1、绵阳市高中 2019 级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分DBCAD ABBAB DC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分19132 4 -10 1591 162三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17解 ：（1） bcos A = 2a cos B ，由正弦定理得sin Bcos A = 2 sin Acos B ，即 tan B = 2 tan A 2 分tanC=-3，A+B+C=，tan A+ tanB 3tanBtanC = tanp -(A+ B)= -tan(A+ B) = -
2、= = -3，1- tan AtanB tan B -22解得 tanB=1 或-2tanC=-3，C 为钝角，B 为锐角，tanB=1，即 Bp= 64分（2）tanC=-3，3 10 10sinC = ，cosC = - 8 分10 10A+B+C=，A =-(B+C)， sin A = sinp - (B + C) = sin(B + C) = sin B cosC + cos B sinC2 10 2 3 10 5= (- ) + = 10 分2 10 2 10 5由正弦定理asinAc= ，得 sin Cac sin A= sinCc=3， 3 5 10 2 a = = 5 3 10
3、理科数学参考答案 第 1页（共 6页）1 1 2 3ABC 的面积 S = acsin B = 2 3 = 12 分2 2 2 218解 ：（1）x1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6= = 3.50 ，66 2 ， (x - x) =17.5ii=16(x - x)(y - y)i i841 $ 3 分b = = 48i=1617.5 2 (x - x)ii=1又 y =144 ， a$ = y -b$x =144 - 483.5 = -24y 关于 x 的线性回归方程为 $y = 48x - 24 5分（2）若利用线性回归模型，可得 2022 年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为$y
4、 = 487 - 24 = 312（万辆）7分若利用模型 $y = 37.71e x ，则 ln y = 3.63+ 0.33x ，0.33即 y = e3.63+0.33x 2022 年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 $y = 3.63+0.337 = 5.94 = （万辆）9e e 380分（3）0.710.87，且 R2 越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，用模型 $y = 0.33 得到的预测值更可靠 12 分37.71e x19解 ：（1）证明：设点 M 为 BC 的中点，连接 PM，MA PM BC ，且 PM=1在ABM 中，可得 MA = 3 ，且 MA BC
5、，又 MC /AD，且 MC = AD =1，四边形 AMCD 为矩形， AM /CD 2 分在PA M 中，可得 PA2 = AM2 + PM2 ， PM MA，即 PM CD又 BC CD， PM I BC = M ，直线 PM，BC 均在平面 PBC 内，理科数学参考答案 第 2页（共 6页） CD 平面PBC 4 分又 PB 平面 PBC， PB CD ，又 PB PC ， PC ICD = C ， PB 平面PCD 6分（2）以 M 为坐标原点，分别以 MA，MC，MP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 M-xyzz由题意得 M(0，0，0)，A( 3 ，0，0
6、)，P(0，0，1)，B(0， -1，0)，D( 3 ，1，0)， PA = ( 3 ，0， -1)， PB =(0， -1， -1)，设平面 PAB 的一个法向量为 n1=(x，y，z) - =3x z 0，-y - z = 0，不妨设 x = 3 ，则 n1=( 3 ，-3，3)9 分同理可得平面 PAD 的一个法向量为 n2=( 3 ，0，3)n n 12 2 7cos= 1 2= =n n 21 12 71 211分由图可知，所求二面角的平面角为钝角，二面角 B-PA-D 的平面角的余弦值为 2 7 - 12 分720解：（1）分ec 2= = ， a2 = b2 + c2 ， a2
7、= 2b2 2 a 22a2|AB |= = 4，由题意得点 A 的坐标为 ( 2，2) b2代入椭圆方程得2 2+ =1a b2 2联立解得 b2 = 3 ， a2 = 6 椭圆 E 的方程为x y2 2+ =15 分6 3y = x + m， （2）联立 2 2 消 y 整理得 3x2 + 4mx + 2m2 - 6 = 0 x y+ =1， 6 3由 D =16m2 -12(2m2 - 6) 0 ，解得 -3 m 0 ，解得 x ea ， f (x) 0 ，解得 0 x ea 函数 f(x)在区间 (0，ea ) 上单调递减，在区间 (ea，+ ) 上单调递增 3 分当 x 0 时，f(
8、x) 1；当 x + 时，f(x)=xlnx-(a+1)+1 + 要使得 f(x)有 2 个零点，则 f (ea ) =1- ea 05 分（2） f (x) = ln x - a，x1，e， ln x 0，1 i)当 a0 时， f (x)0 恒成立，函数 f(x)在区间1，e上单调递增，m= f(e)=1-ae，n= f(1)=-am-n=(1-e)a+1令 p(a)= (1-e)a+1，则函数 p(a)在区间 (-，0 上单调递减，函数 p(a)最小值为 h(0)=1 7 分ii) 当 a1 时， f (x)0 恒成立，函数 f(x)在区间1，e上单调递减m= f(1)=-a，n= f(
9、e)=1-ae，m-n=(e-1)a-1令 h(a)=(e-1)a-1，则函数 h(a)在区间1，+ ) 上单调递增，函数 h(a)最小值为 h(1)=e-2 9 分iii) 当 0a 0 ，解得 ea xe，由 f (x) 0 ，解得1x ea 函数 f(x)在区间1，ea ) 上单调递减，在区间 (ea，e上单调递增n= f(ea)=1- ea当1 a 0a函数 q(a)在区间 ( 0，+ ) 上单调递增，函数 q(a)的最小值为1q( ) q(1) = e -2e -1，理科数学参考答案 第 4页（共 6页）1 1 e1 1q( )=e - - -1=e - -e 1 e 1e -1 e
10、 -1 e -111 分当 0 a 1时，由 f(1)- f(e)= (e-1)a-10，m= f(e)=1-aee -1m-n= f(e)- f(ea)=ea-ae令j (a)= ea-ae，则j(a) = ea - e j( ) = e - -e 1 e -1 e -1e 1 e1综上，m-n 的最小值为 e - -e -1 12 分22解 ：（1）将直线 l 的参数方程消参，得直线 l 的普通方程为 4x + y = 3 r2 = x2 + y2，r cosq = x，r sinq = y，又x + y = x + y ， r2 =| r cosq | + | r sinq | ，2 2
11、曲线 C 的极坐标方程为 r =| cosq | + | sinq | 5 分（2）联立 pq = a，a 0， 2解得 = +r | cosq | | sinq |，q = a，r = cosa + sina.点 B 的坐标为 (cosa + sina，a) 7 分由题意得直线 l 的极坐标方程为4rcosq + rsinq = 3q =a，联立 4rcosq + rsinq = ， 3q = a，解得 4 =r . +3(cosq sinq)4点 A 的坐标为 ( ，a)8 分3(cosa + sina)OA 4 4= =OB 3(cosa sina )(cosa sina ) 3(1 s
12、in2a )+ + +p 0a ， 02ap， 0sin 2a1，21 1 1 ，2 1+ sin 2a2 4 4 3 3(1+ sin 2a) 32 OA 4 ，即3 OB 3OAOB2 4的取值范围是 ，10 分3 323解：当 x1 时，不等式等价于 3-2xx+1，解得2x ，综合，3 2x ； 3理科数学参考答案 第 5页（共 6页）当 1x2 时，不等式等价于 1x+1，解得 x0，综合，无解；当 x2 时，不等式等价于 2x-3x+1，解得 x4，综合，x4；2综上，不等式的解集为x | x 或x4 5 分3（2）证明：不等式等价于|a +b| |a|+|b| ，1+|a +b| 1+|a|+|b|要证|a +b| |a|+|b| 1+ | a + b| 1+ | a | + | b| ，只要证 1+|a +b| 1+|a|+|b| | a + b| | a | + | b|，只要证1 1| a + b| | a | + |b|，只要证| a + b | a | + | b | ，上式显然成立，所以原不等式成立10分理科数学参考答案 第 6页（共 6页）
