1、3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符1.动量算符动量算符（1）动量算符）动量算符dzdzdydydxdxipipipip（1）动量算符）动量算符（2）动量本征方程）动量本征方程 （3）求解动量本征方程）求解动量本征方程（4）归一化系数的确定）归一化系数的确定 （5）箱归一化）箱归一化（2）动量本征方程)()(rpripp)()()()()()(rprirprirpripzpzpypypxpx其分量形式(3) 求解动量本征方程)()()()(zyxrp zdzzdziydyydyixdxxdxippp)()()()()()( rpzpypxpppppiziyixizyxceecece
2、czyxzyxr 321)()()()()()()( )()()()()()(321zeczyecyxecxzziyyixxipzppyppxp 采用分离变量法，令：代入动量本征方程分量形式且等式两边除以该式，得：这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数于是)()2(|)()(32)(22*ppcdecdeecdrrrpprprpppiii （4） 归一化系数的确定 动量的本征函数不能归一化为一，而只能归一化为-函数。 任何一个实际的波函数都不可能是严格的平面波，而应该是某种 形式的波包。发散dcdeecdrrrprpppii22*|)()(归一化为-函数，意味着什么？Di
3、rac 函数 定义定义0000)(xxxxxx) 0(1)()(0000dxxxdxxxxx或或等价的表示为：对在x=x0 邻域连续的任何函数 f（x）有：)()()(00 xfdxxxxf0 x0 x)(0 xx 函数的 Fourier 积分形式)(000212121)(xxikikxikxdkedkeexx令 k=px/, dk= dpx/, 则dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)(，则，作代换：xxxpidpexxx)(0021)(021)(210ikxikxedxexx)()()()(axafaxxf)(|1)(xaax)()(xx 性质)()(0)()()()(axaa
4、xxxxbadxbxaxxyzAAoL（5）箱归一化）箱归一化在箱子边界的对应点A, A上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数不能归一化为一，而只能归一化为-函数。但，如果加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。 周期性边界条件周期性边界条件22zpypLpizpypLpizyxzyxcece zyLrA,2 zyLrA,2,2, 1,02211xxxxxLpinLnpnLpex于是有：由此得：,2, 1,0,22zyzzyynnLnpLnp同理：这表明，px 只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变
5、成了分立谱。222)()(zyxnnnprppLznLynLxnizyxicercer1*322/2/22/2/ LcdcdLLLLpprpVrpLnnniizyxee12/31)(波函数变为这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定：c = L-3/2，归一化的本征函数为：关于箱归一化的讨论（1）箱归一化实际上相当于周期性边界条件。（2）由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz / L, 可以看出，相邻两本征值的间隔 p = 2 / L 与 L成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L 时，本征值变成为连续谱。（3）只有分立谱才能归一化为一，连
6、续谱归一化为 函数（4）p(r) expiEt/ 就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。（5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。否则，动量算符不是厄密算符！2.角动量算符（1）直角坐标系中的角动量算符)()()(xyyxihpypxLzxxzihpxpzLyzzyihpzpyLpppzyxkjiprLriprLprLxyzzxyyzxzyx（1）直角坐标系中的角动量算符）直角坐标系中的角动量算符（2）球坐标系中的角动量算符）球坐标系中的角动量算符（3）角动量本征方程）角动量本征方程 （4）简并和本征值的简并度）简并和本征值的简并度
7、)3(/tan)2(/cos)1 (cossinsincossin2222xyrzzyxrrzryrxzyxxxxxfxfxrrfxfiiii,321其中直角坐标与球坐标之间的变换关系 rxz球球 坐坐 标标r y(2) 球坐标系中的角动量算符对于任意函数f (r, , )（其中，r, , 都是 x, y, z 的函数）有复合函数的微分cossinsincossinzryrxr sin1sincos1coscos1rzryrx 0sincos1sinsin1zryrx 将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：将（3）式两边分别对 x y z
8、求偏导数得：cossin,22,cossin2222rxxrxxrrzyxrrxxzxrxrzrxrrzsincos,coscossin,/cos0cos1cossin,tan/tan,cossin2xxyxxyrx0sin1cossincos1sincos1sinsinsinsin1coscos1cossinrrzrrryrrrx得zzzrrzyyyrryxxxrrx或iiiixfxfxrrfxfiLiLiLzyxsincotcoscoscotsinsin1)(sinsin122222L角动量算符在球坐标中的表达式)()()(xyyxihpypxLzxxzihpxpzLyzzyihpzpyL
9、xyzzxyyzxcossinsincossinrzryrx0sin1cossincos1sincos1sinsinsinsin1coscos1cossinrrzrrryrrrx2222zyxLLLL代入（3）角动量本征方程zilzzcelddiL)()()()(解得：I。波函数有限条件，要求z 为实数； II。波函数单值条件，要求 转过 2角回到原位时波函数值相等，即：)2()()2(zizillcece1/2sin/2cos2zzllilezi归一化系数。是积分常数，亦可看成其中c(I) Lz的本征方程、波函数和本征值2112|2202202ccdcd,2, 1,022mmlz于是, 2,
10、 1, 0mmlz归一化最后得 Lz 的本征函数 和本征值：, 2, 1, 021)(memlimmzimce)(),(),(sin1)(sinsin1),(),(sin1)(sinsin1),(),(2222222222YYYYYYL或：为使 Y(,) 在 变化的整个区域(0, )内都是有限的，则必须满足： = （ + 1), 其中 = 0, 1, 2, .其中 Y(,) 与r无关，是球面函数，简称球函数，是 L2 属于本征值2 的本征函数。此方程就是球谐函数方程。(II) L2的本征方程、波函数和本征值.5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0) 1(,) 1(22lllLllLlmYY
11、lmePNYmlmlmimmllmmlm,3,2, 1),()1(),(,2, 1 ,0)(cos)1(),(*该方程的解就是球函数Yl m(,)，其表达式：llllllmllmmmmlxdxdlxPPxPdxdxxP)1 (!2) 1()()()1 ()(22勒让德多项式连带勒让德多项式 20*01sin),(),(ddYYlmlm|)!|(4)12(|)!|(mllmlNlm归一化常数归一化常数。本征值为的本征函数也是说明验证mLYllllmYmYLzlmlmlmz,),1(,2 , 1 , 0 , 1),1(, 前几个球谐函数前几个球谐函数lmYYlmePNYmlmlmimmllmmlm
12、, 3, 2, 1),() 1(),(, 2 , 1 , 0)(cos) 1(),(*llllllmllmmmmlxdxdlxPPxPdxdxxP)1 (!2) 1()()()1 ()(22勒让德多项式连带勒让德多项式|)!|(4) 12(|)!|(mllmlNlm（4）简并和本征值的简并度由于量子数 表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；m 称为磁量子数。m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, 1, 2, 3, ., 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。lmYYlmePNYmlmlmimmllmmlm,3,2,1),()1(),(,2,1 ,0)(cos)1(),(*根据球函数定义式
