3.3 2.3.3 卡诺图卡诺图2.3.4 2.3
13、.4 逻辑图逻辑图2.3.6 2.3.6 逻辑函数表示方法间的相互转换逻辑函数表示方法间的相互转换2.3.5 2.3.5 波形图波形图逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概念逻辑函数：逻辑函数： CBAFY, 如果输入逻辑变量如果输入逻辑变量 A、B、C 的的取值确定之后，输出逻辑变量取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的的值也被唯一确定，则称值也被唯一确定，则称 Y 是是 A、B、C 的逻辑函数。并记作的逻辑函数。并记作 逻辑函数具有以下特点：逻辑函数具有以下特点：1. 1. 输入变量与输出变量之间的输入变量与输出变量之间的逻辑逻辑关系；关系；2. 2. 函数由三种函数由三种基本逻辑运算基本逻辑运算
14、组成；组成；3. 3. 输入和输出逻辑变量的取值只能是输入和输出逻辑变量的取值只能是0 0或或1 1。逻辑函数的相等逻辑函数的相等),.,(),.,(21222111nnaaafFaaafF 若两逻辑函数具有相同的真值表，则这两若两逻辑函数具有相同的真值表，则这两个逻辑函数相等。个逻辑函数相等。 从逻辑问题建立逻辑函数的过程从逻辑问题建立逻辑函数的过程 在现实生活中，为了解决实际逻辑问在现实生活中，为了解决实际逻辑问题题，应根据提出的问题，确定哪些是逻辑自变量，应根据提出的问题，确定哪些是逻辑自变量，哪些是逻辑因变量，然后研究他们之间的因哪些是逻辑因变量，然后研究他们之间的因果关系，列出真值表
15、，再根据真值表写出逻果关系，列出真值表，再根据真值表写出逻辑表达式。辑表达式。通过一个简单的例子加以通过一个简单的例子加以介绍。介绍。 右图是一个控制楼梯右图是一个控制楼梯照明灯的电路。为了省电，照明灯的电路。为了省电，人在楼下开灯，上楼后可关人在楼下开灯，上楼后可关灯；反之亦然。灯；反之亦然。A A、B B是两个是两个单刀双掷开关，单刀双掷开关，A A装在上，装在上，B B d c b a B A 220 装在楼下。只有当两个开关同时向上或向装在楼下。只有当两个开关同时向上或向下时，灯才被点亮。试用一个逻辑函数来下时，灯才被点亮。试用一个逻辑函数来描述开关描述开关A A、B B与照明灯之间的
16、关系。与照明灯之间的关系。 解：解：(1) 设开关设开关A、B为输入变量为输入变量:开关接开关接 上面为上面为 “1”，开关接下面为，开关接下面为“0”设电灯设电灯L为输出变量，为输出变量，灯亮灯亮L=1，灯灭灯灭L=0。(3) (3) 根据真值表，写出逻辑根据真值表，写出逻辑表达式表达式：(2) 列出列出A、B所有状态及对应输出所有状态及对应输出L的的状态，即状态，即真值表真值表。 把对应函数值为把对应函数值为“1”的变量组合挑出的变量组合挑出（即第（即第1、4）组合，写成一个）组合，写成一个乘积项乘积项；凡取值为凡取值为“1”的写成的写成原变量原变量 A，取值为，取值为“0”的写成的写成反
17、变量反变量 A ；最后，将上述乘积项最后，将上述乘积项相或相或，即为所求函数：，即为所求函数：ABBAL d c b a B A 220 ABL00 0 1 1 0 1 11001CABCABY 优点：优点： 书写简洁方便，易用公式和定理进行运书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。算、变换。缺点：缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。值看出函数的值。2. 3. 1 逻辑表达式逻辑表达式 我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解
18、决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完完备逻辑集备逻辑集”。或与式或与式与或非式与或非式1. 逻辑表达式的类型逻辑表达式的类型BCCAABY 与或式与或式CAAB 与非与非-与非式与非式或与非式或与非式CBCABA )()(CA BA CA BA 或非或非-或非式或非式CAAB CA BA 或非或非-或式或式)(CABA 核心核心标准与或表达式标准与或表达式) ( A ,B ,CFY CBABCACABABC CAAB 1 ） 最小项最小项)()(BBCACCAB 标准与标准与或式或式标准与或式就是最小项之和的形式标准与或式就是最小项之和的形式最小项最
19、小项（1） 最小项的概念：最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。反变量的形式出现一次。) ( A ,B FY ( ( 2 变量共有变量共有 4 个最小项个最小项) )BABABAAB) (A ,B ,C ,DFY ( ( 4 变量共有变量共有 16 个最小项个最小项) )( ( n 变量共有变量共有 2n 个最小项个最小项) )DCBADCBADABCABCDDCBA) ( A ,B ,CFY ( ( 3 变量共有变量共有 8 个最小项个最小项) )CBACBACBABCACBACBACABABC1 CBA1
20、CBA对应规律：对应规律：1 原变量原变量 0 反变量反变量（2） 最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBACBABCACBACBACABABCa 任任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1b 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0 ；c 全体最小项之和为全体最小项之和为 1 ；d
21、 任何两个相邻任何两个相邻项项均可合并成一项并消去一个互补因子。均可合并成一项并消去一个互补因子。（3） 最小项的编号：最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。表示。对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 0CBACBACBABCACBACBACABABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m72） 最小项标准表达式最小项标准表达式CAABA
22、,B ,CFY ) ( BCA CBAABCCAB 3176mmmm m7 , 6 , 3 , 1 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。都可以表示成为最小项之和的形式。)()(BBCACCABY 例例 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式： 解解 或或m6m7m1m3 例例 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：CBADABY )( )( )(CBDABA )( )(CBD BA DCBCABA )()()(AADCBBBCACCBA DCBADCBACBACBABCA DCBADC
23、BADCBADCBA DCBADCBADBCABCDA m7m6m5m4m1m0m88014567mmmmmmm ) 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1 , 0 (mm0与前面与前面m0相重相重ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111优点：优点：直观明了，便于将实际逻直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。辑问题抽象成数学表达式。缺点：缺点：难以用公式和定理进行运难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。列函数真值表较繁琐。CABCABY 2. 3. 2 逻辑真值表逻辑真值
24、表2. 3. 3 卡诺图卡诺图优点：优点： 便于求出逻辑函数的最简便于求出逻辑函数的最简与或表达式。与或表达式。缺点：缺点： 只适于表示和化简变量个数只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。于进行运算和变换。ABC010001 11 10111100001. 变量卡诺图的画法变量卡诺图的画法卡诺图：卡诺图：最小项方格图最小项方格图( (按循环码排列按循环码排列) )（1）变量卡诺图一般都化成正方形或矩形）变量卡诺图一般都化成正方形或矩形（2）按循环码）按循环码 ( (格雷码格雷码) )排列排列变量取值顺序。变量取值顺序。卡诺图：卡诺图：( (按
25、循环码排列按循环码排列) )iiiBBG1G2 G1 G0B2 B1 B0 0 0 0 0 0 0100G 0 0 1001G002G 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 02. 变量变量 的卡诺图的卡诺图 ( (四个最小项四个最小项) )ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB0101三变量三变量 的卡诺图：的卡诺图：八个最小项八个最小项ABC010001 10 1111 10卡诺图的实质：卡诺图的实质：逻辑相邻逻辑相邻几何相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑不相邻逻
26、辑相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着紧挨着行或列的两头行或列的两头对折起来位置重合对折起来位置重合逻辑相邻：逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同 逻辑相邻的两个最小项可逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。以合并成一项，并消去一个因子。如：如：ABCABCACm0m1m2m3m4m5m6m7五变量五变量 的卡诺图：的卡诺图：四变量四变量 的卡诺图：的卡诺图：十六个最小项十六个最小项ABCD0001111000 01 11 10 当变量个数超过当变量个数超过六个以上时，无法使六个以上时，无法使用图形法进行化简。用图形法进行化简。ABCDE000111100
27、00 001 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几几何何相相邻邻几何相邻几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项三十二个最小项3. 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法1）. 根据变量个数画出相应的卡诺图；根据变量个数画出相应的卡诺图；2）. 将函数化为最小项之和的形式
28、；将函数化为最小项之和的形式； 3）. 在卡诺图上与这些在卡诺图上与这些最小项最小项对应的位置上填入对应的位置上填入 1 ， 其余其余位置填位置填 0 或或不填不填。 例例 ) (C B , A ,FY ACBCAB CBABCACABABC ABC010001 11 1011110000CABCABY ABYC&优点：优点：最接近实际电路。最接近实际电路。缺点：缺点：不能进行运算不能进行运算和变换，所表示的和变换，所表示的逻辑关系不直观。逻辑关系不直观。&ABBCAC12. 3. 4 逻辑图逻辑图波形图波形图输入变量和对应的输出变量随输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形时间变化的波形AB
29、Y ABY优点：优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。的对应关系。缺点：缺点： 难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。数增多时，画图较麻烦。2. 3. 5 波形图波形图2. 3. 6 逻辑函数各种表示方法间的相互转换逻辑函数各种表示方法间的相互转换1.1.真值表真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 例例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名和两名副裁判副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上中，必须有两人以上( (必有主裁判必有主裁判
30、) )认定运动认定运动员的动作合格，试举才算成功。员的动作合格，试举才算成功。(1) 真值表真值表函数式函数式ABCCABCBAY 将真值表中使逻辑函数将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的的输入变量取值组合所对应的最小项相输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得加，即得 Y 的逻辑函数式。的逻辑函数式。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111函数式函数式ABCCABCBAY 卡诺图化简卡诺图化简ABC010001 11 1011010000ACABY (2) 函数式函数式逻辑图逻辑图ABY&C&1真值表真值表函数式函数式2.2.逻
31、辑图逻辑图ABBABAY ABBABA )()(BABBAA BABA BA 0110ABY00011011ABABA ABB BAY&2.4 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.4.1 关于逻辑函数化简的几个问题关于逻辑函数化简的几个问题1. 化简的标准化简的标准（1）与项个数最少）与项个数最少 （2）每个与项中变量个数最少）每个与项中变量个数最少卡诺图法卡诺图法代数法代数法2. 化简的方法化简的方法2. 4. 2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1. 并项法并项法: :ABAAB BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY )()(CBCBA C BBCA A
32、 )(CBACBA 例例 例例 （与或式（与或式最简与或式）最简与或式）公式公式定理定理2. 吸收法：吸收法：AABA EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC BA BCABCA BCA 例例 例例 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA 例例3. 消去法：消去法：BABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A ACCABABA CBABA 例例 例例 4.配项消项法：配项消项法：CAABBCCAAB AB ABCACB 或或
33、BCCACACB BCCABA BCCABACBACBAY CBACBA BCCABA BA BCCACACBY 或或BCCABACBACBA 例例 例例 冗余项冗余项冗余项冗余项综合练习：综合练习：EACDECBEDCBBEAACEY DCBACDCBBAACE ) (DCBEADEBECE DCBEADCBE )(DCBEADCBE DCBEAE DCBE DCBADBCE ) (2.4.3 利用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数几何相邻：几何相邻：相接相接 紧挨着紧挨着相对相对 行或列的两头行或列的两头相重相重 对折起来位置重合对折起来位置重合逻辑相邻：逻辑相邻：CABCBA CB
34、CBAA )(例如例如两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同化简方法：化简方法：卡诺图的缺点：卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过函数的变量个数不宜超过 6 个。个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。项，并消去一个因子。1. 卡诺图中最小项合并规律：卡诺图中最小项合并规律：(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC010001 11 100432CBCBACBA BACBACBA ABCD0001111000 01 11 101946DCBDCBADCBA DBADCBADCBA (2) 四
35、个相邻最小项合并可以消去两个因子四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD0001111000 01 11 1004128DC 321011CB ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810DB 81240mmmm DCBADCABDCBADCBA DC 111023mmmm DCBADCBADCBADCBA CB 151375mmmm DCBADCBADCBADCBA BD 10820mmmm DCBADCBADCBADCBA DB (3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD0001111000 01 11 100412
36、8C 321011B ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810D151394612142n 个相邻最小项合并可以消去个相邻最小项合并可以消去 n 个因子个因子总结：总结：2、 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数化简步骤化简步骤: :(1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图(2) 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式 例例 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111CB DBACBACBADB ACBY 解解 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 0
37、1 11 1011111111画包围圈的原则：画包围圈的原则： (1) 先圈孤立项，再圈仅有一先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。种合并方式的最小项。 (2) 圈越大越好，但圈的个数圈越大越好，但圈的个数越少越好。越少越好。 (3) 最小项可重复被圈，但每最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。个圈中至少有一个新的最小项。 (4) 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。比较、检查才能写出最简与或式。不正确不正确的画圈的画圈 例例 mD,C,B,AF) 15 , 13 , 21 , 8 , 6 , 5 , 4
38、 , 1 () ( 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 1011111111(2) 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式多余多余的圈的圈DBAABDDCADCAY 注意：注意：先圈孤立项先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数利用图形法化简函数利用图形法化简函数 例例 mF) 15 , 14 , 11 , 10 , 8 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111111111(2) 合并最小项：合
39、并最小项： 画包围圈画包围圈(3) 写出最简与或写出最简与或 表达式表达式D BD C AACB AY 例例 用图形法求反函数的最简与或表达式用图形法求反函数的最简与或表达式ACBCABY 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABC010001 11 1011110000(2) 合并函数值为合并函数值为 0 的最小项的最小项(3) 写出写出 Y 的反函数的的反函数的 最简与或表达式最简与或表达式CACBBAY 2. 4. 4 具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简1. 无关项（约束）的概念和约束条件无关项（约束）的概念和约束条件(1) 约束：约束： 输入变量取值所受的限制输
40、入变量取值所受的限制例如，例如，逻辑变量逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的分别表示电梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。A = 1 表示升表示升，B = 1 表示降表示降，C = 1 表示停表示停。ABC 的可能取值的可能取值(2) 约束项：约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值不可能取值001010100000011101110111(3) 约束条件：约束条件：ABCCABCBABCACBA 0 ABCCABCBABCAC B A(2) 在逻辑表达式中，用等于在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。的条件等式表示。00001110111
41、0111由约束项相加所构成的值为由约束项相加所构成的值为 0 的的逻辑表达式。逻辑表达式。约束项：约束项：约束条件：约束条件：或或0) 7 , 6 , 5 , 3 , 0 ( d2. 约束条件的表示方法约束条件的表示方法(1) 在真值表和卡诺图上用叉号在真值表和卡诺图上用叉号( () )表示。表示。例如，上例中例如，上例中 ABC 的不可能取值为的不可能取值为3. 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数 dmDC ,B ,A ,F ) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 () 8 , 7 , 1 () ( 化简步骤化简步骤: :
42、(1) 画函数的卡诺图，顺序画函数的卡诺图，顺序 为：为：ABCD0001111000 01 11 10先填先填 1 0111000000(2) 合并最小项，画圈时合并最小项，画圈时 既可以当既可以当 1 ，又可以当又可以当 0(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式DA DAY 解解 0) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 ( d 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数DCBADCBADCAY 约束条件约束条件0 ACAB 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111(2) 合并最小项合并最小项(3) 写出最简与或表达
43、式写出最简与或表达式DAD BDCY 合并时，究竟把合并时，究竟把 作为作为 1 还是作为还是作为 0 应以得到应以得到的的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义是约束项无意义( (如图所示如图所示) )。注意：注意：0 ACAB1. 三种基本逻辑运算：三种基本逻辑运算：与与 、或、非、或、非2. 四种复合逻辑运算：四种复合逻辑运算： 与非与非 、或非、与或非、异或、或非、与或非、异或 是推演、变换和化简逻辑函数的依据，有些与普通代数相同，是推演、变换和化简逻辑函数的依据，有些与普通代数相同，有些则完全不同，要认真加以区别。这些定理中，有些则
44、完全不同，要认真加以区别。这些定理中，摩根定理摩根定理最为最为常用。常用。真值表真值表 函数式函数式 逻辑符号逻辑符号练习练习 求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。DACBAY 解解)( )(DACBADACBADACBAY DCCADBABDA CAABDA 真值表、卡诺图、函数式、逻辑图和波形图。真值表、卡诺图、函数式、逻辑图和波形图。 它们各有特点，但本质相同，可以相互转换。尤它们各有特点，但本质相同，可以相互转换。尤其是由其是由真值表真值表 逻辑图逻辑图 和和 逻辑图逻辑图 真值表真值表， 在逻在逻辑电路的分析和设计中经常用到，必须熟练掌
45、握。辑电路的分析和设计中经常用到，必须熟练掌握。 化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、成本低、可靠性高。化简的方法主要有简单、成本低、可靠性高。化简的方法主要有公式化简法公式化简法和和图图形化简法形化简法两种。两种。1. 公式化简法：公式化简法：可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理，练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理，并要求具有一定的运算技巧和经验。并要求具有一定的运算技巧和经验。2. 图形化简法：图形化简法：简单、直观，不易出错，有一定的步骤和简单、
46、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。但是，当函数的变量个数多于方法可循。但是，当函数的变量个数多于六个时，就失去了优点，没有实用价值。六个时，就失去了优点，没有实用价值。 约束项：约束项：（无关项）（无关项）可以取可以取 0，也可以取，也可以取 1，它的取值对逻辑函，它的取值对逻辑函数值没有影响，应充分利用这一特点化简数值没有影响，应充分利用这一特点化简逻辑函数，以得到更为满意的化简结果。逻辑函数，以得到更为满意的化简结果。 练习练习 用公式法将下列函数化简为最简与或式。用公式法将下列函数化简为最简与或式。1. YABCABDBE(DEAD) B2. ()YACBCBDCDA BCABCD
47、ABDE BCDCBDBABADCBAY 1. 练习练习 用图形法将下列函数化简为最简与或式。用图形法将下列函数化简为最简与或式。 dmDC ,B ,A ,F ) 15 14 13 , 12 11 10 () 9 8 2 1 0 ( ) ( . 2 ，1. YABCABDBE(DEAD ) B BDADEEADCAB 1 练习练习 用公式法将下列函数化简为最简与或式。用公式法将下列函数化简为最简与或式。2. ()YACBCBDCDA BCABCDABDE DEBACBADCDBCBAC DCDBCBA DBCBA DEBAADCDBCBAC 练习练习 用图形法将下列函数化简为最简与或式。用图形法将下列函数化简为最简与或式。（1） 画函数的卡诺图画函数的卡诺图（2） 合并最小项：画包围圈合并最小项：画包围圈（3） 写出最简与或表达式写出最简与或表达式BCDCBDBABADCBAY 1.ABCD0001111000 01 11 1011111111BD DADCDCBDDAY 解解 11
