湖北省2022届高三数学4月份调研试卷及答案.pdf

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1、第七届湖北省高三(4月)调研模拟考试一、 选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 设A=x|x1, B=x|x2-2x-3-1B. x|-1 x1C. x|-1 x1D. x|1 x0,|0,b0)的左、 右焦点, 过 F1的直线l与双曲线C交于 M, N两点, 且 F1N =3F1M , |F2M|=|F2N|, 则C的离心率为()A.2B.5C.7D. 38. 已知函数 f(x)=lg(|x|-1)+2x+2-x, 则使不等式 f(x+1) y2C. 若甲、 乙两组数据的方差分别为s21, s22, 则s21s22D. 甲

2、组数据的中位数大于乙组数据的中位数10. 定义空间两个非零向量的一种运算: ab=|a|b|sina,b, 则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A. (ab)=(a)bB. ab=baC. 若ab=0, 则abD. |ab|a|b|11. 设动直线l: mx- y-2m+3=0(m R)交圆C: (x-4)2+(y-5)2=12于 A, B两点(点C为圆心), 则下列说法正确的有()A. 直线l过定点(2,3)B. 当|AB|取得最小值时, m=1C. 当ACB最小时, 其余弦值为14D. AB AC 的最大值为2412. 在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中,

3、 已知 E 为线段 B1C 的中点, 点 F 和点 P 分别满足 D1F =D1C1 , D1P =D1B , 其中, 0,1, 则()A. 当=12时, 三棱锥P-EFD的体积为定值B. 当=12时, 四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是94C. 若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为23, 则=13D. 存在唯一的实数对(,), 使得DP平面EFP三、 填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共20分13. 若随机变量 XN(3,2), 且 P(X5)=0.2, 则 P(1X5)=_14. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏, 它用九个圆环相连成串, 以解开为胜用an表示解下n(

4、n9,n N*)个圆环所需的最少移动次数若 a1=1, 且an+1=2an+2, n=2k-12an-1, n=2k (k N*),则解下 6个圆环所需的最少移动次数为_215. 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F, 准线为l, 过第一象限内的抛物线上一点 A作l的垂线, 垂足为 B设C(2p,0), AF与BC相交于点D若|CF|=|AF|, 且ACD的面积为922, 则直线AC的斜率k=_, 拋物线的方程为_16. 已知函数 f(x)= x+ln(x-1), g(x)= xlnx, 若 f(x1)=1+2lnt, g(x2)=t2, 则lntx1x2- x2的最大值为_四、 解答题

5、: 本题共6小题, 共70分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步聚17. (10分)如图, 在平面四边形ABCD中, ABAD, AB=1, AD=3, BC=2(1)若CD=2, 求sinADC;(2)若C=45, 求四边形ABCD的面积18. (12分)已知正项等差数列an满足: a3n=3an(n N*), 且2a1, a3+1, a8成等比数列(1)求an的通项公式;(2)设Cn=2an+1(1+2an)(1+2an+1), Rn是数列cn的前n项和, 若对任意n N*均有 Rnb0)的离心率为32, 点 - 3,12在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、 右顶点分别为

6、 A, B, 点P, Q为椭圆上异于 A, B的两动点, 记直线 AP的斜率为k1, 直线QB的斜率为k2, 已知k1=7k2求证: 直线PQ恒过 x轴上一定点;设PQB和PQA的面积分别为S1, S2, 求|S1-S2|的最大值22. (12分)已知函数 f(x)= xex-1, g(x)=a(lnx+ x)(1)若不等式 f(x)g(x)恒成立, 求正实数a的值;(2)证明: x2ex(x+2)lnx+2sinx4高三数学试卷参考答案第 1页第七届湖北省高三(4 月)调研模拟考试数学参考答案第七届湖北省高三(4 月)调研模拟考试数学参考答案一、单项选择题一、单项选择题题号12345678答

7、案BADDBCCD二、多项选择题二、多项选择题题号9101112答案BDBDADABC12 【解析】对于 A,当12时,F是11DC的中点,连接1BC与交1BC于点E,则E为1BC的中点,所以1/ /EFBD,所以1/ /BD面EFD,又点P在1BD上,所以点P到面EFD的距离为定值,所以三棱锥PEFD的体积为定值,故 A 正确;对于B,当12时,点P为1BD的中点,设四棱锥PABCD的外接球的半径为R,则球心O在PM延长线上,由OPR得12OMR,由222OMCMOC得22212()()22RR,解得34R ,所以外接球的表面积为94,故 B 正确;对于 C,连接BD,过点P作PMBD于M,

8、连接CM,因为1B B 平面ABCD,所以平面11BDD B 平面ABCD,平面11BDD B 平面ABCDBD,所以PM 平面ABCD,所以PCM为CP与平面ABCD所成角,因为11D PD B ,所以2(1)BM,1PM ,在MBC由余弦定理有22(1)21CM,在RtCPM中由勾股定理有23(1)21PC,所以212sin33(1)21PMuPCMPC,解得13,故 C 正确对于 D,因为点F在11DC上,又E在1BC上,P在1BD上,所以平面PEF即为平面11BC D A,又易证1BC 平面11BC D A,所以1BC 是平面11BC D A的法向量,所以欲DP 平面EFP,须1BC

9、与DP 共线,即须1DA 与DP 共线,显然不可能,所以不存在实数对( , ) 使得DP 平面EFP,故 D 错误故选 ABC三、填空题三、填空题高三数学试卷参考答案第 2页130.61464152,24 3yx1612e16 【解析】由题意,111ln11 2lnf xxxt ,得2111 ln1lnxxt ,所以1121ln1 elnxxt,即11211 e0 xtx,又2222lng xxxt,得2ln22eln0 xtx,因为exyx在0,)上单调递增,所以21ln1xx,则121lnxx,所以212222lnlnlnlntttx xxxxt,令2ln( )(0)th ttt,则31

10、2ln( )th tt,所以( )h t在120,e上单调递增,在12e ,上单调递减,所以12max1( )e2eh th四、解答题解答题17 【解析】 (1)连接BD,在RtABD中,222BDABAD,且3tan3ABADBAD,又(0,)2ADB,所以6ADB在BCD中,由余弦定理得2224423cos22424BDCDBCBDCBD CD ,所以237sin1( )44BDC所以7331213sinsin()sincoscossin66642428ADCBDCBDCBDC5 分(2)在BCD中,由余弦定理得2222cos4BDCDBCCD BC,即2220CDCD,解得13CD 或1

11、3CD (舍去) ,7 分所以四边形ABCD的面积为111sin32242ABCDABDBCDSSSAB ADBC CD10 分18 【解析】 (1)设等差数列的公差为d,由33nnaa得11(31)3(1) andand,则1ad,所以1(1)naandnd2 分因为12a,31a ,8a成等比数列,所以2318(1)2aaa ,即2(31)28ddd,所以27610dd ,解得1d 或17d ,5 分因为 na为正项数列,所以0d ,所以1d ,所以nan6 分(2)1111122112()(12 )(12)1212(12 )(12)nnnannaannnnc,8 分所以122311111

12、111112()+()+()2()121212121212312nnnnR,10 分因为对任意*nN均有23nR ,所以23,所以实数的最小值为2312 分高三数学试卷参考答案第 3页19 【解析】(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率为123987311111109810PPPP 5 分(2)设该款芯片智能自动检测合格为事件A,人工抽检合格为事件B,由己知得 910P A ,37110101IPPAB ,9 分记工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品为事件|B A,所以()7107|( )1099P ABB AP AP12 分20 【解析】 (1)连接CM交AN于G,连接D

13、G因为M,N分别为1A B,BC的中点,所以点G为1ACB的重心,所以2CGGM,又2CDDA,所以AMDG,因为AM 平面1A DN,DG 平面1A DN,所以AM 平面1A DN5 分(2)在平面11ACC A内作1AOAC于点O因为112AA ,160A AC,所以1cos606AOAA ,则点O为AC中点,所以BOCO因为侧面11ACC A 底面ABC,而侧面11ACC A 底面ABCAC,1AOAC,1AO 侧面11ACC A,所以1AO 底面ABC,所以OB,OC,1OA两两垂直7 分以O为坐标原点,OB,OC,1OA为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系则(0, 6,0)A,

14、(0,6,0)C,(6 3,0,0)B,1(0,0,6 3)A,因为M,N分别为1A B,BC的中点,所以(3 3,0,3 3)M,(3 3,3,0)N8 分设( , , )x y zn为平面AMN的一个法向量,(3 3,6,3 3)AM ,(3 3,9,0)AN ,则0,0,AMAN nn即3 363 30,3 390,xyzxy取1z 得(3,3,1)n10 分又(0,0,1)m为平面ANC的一个法向量,所以1cos,|13n mn m|n|m |,所以12 39sin,11313n m,故二面角MANC的正弦值2 391312 分高三数学试卷参考答案第 4页21 【解析】 (1)由题意可

15、得222223,2311,4,caababc解得2241ab,所以椭圆C的方程为2214xy3 分(2)方法一:第三定义转化方法一:第三定义转化依题意,点( 2,0), (2,0)AB,设1122,P x yQ xy,因为若直线PQ的斜率为 0,则点,P Q关于y轴对称,必有APBQkk ,不合题意4 分所以直线PQ斜率必不为 0,设其方程为(2)xtyn n ,与椭圆C联立2244xyxtyn整理得:222(4)240tymyn,所以222244(4)(4)0t ntn ,且11222222,44.4tnyytny yt 5 分因为点11( ,)P x y是椭圆上一点,即221114xy,所

16、以21112211111212244414APBPyyykkxxxxx ,所以174APBQBPkkk ,即281BPBQkk 因为121212122828282222BPBQy yy ykkxxtyntyn1222121228(2)(2)y yt y yt nyyn22222222284442(2)(2)44nttnt n nntt22228(2)28(2)71414(2)2(2)2(2)4nnnnntnt nnt ,所以32n ,此时2221644 470tnt ,故直线PQ恒过x轴上一定点3(,0)2D 8 分由得12234tyyt,2122247444ny ytt ,所以1212121

17、2131332222222SSyyyyyy 221212233 47424tyyy yt10 分2222222244949323394244344ttttt(当且仅当23243t即212t 时等号成立),所以12SS的最大值为212 分高三数学试卷参考答案第 5页方法二:分别放缩方法二:分别放缩设( )sinxxx,则( )1cos0 xx 恒成立,( ) x在(0,)上单调递增,(0,)x ,( )(0)0 x,所以sin (0)xx x7 分设( )ln1xxx,则11( )1(0)xxxxx ,( ) x在(0,1)上单调递增,(1,)上单调递加,(0,)x ,( )(1)0 x,所以ln1(0)xxx,所以lnee1xx,即e1xx 9 分所以当(0,)x时,2(2)ln2sin(2)(1)232xxxxxxxx又因为2222e32(1) (1)2(1)(1) (2)0 xxxxxxx xxxx,所以22e32(2)ln2sin (0)xxxxxxx x12 分

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