1、函数单调性教学设计全国优质课比赛案例单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值（第一课时）（第一课时）2006全国优质课比赛教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章第一章函数单调性教学设计全国优质课比赛案例一、对一、对“函数的单调性函数的单调性”的设计构的设计构思思n1.教学内容的分析教学内容的分析n函数的单调性是学生在了解函数概念函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提概念，为进一步学
2、习函数其他性质提供了方法、依据。供了方法、依据。函数单调性教学设计全国优质课比赛案例2.教学目标的确定教学目标的确定n根据本课教材的特点、教学大纲对本根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标。从三个不同的方面确定了教学目标。重视单调性概念的形成过程和对概念重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养
3、成。证能力的培养和良好思维习惯的养成。函数单调性教学设计全国优质课比赛案例n对于函数单调性，学生的认知困难主对于函数单调性，学生的认知困难主要存在两个方面：（要存在两个方面：（1）用准确的数学）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的种由形到数的“翻译翻译”，从直观到抽，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。根
4、据以上的分析和教学大纲薄弱的。根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点。的要求，确定了本节课的重点和难点。函数单调性教学设计全国优质课比赛案例3.教学方法和教学手段的选择教学方法和教学手段的选择n本节课是函数单调性的起始课本节课是函数单调性的起始课,采用教采用教师启发引导、学生探究学习的教学方师启发引导、学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法。本交流，最终形成概念，获得方法。本节课使用了多媒体和计算机来辅助教节课使用了多媒体和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有学，为学生提供直观感性的材料，有助
5、于学生对问题的理解和认识。助于学生对问题的理解和认识。函数单调性教学设计全国优质课比赛案例4.教学过程的设计教学过程的设计n为达到本节课的教学目标为达到本节课的教学目标,突出重点突出重点,突破难点突破难点,教学上采取了以下的措施教学上采取了以下的措施: （1）在探索概念阶段）在探索概念阶段,让学生经历从让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认识过程，完成对函数单调到理性的认识过程，完成对函数单调性定义的三次认识，使得学生对概念性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入。的认识不断深入。函数单调性教学设计全国优质课比赛案例n（2）在应用概念阶段，
6、通过对证明过）在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。函数单调性的方法和步骤。n（3）考虑到本校（北京景山学校）学）考虑到本校（北京景山学校）学生数学基础较好、思维较为活跃的特生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。究函数单调性埋下伏笔。函数单调性教学设计全国优质课比赛案例函数单调性函数单调性教材教材分析分析教学教学目标目标重点重点难点难点教学教学过程过程教法教法学法学法二、二、
7、“函数单调性函数单调性”的教学设计的教学设计函数单调性教学设计全国优质课比赛案例函数的函数的单调性单调性函数概念的延续和拓展函数概念的延续和拓展培养学生逻辑推理培养学生逻辑推理能力和渗透数形结能力和渗透数形结合思想的重要素材合思想的重要素材对研究其他函数性质对研究其他函数性质起启发和示范作用，起启发和示范作用，是学习研究其它数学是学习研究其它数学知识的重要基础知识的重要基础1.教材分析函数单调性教学设计全国优质课比赛案例学生的认知困难学生的认知困难由形到数的翻译由形到数的翻译,从直观从直观到抽象的转变到抽象的转变.在函数学习中首次接触在函数学习中首次接触到代数论证到代数论证.1.教材分析函数单
8、调性教学设计全国优质课比赛案例 理解函数单调性的概念理解函数单调性的概念; 初步掌握判断、证明函数单调性的步骤初步掌握判断、证明函数单调性的步骤重点重点 函数单调性概念的理解函数单调性概念的理解; 难点难点1.教材分析函数单调性教学设计全国优质课比赛案例2.教学目标1 1、理解函数单调、理解函数单调性的概念性的概念2 2、初步掌握判断、初步掌握判断、证明函数单调性的证明函数单调性的步骤步骤3 3、了解函数单调、了解函数单调区间的概念区间的概念通过知识的探究过程通过知识的探究过程培养学生细心观察、培养学生细心观察、认真分析、勇于探索认真分析、勇于探索、严谨论证的良好思、严谨论证的良好思维习惯维习
9、惯1 1、通过对函数单调性、通过对函数单调性定义的探究，让学生经定义的探究，让学生经历从具体到抽象，从特历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理殊到一般，从感性到理性的认知过程性的认知过程2 2、通过对函数单调性、通过对函数单调性的证明，提高学生的推的证明，提高学生的推理论证能力理论证能力3 3、渗透数形结合的思、渗透数形结合的思想方法，培养学生观察想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和、归纳、抽象的能力和语言表达能力语言表达能力函数单调性教学设计全国优质课比赛案例3.教法学法多媒体教学多媒体教学讲练结合讲练结合探究式教学探究式教学自主探究自主探究合作交流合作交流函数单调性教学设计全国优质课
10、比赛案例函数的单调性函数的单调性创设情境，引入课题创设情境，引入课题探究新知，构建概念探究新知，构建概念例题分析，巩固练习例题分析，巩固练习归纳小结，布置作业归纳小结，布置作业板书设计板书设计4.教学设计函数单调性教学设计全国优质课比赛案例 1、下图是气象台预测北下图是气象台预测北京市今年京市今年8 8月月8 8日一天日一天2424小时小时内气温随时间变化的曲线图内气温随时间变化的曲线图, ,观察图形观察图形, ,你能得到什么信息你能得到什么信息? ?)( CTt教学过程教学过程函数单调性教学设计全国优质课比赛案例引导学生识图，捕捉引导学生识图，捕捉信息，启发学生思信息，启发学生思考考由生活情
11、境引入新课，由生活情境引入新课，从而拉近数学与现实从而拉近数学与现实的距离，激发学生的的距离，激发学生的求知欲，调动学生主求知欲，调动学生主体参与的积极性。体参与的积极性。教学过程教学过程2 2近十几年来，南极上空臭近十几年来，南极上空臭氧层空洞的面积从氧层空洞的面积从1979200119792001年的变化。年的变化。 函数单调性教学设计全国优质课比赛案例借助图象借助图象直观感知直观感知抽象思维抽象思维形成概念形成概念教学过程教学过程函数单调性教学设计全国优质课比赛案例数值有什么变化规律？时，函并且观察当自变量变化的图象，和：分别作出函数问题xyxyxyxy1, 2, 212教学过程教学过程
12、函数单调性教学设计全国优质课比赛案例教学过程教学过程xyO 112-1-2234xyO 112-1-2234xyO 112-1-2234xyO 112-1-223-1 -2 从学生熟悉的函数图从学生熟悉的函数图象出发，渗透数形结象出发，渗透数形结合思想，引导学生直合思想，引导学生直观感知函数的单调性观感知函数的单调性 激发学生学习兴趣和激发学生学习兴趣和热情热情 培养学生观察，猜想，培养学生观察，猜想，归纳的能力归纳的能力 形成自主探究，独立形成自主探究，独立思考的思维品质思考的思维品质函数单调性教学设计全国优质课比赛案例 引导学生进行分类描述引导学生进行分类描述 (增函数、减函数增函数、减函
13、数),同时同时明确函数的单调性是对明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言定义域内某个区间而言的的,是函数的局部性质是函数的局部性质. 从图象的角度对函数单从图象的角度对函数单调性的直观、描述性的调性的直观、描述性的认识完成对函数单调认识完成对函数单调性的第一次认识。性的第一次认识。问题问题2 2：能否根据自己的：能否根据自己的理解说说什么是增函数、理解说说什么是增函数、减函数减函数? ?教学过程教学过程函数单调性教学设计全国优质课比赛案例2、 学生难以确定分界学生难以确定分界点的确切位置。点的确切位置。 通过讨论，使学生通过讨论，使学生感受到用图象判断感受到用图象判断函数单调性比较直函数单调
14、性比较直观，但有时不够精观，但有时不够精确，需要结合解析确，需要结合解析式进行严密化、精式进行严密化、精确化的研究。使学确化的研究。使学生体会到用数量大生体会到用数量大小关系严格表述函小关系严格表述函数单调性的必要性。数单调性的必要性。问题问题3 3：下图是函数：下图是函数的图象，能说出这个函数分别在哪个的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数或减函数吗？区间为增函数或减函数吗？教学过程教学过程2(0)yxxx 函数单调性教学设计全国优质课比赛案例 对于学生错误的回答，对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的
15、根使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在穷举，从而引导学生在给定的区间内任取两个给定的区间内任取两个自变量。自变量。把对单调性的认识由感把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高性上升到理性认识的高度，完成对概念的第二度，完成对概念的第二次认识。次认识。事实上也给出了证明单事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫段的学习做好铺垫教学过程教学过程2、240)?y x问 题： 如 何 从 解 析 式 的 角 度 说明函 数在 ，上 是 增 函 数预案：（预案：（1）在给定区间内取两个）在给定区间内取两个数，例如数，例如2和
16、和3，因为，因为2232，所，所以以 在在 上为增函上为增函数。（数。（2）取多组数值验证均满）取多组数值验证均满足，所以足，所以 在在 上上为增函数。（为增函数。（3）任取）任取 则则 在在 上为增函数。上为增函数。2( )f xx0,)2( )f xx0,)221212120 xxxxxx因为（）（）12x x且 ，12,0,),x x 2( )f xx0,)函数单调性教学设计全国优质课比赛案例2、 引导学生归纳、引导学生归纳、抽象出函数单抽象出函数单调性的定义调性的定义 使学生经历从使学生经历从具体到抽象具体到抽象,从从特殊到一般的特殊到一般的认知过程认知过程 培养学生归纳培养学生归纳概
17、括能概括能 力力问题问题5 5：你能用准确的数学符号语言：你能用准确的数学符号语言 表述出增函数的定义吗表述出增函数的定义吗? ?,教学过程教学过程函数单调性教学设计全国优质课比赛案例 2、强调关键强调关键教学过程教学过程如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1 、x2 ；当；当x1 x2 时都有时都有f(x1 ) f(x2 )，那，那么就说函数么就说函数f (x)在区间在区间D上是增上是增函数。函数。Oxy)x(fy )x(f11x)x(f22x函数单调性教学设计全国优质课比赛案例 2、强调关键强调关键,教学过程教学过程如果对于定义域如果对
18、于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1 、x2 ；当；当x1 x2时，都有时，都有f(x1 ) f(x2 ) ，那么，那么就说函数就说函数f (x)在区间在区间D上是减函上是减函数。数。)x(f1)x(f2)x(fy Oxy1x2x函数单调性教学设计全国优质课比赛案例教学过程教学过程判断题：判断题： 强调单调性是函数的局部性质，强调单调性是函数的局部性质，加深对单调区间的认识：单调加深对单调区间的认识：单调性是对定义域内某个区间而言性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。就谈不上单调性。 函数在定义域内的两
19、个区间函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（或减）函数，一上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在般不能认为函数在 AB上是上是增（或减）函数。增（或减）函数。 函数单调性教学设计全国优质课比赛案例教学过程教学过程.), 0()0 ,(1)(), 0()0 ,(1)(f上是减函数在上都是减函数，所以和在若函数xxfxx判断题：判断题：.32)(),3()2()(上是增函数，在则函数满足若函数xfffxf.31)(3221)(）上是增函数，在（数）上均是增函数，则函，和（，在（若函数xfxf2）4）3） 1）1( )( 1)(2),( ).f xfff xx 已知，因为则是增函数函数单调性教学
20、设计全国优质课比赛案例 强化学生应用数强化学生应用数形结合的思想解形结合的思想解题的意识，进一题的意识，进一步加深对概念的步加深对概念的理解理解 明确单调性是函明确单调性是函数的局部性质数的局部性质 加深对单调区间加深对单调区间的认识的认识例例1 、下图是定义在区间、下图是定义在区间-5，5上的上的函数，根据图像写出函数的单调区间，函数，根据图像写出函数的单调区间，以及在每个单调区间上，它是增函数还以及在每个单调区间上，它是增函数还是减函数？是减函数？教学过程教学过程)(xfy -21 2 3 4 5-23-3-4-5-1-112xyO函数单调性教学设计全国优质课比赛案例 初步掌握运用初步掌握
21、运用定义进行简单定义进行简单论证的基本方论证的基本方法，强化证题法，强化证题的规范性训练，的规范性训练，引导学生归纳引导学生归纳证明函数单调证明函数单调性的步骤：设性的步骤：设元、作差、变元、作差、变形、断号、定形、断号、定论论例例2、证明函数、证明函数 在在上是增函数。上是增函数。教学过程教学过程2fxxx（ ）2 （ ， ）函数单调性教学设计全国优质课比赛案例 再次运用函数再次运用函数单调性定义进单调性定义进行论证，解决行论证，解决实际应用问题，实际应用问题，并强化证题的并强化证题的规范性训练。规范性训练。例例3、物理学中的玻意耳定理、物理学中的玻意耳定理P=K/V（K为正常数）告诉我们对
22、于一定量的气体，为正常数）告诉我们对于一定量的气体，当其体积当其体积V减小时，压强减小时，压强P将增大，试用将增大，试用函数的单调性证明之。函数的单调性证明之。教学过程教学过程函数单调性教学设计全国优质课比赛案例教学过程教学过程 小结：小结： 定义： 注意点：1.证明步骤： 通过小结突出重通过小结突出重点，让学生对所点，让学生对所学知识结构有一学知识结构有一个清晰的认识个清晰的认识函数单调性教学设计全国优质课比赛案例教学过程教学过程 通过两方面的作业，通过两方面的作业，满足学生多样化的满足学生多样化的学习需要学习需要 作业：作业：必做题：必做题：P43习题1.3 A组 1，2选做题：选做题：P43习题1.3 A组 3数学日记：数学日记：谈谈你本节课中的收获或者困惑，整理你认为本节课中的最重要的知识和方法函数单调性教学设计全国优质课比赛案例教学过程教学过程 投投影影区区 1.3.1单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值1、增函数：、增函数： 减函数：减函数：2、注意：、注意：3、证明步骤：、证明步骤：问题（例）问题（例）问题（例）问题（例）
