1、理科数学参考答案 第 1 页（共 6 页） 绵阳市高中绵阳市高中 2019 级第三次诊断性考试级第三次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 DBCAD ABBAB DC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 132 4 1591 16 10192三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解：（1）， cos2cosbAaB 由正弦定理得， BAABcossin2cossin 即 2 分 ABtan2tantanC=-3，A+B+C=， ， 2tantan3tantantan()tan()31tan
2、tantan2ABBCABABABB 解得 tanB=1 或-2 tanC=-3， C 为钝角，B 为锐角， tanB=1，即64B分 （2）tanC=-3， ， 8 分 3 10sin10C 10cos10C A+B+C=，A =-(B+C)， sinsin()sin()sincoscossinABCBCBCBC 10 分 21023 105()2102105 由正弦定理，得 CcAasinsinsinsincAaC c=3， 5103253 10a 理科数学参考答案 第 2 页（共 6 页） ABC 的面积 12 分 1123sin232222SacB 18解：（1）， 1234563.5
3、06x621()17.5iixx 3 分 61621()()8414817.5()iiiiixxyybxx又， 144y 14448 3.524aybx y 关于 x 的线性回归方程为 5 分 4824yx（2）若利用线性回归模型，可得 2022 年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 （万辆） 7 分 48724312y 若利用模型，则， 0.3337.71exy ln3.630.33yx即 3.63 0.33exy2022 年我国新能源乘用车的年销售量的 预测值为（万辆）93.63 0.33 75.94ee380y分 （3）0.710.87，且越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
4、 2R用模型得到的预测值更可靠 12 分 0.3337.71exy 19解：（1）证明：设点 M 为 BC 的中点，连接 PM，MA ，且 PM=1 PMBC 在ABM 中，可得，且， 3MA MABC 又/AD，且， MC1MCAD 四边形 AMCD 为矩形， /CD 2 分 AM 在PAM 中，可得， 222PAAMPM ，即 PMMAPMCD 又，直线 PM，BC 均在平面 PBC 内， BCCDPMBCM 4 分 平面CDPBC又平面 PBC， PB理科数学参考答案 第 3 页（共 6 页） zyxMABCDP， PBCD 又， PBPCPCCDC 6PBPCD 平面分 （2）以 M
5、为坐标原点，分别以 MA，MC，MP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 M-xyz 由题意得 M(0，0，0)，A(，0，0)， 3P(0，0，1)，B(0，0)，D(，1，0)， 13(，0，)，(0，)， PA 31PB 11设平面 PAB 的一个法向量为 n1=(x，y，z) 不妨设，则 n1=(，3)9 分 300 xzyz ，3x33同理可得平面 PAD 的一个法向量为 n2=(，0，3) 3cos=111212122 772112n nnn分 由图可知，所求二面角的平面角为钝角， 二面角 B-PA-D 的平面角的余弦值为12 分 2 7720解：（1），222
6、cea222abc222ab分 ，由题意得点 A 的坐标为 222|4aABb( 22)， 代入椭圆方程得 22221ab联立解得， 23b 26a 椭圆 E 的方程为5 分 22163xy （2）联立消 y 整理得 22163，yxmxy2234260 xmxm 由，解得 221612(26)0mm 33m 由韦达定理得， 7 分 1243mxx 212263mxx理科数学参考答案 第 4 页（共 6 页） 若存在点 P，使得，则 | |APABAPAB214()3，Py 且直线 AP 的斜率为，即 92121111141433yyxxkxx 211423xx分 联立得，解得或 211281
7、70mm1m 1711 存在点 P 满足题意，此时或12 分 1m 171121解：（1） ( )lnfxxa 令，解得，解得 ( )0fxeax ( )0fx0eax 函数 f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增 3 分 (0e )，a(e)，a 当时，f(x)；当时，f(x)=xlnx-(a+1)+1 0 x 1x 要使得 f(x)有 2 个零点，则， (e )1e0aaf 解得 a05 分 （2）， ( )ln1e，fxxaxln01，x i)当 a0 时，恒成立，函数 f(x)在区间1，e上单调递增， ( )0fx m= f(e)=1-ae，n= f(1)=-am-n=(1-e)a
8、+1 令 p(a)= (1-e)a+1，则函数 p(a)在区间上单调递减， (0，函数 p(a)最小值为 h(0)=1 7 分 ii) 当 a1 时，恒成立，函数 f(x)在区间1，e上单调递减 ( )0fx m= f(1)=-a，n= f(e)=1-ae，m-n=(e-1)a-1 令 h(a)=(e-1)a-1，则函数 h(a)在区间上单调递增， 1)， 函数 h(a)最小值为 h(1)=e-2 9 分 iii) 当 0a0 ( )e1aq a 函数 q(a)在区间上单调递增， (0)， 函数 q(a)的最小值为， 1()(1)e2e 1qq 1111e 1e 111e()=e1=ee1e1
9、e1q理科数学参考答案 第 5 页（共 6 页） 分 当时，由 f(1)- f(e)= (e-1)a-10，m= f(e)=1-ae 10e 1a m-n= f(e)- f(ea)=ea-ae 令(a)= ea-ae，则0 ( )eeaa 函数在区间(0，1)上单调递减， ( )a 1e 11e( )()ee1e1a 综上，m-n 的最小值为 12 分 1e 1eee122解：（1）将直线 l 的参数方程消参，得直线 l 的普通方程为 43xy 222cossin，xyxy 又， 22xyxy2|cos|sin| 曲线 C 的极坐标方程为 5 分 |cos|sin|（2）联立解得 02|cos
10、|sin|，cossin .， 点 B 的坐标为7 分 (cossin)，由题意得直线 l 的极坐标方程为 4cossin3联立 解得 4cossin3，4.3(cossin )，点 A 的坐标为8 分 4()3 cossin， 443 cossincossin3 1sin2OAOB ， 02 ，02 ，0sin21， 11121sin224433(1sin2 )3，即的取值范围是10 分 2433OAOBOAOB2 43 3，23解：当 x1 时，不等式等价于，解得，综合，； 321xx23x23x 当 1x2 时，不等式等价于 1x+1，解得 x0，综合，无解； 理科数学参考答案 第 6 页（共 6 页） 当 x2 时，不等式等价于 2x-3x+1，解得 x4，综合，x4； 综上，不等式的解集为5 分 2 |43或 x xx （2）证明：不等式等价于， 11| | | | | | |abababab 要证，只要证， 11| | | | | | |abababab1 |1 |abababab 只要证，只要证， 11|abab|abab 上式显然成立，所以原不等式成立10分
