1、洛必达法则在解高考试题中的应用一、洛必达法则一、洛必达法则2、结构：高中主要用于 ， 两种类型 其他结构需转化才能应用。001、功能：用于求极限值。解读洛必达法则：解读洛必达法则：洛必达：洛必达：1661-17041661-1704法国数学家法国数学家3、注意事项：未定式可以连续应用，已定式不能再用。二、洛必达法则求极限二、洛必达法则求极限例例1.1.求求x xs si in nx xl li im m0 0 x x解析：解析： 型型0 00 01 11 1c co os sx xl li im mx x) )( (s si in nx xl li im mx xs si in nx xl l
2、i im m0 0 x x0 0 x x0 0 x x二、洛必达法则求极限二、洛必达法则求极限例例2.2.求求x xl ln nx xl li im m0 0 x x解析：不适合条件，需转化解析：不适合条件，需转化0 0 x x) )( (l li im mx x1 1x x1 1l li im mx x1 1l ln nx xl li im mx xl ln nx xl li im m0 0 x x2 20 0 x x0 0 x x0 0 x x例例3.3.求求) )l ln nx x1 11 1x x1 1( (l li im m1 1x x解析：解析：2 21 1x x1 1x x1 1
3、x x1 1l li im mx x1 11 1l ln nx x1 1x x1 1l li im mx x1 1x xl ln nx x1 1x x1 1l li im m1 1) )l ln nx x( (x x1 1x xl ln nx xl li im m) )l ln nx x1 11 1x x1 1( (l li im m2 22 21 1x x1 1x x1 1x x1 1x x1 1x x例例4.4.求求2 23 3x xx x1 1x xx xx xl li im m3 32 23 31 1x x解析：解析：3 32 26 6x x2 26 6x xl li im m3 33
4、 3x x1 12 2x x3 3x xl li im m2 23 3x xx x1 1x xx xx xl li im m1 1x x2 22 21 1x x3 32 23 31 1x x注意：注意： 为已定式，不能再用洛必达法则。为已定式，不能再用洛必达法则。6 6x x2 26 6x xl li im m1 1x x例例5.5.若若 ，求，求5 5h hh h) )f f( (x x2 2h h) )f f( (x xl li im m0 00 00 0h h2 2) )( (x xf f0 0解析：解析：556 6) )( (x xf f3 35 5h h) )( (x xf f2 2
5、h h) )( (x xf f2 2l li im m5 5h hh h) )f f( (x x2 2h h) )f f( (x xl li im m0 00 00 00 0h h0 00 00 0h h三、洛必达法则的应用三、洛必达法则的应用1.1.不等式恒成立或能成立题目。不等式恒成立或能成立题目。适用题型：适用题型：2.2.能分离参数成能分离参数成 或或 ，归结，归结为求为求 的某个最值的某个最值( (或其极限值或其极限值) )问题。问题。 )(xha )(xha )(xh3.3.常规方法不易求得最值或其极限值常规方法不易求得最值或其极限值( (往往往往多次求导后仍为超越结构多次求导后仍
6、为超越结构) )。4.4.在某个端点或断点处应用洛必达法则猜测在某个端点或断点处应用洛必达法则猜测出最值出最值( (或极限值或极限值) )后需要证明。后需要证明。的解集为的解集为 ，若存在，求出，若存在，求出（2 2）是否存在实数）是否存在实数 ，使得关于，使得关于 的不等式的不等式（1 1）求）求例题选讲例题选讲) 1ln(ln1ln)(08. 1xxxxxf辽宁理）（例)(xfxaxf)(), 0( 的单调区间和极值；的单调区间和极值；的范围；不存在，说明理由。的范围；不存在，说明理由。aa考考虑虑洛洛必必达达法法则则：。且且导导数数仍仍为为为为超超越越结结构构接接求求导导显显然然麻麻烦烦
7、，值值或或最最小小极极限限值值。但但直直需需f f( (x x) )的的最最小小) )恒恒成成立立, ,a a在在( (0 0, ,f f( (x x) )解析解析:(1):(1)略。略。(2)(2)分析：注意定义域分析：注意定义域 ，题目等价于，题目等价于) )( (0 0, ,0 0 x x) )( (l li im mx x1 1x x1 1l li im m1 1x x1 1l ln nx xl li im mx x1 1x xl ln nx xl li im ml ln nx x x x1 1x x1 1) ) l ln n( (x xl li im mf f( (x x) )l l
8、i im m0 0 x x2 20 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0 x x0 00 0，下下证证f f( (x x) )猜猜测测a a0 0) )0 0( (x xl ln nx x1 1) )l ln n( (x xl ln nx xx x1 1x x1 1) )l ln n( (x x1 1) )l ln n( (x xl ln nx xx x1 1l ln nx xf f( (x x) )0 0所所以以a a 说明：对说明：对 和和 哪个端点求极限？哪个端点求极限？0法法1 1、两个都求取小；、两个都求取小；法法2 2、取特殊值比较取舍。、取特殊值比较取舍。限
9、限0 0，所所以以应应该该取取0 0处处极极l ln n2 2此此题题如如取取f f( (1 1) )例例2.(082.(08全国理全国理2 2）（1 1）求）求f(x)f(x)单调区间；单调区间；（2 2）若对）若对 都有都有 , ,求求a a范围。范围。xxxfcos2sin)(0 xaxxf)(解析：解析：(1)(1)略略 (2) (2)当当 时，时，0 x当当 时，时，0 xaxxxxfcos2sin)(Ra)()cos2(sinxhxxxa31sincos2coslim)(lim00 xxxxxhaxx所以为必要条件为必要条件下证下证31)(xh)0( , 0cos2sin3)()0
10、( ,31)cos2(sinxxxxxgxxxx因为因为0)cos2(1cos2cos)cos2(1cos231)(222xxxxxxg所以所以31)(0)0()(xhgxg所以所以31a证证(1)(1)：不等式证明结构较复杂时可以考虑：不等式证明结构较复杂时可以考虑变形后证明。变形后证明。) 1(01) 1() 1(1111)(1xxexxexxxexxxfxxxx时，) 1( 1xxeyx构造函数构造函数求导，判断单调性解决（略）求导，判断单调性解决（略）(2)(2)恒恒( (能能) )不等式两种思路：不等式两种思路：不分离参数函数法分析不分离参数函数法分析( (要讨论参数要讨论参数) )
11、；分离参数考虑最值分离参数考虑最值( (必要时用洛必达法则必要时用洛必达法则) )。这里主要提供第二种思路。这里主要提供第二种思路。0a1axx), 0 若若，则，则在在 必能小于必能小于0,0,所以不等式不可能恒成立所以不等式不可能恒成立( (舍舍) )0a0 x若若，若，若，恒成立，恒成立), 0( x若若，则，则注意注意), 1 )(), 0 xfx用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小极限值点在极限值点在0 0或或恒成立。)() 1(1111)(101xhexexexeaxfxaxaxxxxx)(xh), 0( x下面求下面求, ,的最小值或最
12、小极限值。的最小值或最小极限值。位置，位置， 由洛必达法则：由洛必达法则：212lim1lim) 1(1lim)(lim0000 xxxxxxxxxxxxxxexeexeexexeexexexh21, 0a为必要条件。为必要条件。下证下证)0( ,21) 1(1)(xexexexhxxx)0(022)(xxexexgxx1)(xxexexg0)( xxexg)(xg), 0( 因为因为，所以所以在在增增0)0()(gxg)(xg21)(0)0()(xhgxg所以所以), 0( 在在增增所以所以21, 0a1, 1baxxx11ln)(1ln211ln2xgxxxkxkxx), 1 () 1 ,
13、 0(x解析解析:(1):(1)(2)(2)即即，恒成立恒成立012lim/11/2lim1ln2lim1ln2lim)(lim20200200 xxxxxxxxxxxgxxxxx0/11/2lim1ln2lim1ln2lim)(lim22xxxxxxxxxgxxxx12)ln1 (2lim1ln2lim)(lim1211xxxxxxgxxx所以猜测所以猜测01)(kxg1)(xg, 11ln22xxx), 1 () 1 , 0(x下证下证) 1 , 0(x01ln2)(1ln211ln2222xxxxhxxxxxx当当 时，时，022)(2ln22)( xxhxxxh)(xh) 1 , 0(
14、0) 1 ()(hxh)(xh) 1 , 0(0) 1 ()( hxh因为因为所以所以在在增，所以增，所以所以所以在在减，所以减，所以所以所以1)(xg), 1 ( x0k同理可证同理可证时时所以所以1)(xg)0(212) 1ln()(aaxxxxf1a)(xf2 , 0 x0)(xfa例例5.5.复旦周考复旦周考3 3（2121）：已知函数）：已知函数（1 1）当）当时，求时，求的最小值；的最小值；时，时，恒成立，求实数恒成立，求实数的取值范围。的取值范围。（2 2）若）若0)0()(min fxf解析解析:(1):(1)02) 1(2ln)(tattty3 , 1 t1tRa(2)(2)
15、 法法1 1：对对 恒成立恒成立时，时，3 , 1 (t)() 1(22ln122lnthtttttttta时，时，恒成立恒成立1122ln1lim)(lim11ttthtt163ln34)3(h11)(ath猜测猜测 下证：下证： 22ln) 1(ttta即需证即需证3 , 1 (, 023ln) 1(22ln1) 1(22ln2ttttttttttttttt3 , 1 (, 023ln)(2tttttt022ln32ln1)(ttttt令令因为因为 3 , 1 ()( 在t0) 1 ()(t1a所以所以增，所以增，所以得证。得证。所以所以法法2 2：令：令 即，即，3 , 1 1tx02)
16、 1(2ln)(tattty3 , 1 t)0(221)(222attatattty对对恒成立恒成立2)(2tattg021at1) 1 ( ag019)3( ag令令轴轴，g(t)t013101) 1 (aag若若时，时，)(tg3 , 1 0t则则在在必有唯一零点必有唯一零点)(ty, 1 0t 3 ,0t0) 1 (y又0)(0ty所以所以在在减，减，增增，所以，所以不适合。不适合。101) 1 (aag)(tg3 , 1 0) 1 (y1a若若时，时，在在增，因为增，因为，显然适合，显然适合所以所以02) 1(2lntatt3 , 1 t2) 1(2lntattttty2ln)(12)
17、 1()(2taty法法3 3：对对恒成立，即恒成立，即考虑函数考虑函数，20221)(221tttttty由)(1ty2, 1 3 , 2( (都过定点都过定点(1,2)(1,2)所以所以在在减，减，增增0441)(3321 ttttty)(1ty3 , 1 t11) 1 (1aay32（1，2）1因为因为，所以，所以在在为凹函数为凹函数所以所以例例6.6.)() 1()(2Rmxexmxfx2m)(xf 1 , 2)()2(2xfxmx)0 ,(xm巴蜀周考巴蜀周考6 6（2222）：已知函数）：已知函数（1 1）当）当时，求函数时，求函数在在上的最小值；上的最小值；在在上恒成立，求实数上
18、恒成立，求实数的取值范围。的取值范围。（2 2）若）若xemmxmexyxx) 1(0)()0 ,(x)(1xgexmx11lim)(lim00 xxxexg22) 1()() 1(1)(xxxxexhexeexg1m(2)(2)法法1 1：对对恒成立恒成立又又所以所以0)(xxexh所以所以)(xg在在)0 ,(x减减1) 1 ()(min fxf解析：解析：(1)(1)即即 对对 恒成立恒成立xmxexexmmexfxxx22) 1()(法法2 2：)()2(2xfxmxxmemx)0 ,(x即即对对上恒成立上恒成立0)(mxmexyx0)0(y1)(xmexy注意注意)0 ,(x0m01
19、)(xmexy)(xy)0 ,(0)0()( yxy若若，则，则在在减，所以减，所以适合适合0mmxmexyx1ln01)()(xy1ln,(m),1lnm若若，令，令所以所以在在减，减，增。增。101lnmm)(xy)0 ,1lnm0)0(y0y1 1）若）若时，则时，则在在增，增，则在该区间，则在该区间不适合；不适合；1001lnmm)(xy)0 ,(0)0()( yxy1m2 2）若）若时，则时，则在在减，所以减，所以适合。适合。综上：综上：)0 ,(,xmxmex,)(1xmexymxxy)(2法法3：即：即，考虑函数，考虑函数( (都过点都过点(0,m)(0,m)0m)(1xy)0
20、,()(2xy)0 ,(当当时，时，在在减，减，在在增，适合；增，适合； 0m0m)(1xy)0 ,()(,2xymm当当时，适合；时，适合；时，时，在在增。增。当当101)0(1my1m此时需此时需综上：综上：1.(20101.(2010全国新课标）全国新课标）（1 1）a=0a=0时，求时，求f(x)f(x)单调区间；单调区间；（2 2）若）若 时都有时都有 ，求，求a a范围。范围。21)(axxexfx0 x0)(xf跟踪练习跟踪练习2.2.关于关于x x的不等式的不等式 在在 有解，求实数有解，求实数a a的取值范围。的取值范围。 3sinaxxx3.(20113.(2011武汉调研）武汉调研）0 x时，不等式时，不等式32)1ln(axxxx恒成立，求实数恒成立，求实数a a的取值范围。的取值范围。)2, 0(
