1、初中数学初中数学一元二次方程一元二次方程 及其解法及其解法你还认识“老朋友”吗21.xaxa 、平方根的意义：如果，那么255.xx 例如，则2222222.2aabbaabbab、完全平方式：式子叫做完全平方式，并且222248.xxxxxx例如，42164200caxbxa形如的方程，叫做一元二次方程. 二次项，二次项， 二次项系数二次项系数a 一次项，一次项， 一次项系一次项系数数b常数项常数项必必须须牢牢记记二二次次项项系系数数不不为为0 231151012xkkxkxkk：关于 的方程：，为何值时，方程是一元二次方程？为何值时，方程是例一元一次方程？ 31031kkkk ： 1 当时
2、，即且时，原方程是一解元二次方程. 3102310kkkk 当时，即时，原方程是一元一次方程.22221220.xmxmxxm：若关于 的一元二次方程：的常数项为零，求例的值222222240m xmmxx：去括号，得 解，2222240mxm xm整理，得，22040.mm，根据题意，得2.m 解之，得221100.3xaxxaa ：关于 的一元二次方程的一个根为 ，则 的值为例1.1. 1.1.2ABCD0 xa：将已知代入原方程的左、右两边后，可以求出 的值，但是必须满足隐含条件“一元二次方程”，即保证二次项系数不能为零，这是我们学生容易忽分析略的地方.C2222100101011aaa
3、aa 2.0.xaxaxaaa 如果，那么 叫做 的平方根，记作当然，这里的 要满足首先，我们要明确一元二次方程的解法来源于平方根的定义首先，我们要明确一元二次方程的解法来源于平方根的定义.20.xaxaa 所以，当我们把看作是一个最基本的一元二次方程时，则方程的解为：这里必须满足，2221203.xaaxca xbc、，根据平方根的定义，形如、， 的一元二次方程，、可利用直接开平方法求解.注意：在用直接开平注意：在用直接开平方法对方程方法对方程1、2、3求解时，字母系数要求解时，字母系数要满足什么条件？满足什么条件？21xaxa 、22220axcaxccxacxa 、223a xbccxb
4、acxbacxba 、2910.x 程例 ：解方123212.x例 ：解方程2221291191911.33xxxxx ：，解21224222240.xxxxx ，解：对于缺少一次项的一元二次方程用直接开平方法来解比较简便对于缺少一次项的一元二次方程用直接开平方法来解比较简便.2220 xx学会直接开平方法以后，如果我们遇到象这样的一元二次方程，发现它不符合直接开方的那三种基本型，怎么办？13x 2220 xx213x222xx2212 1xx 13x w1.移项:把常数项移到方程的左边.w你能从这道题的解法归纳出一般的解题步骤吗?w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解
5、一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square).2:890.xx解. 54x, 11x. 92x. 982 xx.4948222 xx.2542x. 54xw2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方.w3.变形:方程左分解因式,右边合并同类.w4.开方:方程左分解因式,右边合并同类.w5.求解:解一元一次方程.w6.定解:写出原方程的解.2890.xx解方程：用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤:23240.yy例：1.变变形形:把二次项系数化为把二次项系数化为12.移移项项:把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边;3
6、.配配方方:方程两边都加上方程两边都加上;4.变变形形:方程左边写成完全平方式方程左边写成完全平方式,右边常数合并右边常数合并;5.开开方方:根据平方根意义根据平方根意义,方程两边开平方方程两边开平方;6.求求解解:写出一元二次方程的两个解写出一元二次方程的两个解;224033yy解：22433yy22224313331yy211339y11333y 12113113,.3333yy 221237310 xmmxmxm ：已知关于 的方程：求证：不论 取任何实数，此方程都是一元例二次方程.分析：很显然，结论成立与否，取决于二次项系数的取值是否为零.22213636237123761mmmmm2
7、222222220,0,224,24axbxcbcxxaabcxxaabbbcxxaaaabbacxaa 22222122422422440244,.22bbacxaabbacxaabbacxabbacbbacbaxacxa 当时：22212124440,22bbacbbacbacxxaaabcxx 至此，当时，方程的解完全取决于方程的三个系数 ， ， ，也就是说，一旦一元二次方程的三个系数给定，代入 和 的表达式，那么方程的解也就随之确定.222224040242bbacbxxaabaca由配方所得结果：，若，则，所以方程没有此时实数根.224402bbacxbaca w一般地,对于一元二次
8、方程 22440 .2bbacxbaca w上面这个结论称为一元二次方程的求根公式.w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.240,:bac当时 它的根是w老师提示:w用公式法解一元二次方程的前提是:w1.必需是一般形式的一元二次方程: . w2. .200axbxca200axbxca240bac2(1)2410yy (2)2 (2)1x x 142cba，解224( 4)4 2 ( 1)240bac 2622622224421yyy， 解:原方程可化为 22 2102xx0124)22(4122222acbcba，22222202221xxx 点评：点评：用公式法解一元二次方程，常会忽
9、视 bac240解题的关键是熟记axbxca200()的求根公式xbbacabac 224240()注意应用时首先要将原方程化成一般形式，以便于确定a、b、c的值。 问：下面解方程的过程是否正确？问：下面解方程的过程是否正确？友情提示：友情提示：方程的两边方程的两边有相同的含有未知数的因式有相同的含有未知数的因式的时候，不能两边都除以这的时候，不能两边都除以这个因式，因为这样会把方程个因式，因为这样会把方程的一个根丢失了的一个根丢失了.23(2)2(2)2),32222322.3xxxxxx 解：两边除以（得：（）. 045, 0 xx或. 045xx1240.5xx，.01, 02xx或.
10、012xx1221.xx， 21 540 xx解：， 2220 xx x解：， 254222 .xxxx x解方程：1；1.1.用因式分解法的条件是用因式分解法的条件是: :方程左边能够分解方程左边能够分解, ,而右边等于零而右边等于零; ;2.2.理论依据是理论依据是: :如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零式等于零. .因式分解法解一元二次方程的一般步骤因式分解法解一元二次方程的一般步骤: :一移一移-方程的右边方程的右边0;0;二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解; ;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程
11、; ;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解. .(1)2 (413)7xx()()27 410 xx 270410 xx或 xx127214， 因式分解法：因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程的方程282670 xx解：原方程可化为 2(2)(12 )3(12 )20yy(121)(122)0yy解： 12101220yy或yy12012， 因式分解法：因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程的方程12y把看作整体，用十字相乘法分解当一元二次方程的一边是0,而另一边
12、易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”因式分解法解一元二次方程的步骤是:(1)化方程为一般形式;(2)将方程左边因式分解;(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.因式分解的方法,突出了转化的思想方法“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.2680.ABCabcxxABC：的三边 ， ， 的长度均满足方程，求的周长例21268024024xxxxxx解：， 26412242410.abcabcABCabcabcABCabcabcabcABCabc因为 ， ， 都满足方程，所以有以下几种可能：1，此时的周长；2，此时的周长；3，此时不能满足三角形的三边关系，舍去；4，此时的周长 配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本技能来掌握.而某些方程可以用直接开平方法、分解因式法简便快捷地求解.祝大家学习愉快！
