1、题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题类型一二次函数与线段问题类型一二次函数与线段问题典例精讲典例精讲1. 单一函数问题单一函数问题【思维教练】已知点【思维教练】已知点A的坐标及抛物线对称轴，根据抛物线的坐标及抛物线对称轴，根据抛物线的对称性可得点的对称性可得点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可的坐标，然后利用待定系数法求解即可(1)求抛物线的解析式及点求抛物线的解析式及点B的坐标；的坐标；例1题图例例1 如图，已知抛物线如图，已知抛物线yax2bx3 与与x轴交于点轴交于点A(3，0)，B(点点A在点在点B的左的左侧侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，对称轴为直线，对称轴为直线x3.3题型
2、九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(1)解：解：A(3，0)，对称轴为直线，对称轴为直线x3，点点B的坐标为的坐标为(9，0)，将点将点A(3，0)，B(9，0)代入抛物线解析式中得，代入抛物线解析式中得， 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(2)连接连接BC，设，设D是第一象限内抛物线上的一个动点，过是第一象限内抛物线上的一个动点，过D作作DQOB于点于点Q，交，交BC于点于点E.设点设点Q的坐标为的坐标为(m，0)用含用含m的代数式表示的代数式表示DE的长，并计的长，并计算当算当m为何值时，为何值时，DE最大；最大；【思维教练】根据【思维教
3、练】根据DQOB于点于点Q，交，交BC于点于点E，可得点，可得点D、E、Q的横坐标相的横坐标相同，从而根据点的坐标特征分别用含同，从而根据点的坐标特征分别用含m的代数式表示出点的代数式表示出点D、E的纵坐标，由的纵坐标，由DEyDyE即可得即可得DE的长，进而利用函数的性质确定的长，进而利用函数的性质确定DE的最大值的最大值例1题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题直线直线BC的解析式为的解析式为y x3 .DQOB于点于点Q，点，点Q的坐标为的坐标为(m，0)，点点D的坐标为的坐标为(m， m2 m3 )，点，点E的坐标为的坐标为(m， m3 )，(2)解：解：令令x0，得，得y3 ，
4、点点C的坐标为的坐标为(0，3 )，设直线设直线BC的解析式为的解析式为ykxc，将点，将点B(9，0)，C(0，3 )代入得，代入得，2 333题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题DEyDyE 0，0m9，当当m 时，时，DE最大；最大；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题用含用含m的代数式表示的代数式表示CE的长；的长；例1题图【思维教练】要用含【思维教练】要用含m的代数式表示的代数式表示CE的长，的长，BC的长易知，的长易知，观察图形可知需确定观察图形可知需确定BE，从而利用，从而利用CEBCBE求解，利求解，利用锐角三角函数易求得用锐角三角函数易求得CBO30，得，得BE2EQ
5、，BC2OC，即需确定，即需确定EQ的长，即可解得的长，即可解得题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题tanCBO ，CBO30，BE2EQ m6 ，又又BC2OC6，CEBCBE6 ( m6 ) m，即即CE m；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题当当m为何值时，为何值时，DE EQ；53例1题图【思维教练】要求【思维教练】要求DE EQ，只需分别表示，只需分别表示DE和和EQ的的长，列方程求解即可长，列方程求解即可【突破设问】线段数量关系问题：用含相同字母【突破设问】线段数量关系问题：用含相同字母(未知数未知数)的代数式分别表示题设中的线段，结合题干列出满足线段的代数式分别表示题设
6、中的线段，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可数量关系的方程，解方程求解即可(注意排除不符合题意注意排除不符合题意的值的值)53题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题由由知知DE m2 m，EQ m3 ，DE EQ，3( m2 m)5( m3 )，解得解得m15，m29(与与B点重合，舍去点重合，舍去)，当当m5时，时，DE EQ；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题【思维教练】由【思维教练】由DEGBEQ60，从而用，从而用DE分别表示分别表示DG和和GE，进而用，进而用DE表示出表示出DGE的周长，故只需确定的周长，故只需确定DE的最大值即可得解的最大值即可得解过点过点
7、D作作DGBC于点于点G，求，求DGE周长的最大值；周长的最大值；例1题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题在在RtBQE中，中，QBE30，EQB90，DEGBEQ60，DGBC，DGDGE的周长为的周长为DEEGDGDE当当DE取最大值时，取最大值时，DGE的周长取最大值，由的周长取最大值，由(2)得得DE最大值为最大值为DGE周长的最大值为周长的最大值为题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题【思维教练】要求【思维教练】要求DPQP的最小值，只需作点的最小值，只需作点Q关于对称轴的对称点关于对称轴的对称点K，利用，利用“两两点之间，线段最短点之间，线段最短”，连接，连接DK与对称轴
8、的交点即为点与对称轴的交点即为点P，从而利用对称性及勾股定，从而利用对称性及勾股定理求解即可理求解即可当当DE取得最大值时，在抛物线的对称轴上取一点取得最大值时，在抛物线的对称轴上取一点P，使得，使得DPQP的值最小，的值最小，求此时点求此时点P的坐标及这个最小值的坐标及这个最小值;例1题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题由由知，当知，当m 时，时，DE有最大值，有最大值，此时点此时点Q的坐标为的坐标为( ，0)，点，点D的坐标为的坐标为( ， )，如解图如解图，设点，设点Q关于直线关于直线x3的对称点为的对称点为K，则点，则点K的坐标为的坐标为( ，0)，连接连接DK交直线交直线x3
9、于点于点P，则此时，则此时DPQP的值最小，的值最小，DPQP的最小值为的最小值为DK设直线设直线x3与与x轴交于点轴交于点H，则则KHHQ，PHDQ，PH为为KQD的中位线，的中位线，PH DQ ，点点P的坐标为的坐标为(3， )；例1题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题【思维教练】要证【思维教练】要证ARCR，可分别计算，可分别计算AR、CR的长，再判断即可的长，再判断即可(3)连接连接AC，已知，已知y轴上一点轴上一点R的坐标为的坐标为(0， )，设过，设过R的直线的直线l：ykxt交交AC于于M，交，交AB于于N(点点M，N不重合不重合)连接连接AR，求证：，求证：ARCR；
10、例1题图3题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题证明：证明：A(3，0)，R(0， )，AOR90，由勾股定理得由勾股定理得AR 2 ，CRCOOR3 2 ，ARCR；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题当当MR NR时，求直线时，求直线l的解析式；的解析式；12【思维教练】要求直线【思维教练】要求直线l的解析式，由于直线的解析式，由于直线l经过点经过点R，故只需再得到直线上一，故只需再得到直线上一点坐标即可，过点坐标即可，过M作作MKx轴于轴于K，根据题意，根据题意MR NR，从而得到，从而得到OR MK，即可确定即可确定KM的长，进而得到点的长，进而得到点M的坐标，然后利用待定系数法
11、求解即可的坐标，然后利用待定系数法求解即可1223例1题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题解：解：如解图如解图，过点，过点M作作MKx轴于点轴于点K，ROx轴，轴，ROMK，NORNKM，MR NR，例1题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题KMCO，AK AO，点点M的坐标为的坐标为( ， )，将点将点M，R的坐标代入直线的坐标代入直线l的解析式得的解析式得直线直线l的解析式为的解析式为y x ；例1题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题是否存在这样的直线是否存在这样的直线l，使得，使得ARRN，若存在，求，若存在，求k的值，若不存在，说明理由；的值，若不存在，说明理
12、由；例1题图【思维教练】要求【思维教练】要求ARRN时时k的值，先分别表示的值，先分别表示AR和和RN，由，由ARCR2 ，从而只需从而只需RN2 ，解方程即可，解方程即可33题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题解：解：存在，存在，点点R(0， )在直线在直线l上，上，t ，令令y0，得，得x ，点点N的坐标为的坐标为( ，0)，在在RtRON中，由勾股定理得中，由勾股定理得RN2OR2ON23 ，当当k 时，时，点点N与点与点M、点、点A三点重合，舍去，三点重合，舍去，存在这样的直线存在这样的直线l，使得，使得ARNR，此时，此时k ；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题猜想猜想 是
13、否为定值，并说明理由是否为定值，并说明理由AM1AN1【思维教练】要判断【思维教练】要判断 为定值，可先分别表示为定值，可先分别表示AM，AN，再求和计算，再求和计算，注意运算过程要合理正确注意运算过程要合理正确AM1AN1例1题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题解：解： 为定值，理由如下：为定值，理由如下：由由知直线知直线l：ykx ，N( ，0)，易得直线易得直线AC的解析式为的解析式为y x3 ，3题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题例1题解图如解图如解图，过点，过点M作作MKx轴于点轴于点K，tanMAKMAK60，AM题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题类型二二次函数
14、与面积问题类型二二次函数与面积问题(北部湾经济区：北部湾经济区：2019.26(3)；南宁：；南宁：2014.26(2)，2011.26(2)例例 2(1)如图如图，在平面直角坐标系中，点，在平面直角坐标系中，点A(1，0)、B(2，0)、C(3，3)，求，求ABC的面积；的面积；例2题图典例精讲典例精讲题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题解：解：(1)如解图如解图，过点，过点C作作CDx轴于点轴于点D.点点A、B、C坐标分别为坐标分别为(1，0)，(2，0)，(3，3)，AB3，CD3，SABC ABCD 33 ；例2题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(2)如图如图，在平面直
15、角坐标系中，点，在平面直角坐标系中，点A(1，1)、C(3，2)、P(1， )，PPy轴交轴交AC于点于点P，求，求ACP的面积；的面积；12例2题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(2)设点设点A，C所在直线的解析式为所在直线的解析式为ykxb，将，将A(1，1)、C(3，2)代入代入ykxb，得，得直线直线AC的解析式为的解析式为y x .P(1， )，yP 1 ，点点P的坐标为的坐标为(1， )，PP ( )2.题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题如解图如解图，过点，过点A作作AEPP于点于点E，过点，过点C作作CFPP于点于点F，E(1，1)，F(1，2)，AE2，CF2，
16、SACPSAPPSCPP PP(AECF) 244.例2题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(3)如图如图，在平面直角坐标系中，点，在平面直角坐标系中，点B(4，0)、C(0，3)、P(3，2)，求四边形，求四边形OBPC的面积；的面积；例2题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(3)如解图如解图，过点，过点P作作PEy轴于点轴于点E，点点E的坐标为的坐标为(0，2)B(4，0)，C(0，3)，P(3，2)，CE1，PE3，OB4，OE2，S四边形四边形OBPCSPCES四边形四边形OBPE CEPE OE(PEOB) 13 2(34) .例2题解图题型九二次函数压轴题题型九二
17、次函数压轴题(4)已知抛物线已知抛物线yax22axa4与与x轴交于轴交于A、B两点两点(A在在B的左侧的左侧)，交，交y轴于轴于点点C(0，3)，M是抛物线的顶点是抛物线的顶点如图如图，连接，连接BC，BM，CM，求，求BCM的面积；的面积；例2题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题将点将点C(0，3)代入抛物线代入抛物线yax22axa4，解得，解得a1，抛物线解析式为抛物线解析式为yx22x3，xM 1，yM1234点点M的坐标为的坐标为(1，4)令令x22x30，解得，解得x11，x23，点点A在点在点B的左侧，的左侧，点点B在坐标为在坐标为(3，0)如解图如解图，过点，过点M作
18、作MEy轴于点轴于点E，过点，过点B作作BFEM于点于点F.由题意可知由题意可知CE1，EM1，MF2，BF4，SBCMS四边形四边形CEFBSCEMSBMF 3(14) 11 243.题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题如图如图，若点，若点P是抛物线上不同于点是抛物线上不同于点C的一点，连接的一点，连接AC、AP、BC、BP，若，若SABCSABP，求点，求点P的坐标；的坐标；例2题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题设点设点P的坐标为的坐标为(xP，yP)，SABCSABP， ABOC AB|yP|，yP3或或yP3，()当当yP3时，时，x22x33，解得解得x11 ，x21
19、.()当当yP3时，时，x22x33，解得解得x30，x42，点点P与点与点C不重合，不重合，xP0，综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点P有有3个，坐标分别为个，坐标分别为(1 ，3)或或(1 ，3)或或(2，3)；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题如图如图，已知点，已知点Q是第四象限内是第四象限内抛物线上一点，求抛物线上一点，求BCQ面积的最大值；面积的最大值；例2题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题如解图如解图，过点，过点Q作作QHx轴，交轴，交BC于点于点H，由题意可得，设，由题意可得，设Q(r，r22r3)，B(3，0)，C(0，3)可得直线可得直线BC的解析式
20、为的解析式为yx3，H(r，r3)且且0r3，HQr3(r22r3)r23r，SBCQ HQxB (r23r)3 r2 r (r )2 ，当当r 时，时，SBCQ有最大值，最大值为有最大值，最大值为 ；例2题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题如图如图，已知点，已知点Q是第四象限内抛物线上一点，过点是第四象限内抛物线上一点，过点Q作作QRx轴于点轴于点R，若，若QR将将CMB的面积分为的面积分为21两部分，求点两部分，求点Q的坐标的坐标例2题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题如解图如解图，例2题解图()当点当点Q与点与点M重合时，设重合时，设RQ与与BC交于点交于点N，易得易得
21、SCMNSBMN12，满足题意，满足题意，此时点此时点Q的坐标为的坐标为(1，4)；()当点当点Q与点与点M不重合时，则点不重合时，则点Q应当在应当在B、M之间，设之间，设QR分分别与别与BM、BC相交于点相交于点T、S，则此时，则此时SBTSSBCM13B(3，0)，M(1，4)，直线直线BM的解析式为的解析式为y2x6，设点设点R的坐标为的坐标为(r，0)，则，则Q(r，r22r3)，且，且1r3，题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题T(r，2r6)，S(r，r3)，STr3(2r6)3r.SBSTSBCM13，由由(4)得得SBCM3，SBST1，即即 (3r)(3r)1，解得解得r
22、3 或或r3 (舍舍)，则点则点Q的坐标为的坐标为(3 ，24 )综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的Q点坐标为点坐标为(1，4)或或(3 ，24 )题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题类型三二次函数与等腰三角形的判定问题类型三二次函数与等腰三角形的判定问题(北部湾经济区：北部湾经济区：2017.26(2)典例精讲典例精讲例例 3如图如图，直线，直线yx3与与x轴交于点轴交于点A，与，与y轴交于点轴交于点C，抛物线，抛物线yax22axc(a0)经过点经过点A、C，与，与x轴交于另一点轴交于另一点B，且点，且点B(1，0)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式【思维教练】要求抛物线的解
23、析式，由题干条件知点【思维教练】要求抛物线的解析式，由题干条件知点A、C在抛物线上，只需求出点在抛物线上，只需求出点A和点和点C的坐标即可结合题目条的坐标即可结合题目条件，点件，点A和和C也在直线也在直线yx3上，分别令上，分别令x0，y0即可即可求出点求出点A、C的坐标，代入抛物线解析式中列方程求解的坐标，代入抛物线解析式中列方程求解例3题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题解：解：(1)直线直线yx3与与x轴交于点轴交于点A，与与y轴相交于点轴相交于点C，A(3，0)，C(0，3)抛物线经过抛物线经过A、C， 抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3；题型九二次函数压轴题题型九二
24、次函数压轴题(2)点点D是是y轴上一动点，若轴上一动点，若BDCD，求此时点，求此时点D的坐标；的坐标；例3题图【思维教练】要求点【思维教练】要求点D的坐标，由题干条件知点的坐标，由题干条件知点D是动点且在是动点且在y轴上，所以可设轴上，所以可设其坐标为其坐标为(0，d)，又因为线段，又因为线段BDCD，而点，而点B、C已知，所以可用含字母已知，所以可用含字母d的代的代数式表示出线段数式表示出线段BD和和CD，结合，结合BDCD，求解即可，求解即可题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(2)如解图如解图，设，设D(0，d)，在在RtODB中，中，ODd，OB1，BD2OD2OB2d21，CD
25、2(3d)2，BDCD，d21(3d)2，解得解得d ，点点D坐标为坐标为(0， )；例3题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(3)在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点E，使，使EAC是以是以AC为底的等腰三角形？若存在，求为底的等腰三角形？若存在，求出点出点E的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例3题图【思维教练】【思维教练】EAC是以是以AC为底的等腰三角形，则为底的等腰三角形，则EAEC，即点，即点E在线段在线段AC的的垂直平分线上，又因为点垂直平分线上，又因为点E在抛物线上，所以作线段在抛物线上，所以作线段AC的垂直平分线与抛物线的的垂直平分线与抛
26、物线的交点即为所求交点即为所求题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(3)存在存在如解图如解图，过点，过点O作作OHAC于点于点H，交抛物线于点，交抛物线于点E1，E2，连接，连接E1A，E1C，E2A，E2C.OAOC3，OHAC，AHCH，OH是是AC的垂直平分线，的垂直平分线，E1AE1C，E2AE2C，OH在第二象限垂直平分在第二象限垂直平分AC且且OAOC，直线直线OH的函数解析式为的函数解析式为yx，例3题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点E共有共有2个，分别为个，分别为例3题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(4)
27、如图如图，连接，连接BC，在直线，在直线AC上是否存在点上是否存在点F，使，使BCF是以是以BC为腰的等腰为腰的等腰三角形，若存在，求出点三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例3题图【思维教练】【思维教练】BCF是以是以BC为腰的等腰三角形，则有为腰的等腰三角形，则有2种情况，即种情况，即BCBF或或BCCF.所以找点方法如下：所以找点方法如下：以以B为圆心，为圆心，BC长为半径画弧，与直线长为半径画弧，与直线AC的交点即为所求；的交点即为所求；以以C为圆心，为圆心，CB长为半径画弧，与直线长为半径画弧，与直线AC的交点即为所求的交点即为所求题型
28、九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题存在有存在有2种情况，如解图种情况，如解图，当当B为顶角时，以为顶角时，以B为圆心，为圆心，BC长为半径画弧，交直线长为半径画弧，交直线AC于点于点F1，设，设F1(f, f3)，由题意可得，由题意可得，BC210，BF (f1)2(f3)22f 24f10，BCBF1，BC2BF ，102f 24f10，解得，解得f10(不合题意，舍去不合题意，舍去), f22，F1(2，1)；当当C为顶角时，以为顶角时，以C为圆心，为圆心，CB长为半径画弧，交直线长为半径画弧，交直线AC于点于点F2，F3，设，设F(m，m3)，由题意可得由题意可得BC210，CF2m2
29、(m33)22m2，题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题CFCB，CF2BC2，2m210，解得，解得m1 ，m2 ，F2( ， 3)，F3( ， 3)，综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点F共有共有3个，分别是个，分别是F1(2，1)，F2( ， 3)，F3( ， 3)；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题类型四二次函数与直角三角形的判定问题类型四二次函数与直角三角形的判定问题(北部湾经济区：北部湾经济区：2019.26(2)，2018.26(2)；南宁：；南宁：2016.26(2)典例精讲典例精讲例例 4如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与中，抛物
30、线与x轴交于点轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与与y轴交于点轴交于点C，直线，直线BC的解析式为的解析式为ykx3，抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点D，对称轴与直线，对称轴与直线BC交于点交于点E，与，与x轴交于点轴交于点F.例4题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题【思维教练】已知抛物线与【思维教练】已知抛物线与x轴两交点坐标，可设抛物线的解析式为轴两交点坐标，可设抛物线的解析式为ya(xx1)(xx2)，将两交点坐标代入，又知直线，将两交点坐标代入，又知直线BC的解析式可求得点的解析式可求得点C坐标，将其代坐标，将其代入抛物线，即可求出抛物线的解析式，进而求得顶点入抛物线，即可
31、求出抛物线的解析式，进而求得顶点D的坐标，再将对称轴方程的坐标，再将对称轴方程和直线和直线BC的解析式联立即可求得交点的解析式联立即可求得交点E的坐标的坐标题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题解：解：(1)抛物线与抛物线与x轴交于点轴交于点A(1，0)，B(3，0)，设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，直线直线BC的解析式为的解析式为ykx3，令令x0，得，得y3，点点C的坐标为的坐标为(0，3)，将将C(0，3)代入抛物线解析式，得代入抛物线解析式，得3a3，解得，解得a1， 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3，转化为顶点式为转化为顶点式为
32、y(x1)24，抛物线的顶点抛物线的顶点D坐标为坐标为(1，4)，对称轴为直线，对称轴为直线x1，题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题将点将点B(3，0)代入直线代入直线ykx3，得得03k3，解得解得k1，直线直线BC的解析式为的解析式为yx3，令令x1，得，得y2，点点E的坐标为的坐标为(1，2)，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3，点，点D的坐标为的坐标为(1，4)，点，点E的坐标为的坐标为(1，2)；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(2)如图如图，连接，连接CD、BD，判断，判断CBD和和CDE的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；【思维教练】观察图形，易猜想【
33、思维教练】观察图形，易猜想CDE为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，CDB为直角三角为直角三角形，结合已知条件证明过点形，结合已知条件证明过点C作作CCDE于点于点C，分别计算，分别计算CD2、BC2、BD2，再根据勾股定理的逆定理，即可得到再根据勾股定理的逆定理，即可得到CBD的形状；结合的形状；结合DCEC得到得到CDCE，即可得到，即可得到CDE的形状的形状例4题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(2)CBD是直角三角形，是直角三角形，CDE是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；理由如下：如解图理由如下：如解图，过点，过点C作作CCDE于点于点C，在在RtDCC中，中，CC1，DC
34、1，由勾股定理得，由勾股定理得CD2CC2DC22，在在RtBDF中，中，DF4，BF2，由勾股定理得，由勾股定理得BD2DF2BF220，又又BC2OC2OB218，BC2CD2BD2，CBD是以点是以点C为直角顶点的直角三角形，为直角顶点的直角三角形，CCDE，DCB90，DC1，E(1，2)，D(1，4)EC1，DCEC，CC垂直平分垂直平分DE，CDCE，CDE是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；例4题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(3)如图如图，连接，连接AC，点，点G是抛物线对称轴上一点，若是抛物线对称轴上一点，若ACG是以是以AC为直角边为直角边的直角三角形，求出点
35、的直角三角形，求出点G的坐标；的坐标；【思维教练】要使【思维教练】要使ACG是以是以AC为直角边的直角三为直角边的直角三角形，需分为角形，需分为CAG90和和ACG90两种情两种情况，利用勾股定理即可求解况，利用勾股定理即可求解例4题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(3)设点设点G的坐标为的坐标为(1，t)，AC210，AG24t2，CG21(t3)2，ACG是以是以AC为直角边的直角三角形，为直角边的直角三角形，CAG90或或ACG90，当当CAG90时，时，AC2AG2CG2，即即104t21(t3)2，解得解得t ，当当ACG90时，时，AC2CG2AG2，即即101(t3)2
36、4t2，解得解得t ，综上所述，点综上所述，点G的坐标为的坐标为(1， )或或(1， )；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(4)如图如图，在，在x轴上是否存在点轴上是否存在点H，使得，使得BHE是直角三角形，若存在，求出是直角三角形，若存在，求出点点H的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】要使【思维教练】要使BHE是直角三角形，由于题中未明确直角顶点，且是直角三角形，由于题中未明确直角顶点，且CBO90，因此需要分，因此需要分EHB90或或HEB90两种情况讨论，求两种情况讨论，求解过程中由于解过程中由于H点为点为x轴上的点，可设其坐标为轴上的点，可设
37、其坐标为(h，0)进行求解进行求解例4题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(4)存在存在如解图如解图，点点H在在x轴上，则设点轴上，则设点H的坐标为的坐标为(h，0)，例4题解图当当HEBH时，易得此时点时，易得此时点H与与F重合，重合，BHE是以点是以点H为直角顶点的直角为直角顶点的直角三角形，此时点三角形，此时点H的坐标为的坐标为(1，0)；当当HEEB时，即时，即HEB90，EBH45，EHB45，EHEB，EFBH，HFBF2，此时点此时点H与点与点A重合，其坐标为重合，其坐标为(1，0)，综上所述，当点综上所述，当点H的坐标为的坐标为(1，0)或或(1，0)时，时，BHE是直
38、角三角形；是直角三角形；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(5)如图如图，设点，设点P是第一象限内抛物线上的动点，点是第一象限内抛物线上的动点，点Q是线段是线段BC上一点上一点，是否存，是否存在点在点P、Q使得使得PCQ是等腰直角三角形，若存在，求出点是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由【思维教练】根据等腰直角三角形的性质，有一个角为直角，【思维教练】根据等腰直角三角形的性质，有一个角为直角，一个锐角为一个锐角为45，结合题中，结合题中CBOBCO45，从而考，从而考虑分三种情况：虑分三种情况：PCQ90；CPQ90；CQP90，由于
39、，由于Q为为BC上一点，可设其坐标为上一点，可设其坐标为(t，t3)，通过等腰直角三角形性质分别求解即可，通过等腰直角三角形性质分别求解即可例4题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(5)存在存在BOC是等腰直角三角形，且是等腰直角三角形，且BOC90，CBO45，点点Q在直线在直线BC上，上，设点设点Q的坐标为的坐标为(t，t3)，要使要使PCQ是等腰直角三角形，需分三种情况讨论：是等腰直角三角形，需分三种情况讨论：当当PCQ90时，如解图时，如解图，此时点，此时点P与点与点D重合，坐标为重合，坐标为(1，4)，例4题解图PQC45BCO，PQy轴，轴，此时点此时点Q的坐标为的坐标为(
40、1，2)；题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题当当CPQ90时，如解图时，如解图，PCQ45CBO，CPPQ，CPx轴，则轴，则PQy轴，由抛物线对称性可知轴，由抛物线对称性可知P(2，3)，点点Q的坐标为的坐标为(2，1)；例4题解图当当CQP90时，时，PCQ45CBO，CPx轴，如解图轴，如解图，过点，过点Q作作QMCP于点于点M，例4题解图CPQ是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，CQPQ，CMPM，点点Q在抛物线对称轴上，则点在抛物线对称轴上，则点Q的坐标为的坐标为(1，2)，综上所述，符合题意的点综上所述，符合题意的点Q有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为(1，2)或或(2，1
41、)题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题类型五二次函数与特殊四边形的判定问题类型五二次函数与特殊四边形的判定问题(南宁：南宁：2011.26(3)典例精讲典例精讲例例 5(1)如图如图，已知平面上不共线的三个点，已知平面上不共线的三个点A，B，C，求一点，求一点P，使得以，使得以A，B，C，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合要求的点四个点为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合要求的点P，保留作，保留作图痕迹并描述画图过程图痕迹并描述画图过程例5题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题解：解：(1)作法如解图作法如解图：例5题解图连接连接AB、AC、BC，分别过点，
42、分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线的交作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点点即为所有点P.题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(2)在如图在如图所示的网格中，点所示的网格中，点A、B都在格点上，请找出两组格点都在格点上，请找出两组格点C、D，使得，使得以以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形为顶点的四边形为平行四边形例5题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(2)以以AB为边的平行四边形为边的平行四边形ABCD如解图如解图(答案不唯一答案不唯一)；以以AB为对角线的平行四边形为对角线的平行四边形ACBD如解图如解图(答案不唯一答案不唯一)例5题解图例5题解图【作法
43、提示】【作法提示】若若AB为平行四边形的边，将为平行四边形的边，将AB上下平移，确定上下平移，确定C、D的的位置；位置；若若AB为平行四边形的对角线，取为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点中点，旋转经过中点的直线确定的直线确定C、D的位置的位置题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(3)如图如图，在平面直角坐标系中，有，在平面直角坐标系中，有A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点在直角三点在直角坐标平面内确定一点坐标平面内确定一点D，使得以点，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，为顶点的四边形是平行四边形，求点求点D的坐标的坐标例5题图题型九二次函数压轴题题型九
44、二次函数压轴题(3)如解图如解图，当当BC为对角线时，易求为对角线时，易求D1(3，2)；当当AC为对角线时，为对角线时，CD2AB，且，且CD2AB.D2(3，2)；当当AB为对角线时，为对角线时，ACBD3，且，且ACBD3，则，则|yD3|OC2，|xD2|OB1|5，D3(5，2)例5题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(4)如图如图，在平面直角坐标系中，点，在平面直角坐标系中，点A(4，2)，B(1，3)，P是是x轴上的一点，轴上的一点，Q是是y轴上的一点，若以点轴上的一点，若以点A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求四点为顶点的四边形是平行四边形，求点点Q的坐标
45、的坐标例5题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题例5题解图(4)A(4，2)，B(1，3)易得直线易得直线AB的解析式为的解析式为yx2，k1，则以，则以AB为为边平移的所有直线斜率均为边平移的所有直线斜率均为1.如解图如解图所示，所示，当当AB为边，四边形为边，四边形ABQ2P2是平行四边形，是平行四边形，ABP2Q2，AP2BQ2，点点A(4，2)，B(1，3)，AB5 ，P2Q25 ，则，则OP2OQ25，Q2点的坐标是点的坐标是(0，5)；AB为边，四边形为边，四边形QPBA是平行四边形，是平行四边形，ABPQ，QAPB，同理，同理，OPPQ5，Q点的坐标是点的坐标是(0，5)2
46、2题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题当当AB为对角线，四边形为对角线，四边形P1AQ1B是平行四边形，由解图是平行四边形，由解图可知，点可知，点B的纵坐标的纵坐标是点是点P1向下平移向下平移3个单位得到，个单位得到，点点A向下平移向下平移3个单位可得到个单位可得到Q1的纵坐标为的纵坐标为1，Q1点的坐标是点的坐标是(0，1)综上所述，符合综上所述，符合题意的点题意的点Q的坐标为的坐标为(0，5)或或(0，1)或或(0，5)例5题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(5)如图如图，抛物线经过，抛物线经过A(5，0)，B(1，0)，C(0，5)三点，顶点坐标为三点，顶点坐标为M，抛物
47、线的对称轴抛物线的对称轴l与与x轴交于点轴交于点D，与直线，与直线AC交于点交于点E.求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；【思维教练】要求抛物线的解析式，结合【思维教练】要求抛物线的解析式，结合A，B，C三点的坐标，设抛物线的解析式为一般三点的坐标，设抛物线的解析式为一般式，将三点代入求解即可式，将三点代入求解即可例5题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题(5)C(0，5)，令，令x0，则，则c5，设抛物线的解析式为，设抛物线的解析式为yax2bx5，将点将点A(5，0)，B(1，0)，C(0，5)代入，代入，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx26x5；题型九二次函数压轴题题型九二次函
48、数压轴题设点设点N是抛物线上一点，点是抛物线上一点，点S是是x轴上一点，是否存在点轴上一点，是否存在点N，使得以，使得以A，E，N，S为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说的坐标；若不存在，请说明理由；明理由；【思维教练】分【思维教练】分NS为平行四边形的边和为平行四边形的边和NS为平行四边形的对角线两种情况讨为平行四边形的对角线两种情况讨论结合图形，过点论结合图形，过点N作作NTx轴于点轴于点T，由平行四边形的性质得到，由平行四边形的性质得到SNTAED，从而得到，从而得到NTED2，即可得到点，即可得到点N的坐标的坐标例
49、5题图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题存在存在如解图如解图，过点，过点N作作NTx轴，交轴，交x轴于点轴于点T，当，当NS为平行四边形的一条边时，为平行四边形的一条边时，SNAE，且，且SNAE，则，则NSTEAD，NTx轴，轴，EDx轴，轴，NTSEDA90，又又SNAE，SNTAED(AAS)，由由yx26x5(x3)24可知可知M(3，4)，A(5，0)，C(0，5)，直线直线AC的解析式为的解析式为yx5，x3时，时，y2，E(3，2)NTED2.例5题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题设点设点N的坐标为的坐标为(n，n26n5)，当点当点N在在x轴上方时，轴上方时，
50、NTn26n52，解得解得n1 3，n2 3，此时点此时点N的坐标为的坐标为( 3，2)，( 3，2)；当点当点N在在x轴下方时，轴下方时，NTn26n52，解得解得n33 ，n43 ，此时点此时点N的坐标为的坐标为(3 ，2)，(3 ，2)；例5题解图题型九二次函数压轴题题型九二次函数压轴题点点N的纵坐标为的纵坐标为2，将其代入抛物线得，将其代入抛物线得NTn26n52，解得解得n5 3，n63，点点N的坐标为的坐标为( 3，2)，( 3，2)综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点N有四个，分别为有四个，分别为( 3，2)，( 3，2)，(3 ，2)，(3 ，2)；如解图如解图，过点，
