1、1 2022 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题：本题共一、选择
2、题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D B C B D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9. BCD10.AD11.AC12. ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 12 14. 221246yx15.916. 312，5 说明说明: 第(14)题答案可以为:222214yxbb25b . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10 分)解：若选条件.
3、 由于1110aS ，11nnaa ，得0na . 1 分 由112nnnaSS，得112nnnnSSSS，2 分 得1112nnnnnnSSSSSS， 3 分 因为10nnSS， 所以12nnSS. 4 分 所以数列nS是首项为11S ，公差为2的等差数列. 5 分 所以1 2121nSnn . 2 所以221nSn. 6 分 当2n时，221212388nnnaSSnnn， 7 分 由于11a 不满足上式， 所以1,1,88,2.nnann8 分 因为28a ，112a，满足211aa 当2n时，1(1)70nnaa，满足11nnaa 缺验证扣1分缺验证扣1分9 分 所以选择时问题中的数列
4、 na存在，此时1,1,88,2.nnann 10 分 若选条件 由于12nnaSn n，得2123aS. 1 分 当2n时，1nnaSn，11nnaSn， 2 分 两式相减得111nnnnaaSS1na， 3 分 得121nnaa， 4 分 得11212nnaan . 5分 由于211421aa ， 6 分 则数列1na 是首项为112a ， 公比为2的等比数列. 7 分 故112 2nna ，即21nna . 8 分 因为 11(1)211 21210nnnnnaa ， 缺验证扣1分缺验证扣1分9 分 所以11nnaa ，符合题意 所以选择时问题中的数列 na存在，此时21nna 10 分
5、 若选条件 111aS. 1 分 因为121nnaan，得112nnanan， 3 分 由于1120a ，则0nan. 4 分 3 则112nnanan.5 分 所以nan是首项为2，公比为2的等比数列. 6 分 所以2nnan，即2nnan 7 分 因为111211 2220nnnnnaann， 8 分 满足11nnaa 缺验证扣1分缺验证扣1分9 分 所以选择时问题中的数列 na存在，此时2nnan 10 分 18. （12 分）（1）解：根据题意，这60名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数为7 1118，1 分 成绩等级为合格或不合格的人数为42. 2 分 则1P X 1118422
6、60C C126C295. 4 分 （2）解法 1：从该校的学生中随机抽取3名，相当于进行了3次独立重复试验，设所抽取的 3名学生中耐力跑成绩为优或良的人数为，则服从二项分布3,Bp5 分 由题意得任取1名学生耐力跑成绩为优或良的频率为7 11600.3， 6 分 将样本频率视为概率得0.3p 7 分 根据二项分布的均值公式得30.9Ep 有期望=3P给1分有期望=3P给1分 9 分 根据题意得100Y，10 分 Y10090EYE所以 的数学期望为 有第一个等式给1分有第一个等式给1分12 分 解法 2：从该校的学生中随机抽取3名，相当于进行了3次独立重复试验，设所抽取的 3名学生中耐力跑成
7、绩为优或良的人数为，则服从二项分布3,Bp 5 分 由题意得任取1名学生耐力跑成绩为优或良的频率为7 11600.3， 6 分 将样本频率视为概率得0.3p 7 分 而100Y，则Y的所有可能取值为0，100，200，300. 8 分 且0033(0)C0.30.70.343P Y ，1123(100)C0.30.70.441P Y ， 2213(200)C0.30.70.189P Y ，3303(300)C0.30.70.027P Y 4 10 分 所以Y的分布列为： 所以Y的数学期望为0 0.343 100 0.441 200 0.189 300 0.02790EY 12 分 19. （1
8、2 分）（1）解: 在ACD中，60D，6AC ，3 3CD ，由余弦定理得2222sinACADCDAD CDD ， 1 分 即21362723 32ADAD ，整理得23 390ADAD， 2 分 解得3372AD或3372AD（舍去）， 3 分 所以3372AD. 4 分 所以ACD的面积为27371sin6028SAD CD. 只看结论只看结论5 分 （2）解法 1: 在ACD中，由正弦定理得sinsinCDACCADD， 得3sin4CAD. 6 分 因为90BACACADCAD ， 则27sincos1 sin4CADBAC CAD ，正弦值或余弦值有一个正确就给分正弦值或余弦值有
9、一个正确就给分7 分 3cossin4BACCAD. 因为9cos16ACB，则25 7sin1 cos16ACBACB. 只看结果只看结果8 分 因为BACACBB , 则sinsinBBACACBsincoscossinBACACBBACACB 3 78.只看结果只看结果9 分 在ABC中，由正弦定理sinsinsinACABBCBACBBAC， 得5AB ，4BC . 一个值1分一个值1分11 分 所以34AB C =8. 12 分 Y0100200300P0.3430.4410.1890.027P的值错一个或两个扣1分P的值错一个或两个扣1分11 分 5 FEDCBA解法 2: 在AC
10、D中，由正弦定理得sinsinCDACCADD， 得3sin4CAD.6 分 因为90BACACADCAD ， 则3coscos 90sin4BACCADCAD. 有正弦等于余弦给1分有正弦等于余弦给1分8 分 在ABC中，9cos16ACB，由余弦定理得 2222cosABACBCAC BCACB ， 2222cosBCABACAB ACBAC ， 即2227364ABBCBC， 9 分 2236 9BCABAB， 10 分得34AB C =8.12 分 另法 另法 （1）解：如图，作CE AD于E，在 RtCED中，60D，3 3CD ， 则39sin603 322CECD， 1 分 13
11、 3cos603 322DECD. 2 分 在 RtAEC中，6AC ,则22AEACCE3 72. 3 分 故ADAEDE3372. 4 分 所以ACD的面积为2737128SAD CE.5 分 （2）解: 在 RtAEC中，得3sin4CECAEAC. 6 分 因为90BACACAECAE ， 则3coscos 90sin4BACCAECAE. 有正弦等于余弦给1分有正弦等于余弦给1分8 分 在ABC中，作BF AC于F， 则ACAFCF， 9 分 得6coscosABBACBCACB. 10 分 因为9cos16ACB， 所以396416ABBC34AB C =8，得?. ?一个个一一等
12、式1分 等式1分 12? 分20.（12 分） （1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC. 1 分 6 OzyxFEDCBAGOFEDCBA因为BD 平面ABCD，平面AEFC平面ABCD，平面AEFC平面ABCDAC， 所以BD 平面AEFC. 2 分 因为BD 平面BDE，所以平面BED平面AEFC. 3 分 （2）解法 1: 设ACBDO，连接OF，由BD 平面AEFC，AE 平面AEFC，得AEBD. 4 分 因为AEAC，AC 平面ABCD，BD 平面ABCD， 所以AE 平面ABCD. 5 分 因为EFAC，12AOACEF， 所以四边形AEFO是平行四边形. 所以AEO
13、F. 所以OF平面ABCD 6 分 以OB，OC，OF分别为x，y，z轴建立如图所示空间坐标系Oxyz， 由于2AEAB，则( 3,0,0),(0 1 0), (3,0,0),(0,0,2)BCDF， ， 7 分 则(3, 1,0)CD ，(0, 1,2)CF ，2 3,0,0BD . 8 分 设平面CDF的法向量为n, ,x y z，由0,0,CDCF nn，即30,20,xyyz ，令1x ，解得n31,3,2， 9 分 由于BD 平面AEFC，则2 3,0,0BD 是平面AEFC的法向量. 10 分 则2 19cos,19BDBDBD nnn，11 分 所以二面角A CFD的余弦值为2
14、1919. 12 分 解法 2：过O作OGFC，垂足为G，连接DG，4 分 由BD 平面AEFC，得ODFC， 5 分 又ODOGO，OD平面DOG，OG平面DOG，则FC 平面DOG. 6 分 因为DG 平面DOG，则FCDG. 7 分 故DGO为二面角A CFD的平面角. 8 分 因为AEAC，EFAC，2ACEF，则平面四边形AEFC为直角梯形. 7 在直角梯形AEFC中，求得25OG ， 9 分 在 RtDOG中，22195DGOGOD， 10 分 22 195cos19195OGDGODG. 11 分 所以二面角A CFD的余弦值为2 1919. 12 分 21.（12 分） （1）
15、解：由题意得24b ，2212cbeaa，2 分 所以2 2a ，2b. 3 分 所以C的方程为22184xy. 4 分（2）解法 1：由题意，直线1l斜率存在且不为0,设直线1l的方程为3yk x，且11,yxA，22,yxB，00,Q xy， 将)3( xky代入8222yx，整理可得 081812212222kxkxk，5 分 0)818)(21 (4144224kkk，解得22k， 由根与系数的关系可得 2221222121818,2112kkxxkkxx，只要写对一个等式不扣分只要写对一个等式不扣分6? 分 根据PBAPQBAQ，则33210210 xxxxxx， 7 分 解得386
16、211221362116366322222222121210kkkkkkxxxxxxx，只看结论只看结论8? 分 8 又21ll ，则2l的方程为)3(1xky， 令0 x，则ky3，即kR3, 0. 故2211339kkPR. 9 分 而221313381kkPQ， 10 分 记PQR面积为S， 则221112121kkPQPRS212122kk12221 . （当且仅当1k时取等号） 只看结论只看结论11 分 所以PQR面积的最小值为1. 12 分 解法 2: 由题意，直线1l斜率存在且不为0,设直线1l的方程为3xty， 11( ,)A x y，22(,)B xy，00(,)Q xy 由
17、223184xtyxy消去x得22(2)610tyty ， 5 分 由222364 (2) 13280ttt ，得12t 或12t . 由韦达定理得12122261,22tyyy ytt， 只要写对一个等式不扣分只要写对一个等式不扣分6? 分 由AQAPQBPB及, , ,P A Q B四点共线，知011202yyyyyy， 7 分得120122y yyyy22212632tttt . 8 分则220113tPQtyt， 9 分9 因为12ll，则2l的方程为13xyt ，令0 x得3yt， 即(0, 3 )Rt. 所以221133 1PRttt. 10 分 所以PQR面积2221111113
18、 122322ttSPR PQttttt11212tt.只看结论只看结论11? 分 当且仅当112t 等号成立. 所以PQR面积的最小值为1. 12 分 解法 3：由题意，直线1l斜率存在且不为0,设直线1l的方程为3xty， 11( ,)A x y，22(,)B xy，00(,)Q xy 由223184xtyxy消去x得22(2)610tyty ， 5 分 由222364 (2) 13280ttt ，得12t 或12t . 由韦达定理得12122261,22tyyy ytt， 只要写对一个等式不扣分 只要写对一个等式不扣分6? 分 设AQAPQBPB，由, , ,P A Q B四点共线，知A
19、QQB ，APPB ， 由APPB ，即1122( 3,)(3,)xyxy ，得12yy.7 分 由AQQB ，即01012020(,)(,)xx yyxxyy，得 1211201122221.131yyyy yyyyyty只看结论只看结论8 分 则220113tPQtyt.9 分10 因为12ll，则2l的方程为13xyt ，令0 x得3yt， 即(0, 3 )Rt. 所以221133 1PRttt.10 分 所以PQR面积2221111113 1()22322ttSPR PQttttt11212tt， 只看结论只看结论11? 分 当且仅当112t 等号成立 所以PQR面积的最小值为1.12
20、 分22.（12 分） （1）解: 函数 fx的定义域为0,， 1 分 由于0m，则 22 ln1f xxxx. 2ln22fxxx， 2 分 令 h x 2ln22fxxx， 22(1)2xh xxx， 当01x时，2(1)( )0 xh xx， fx在区间0,1上单调递增；当1x 时，2(1)( )0 xh xx， fx在区间1,上单调递减.则 12ln1 220fxf. 3 分 所以函数 fx的单调递减区间为0,. 4分 （2）证法 1：由（1）得 2ln22fxxxm在区间0,1上单调递增，当0m时， 10fm ，120e1m， 5 分 111222e2122e2e02mmmmfm ，
21、 6 分 则00,1x，使00fx，即0002ln220fxxxm，7 分 11 得002ln22mxx.当00 xx时， 0fx， fx在区间00,x上单调递减； 当01xx时， 0fx， fx在区间0,1x上单调递增. 则200000( )()2ln1f xf xxxxmx8 分 2200000002ln2ln221(1)0 xxxxxxx . 9 分 所以22 ln10 xxxmx .10 分 令abxab，由于0ba，则01x. 则22lnabababababab10m abab ， 11 分 整理得mbaabbaba224ln2. 12 分 证法 2：欲证mbaabbaba224ln2， 只要证222lnabababmababab，5 分 即证2lnabababmababab.6 分 令abxab，由于0ab，则1x . 7 分 故只要证12lnxxmx, 即证2xln x x2 1 mx 01x .只要有一个等式就给分只要有一个等式就给分8分 由(1)可知，函数 22 ln1h xxxx在区间0,上单调递减， 故1x 时， 10h xh，即22 ln10 xxx . 9 分 由于0m，1x ，则0mx . 此处为mx0此处为mx010? 分 所以2xln x x2 1 mx 0成立. 11 分 所以mbaabbaba224ln2. 12 分 12
