1、12n按照一定的数学法则，把数学符号连接起按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。来的符号串，我们称之为数学式。n学生学会运用符号语言表示数学思想，这学生学会运用符号语言表示数学思想，这是数学教育的一项重要目标，也是学生必是数学教育的一项重要目标，也是学生必须掌握的一项数学基本能力。须掌握的一项数学基本能力。3一一数学符号简史数学符号简史二二数学符号语言数学符号语言代数式代数式三三字母表示数字母表示数四四解析式解析式五五绝对不等式的证明绝对不等式的证明六六条件不等式的求解条件不等式的求解七七高中课程高中课程不等式选讲不等式选讲解析解析八八不等式的有关问题不等式的有关问
2、题4一、数学符号简史一、数学符号简史n欧几里得欧几里得几何原本几何原本就不使用数学符号。就不使用数学符号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用包括使用0 0，也大量求解方程，但是因为计，也大量求解方程，但是因为计算过程依赖于算过程依赖于算筹算筹，所以也没有使用小数，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，点、分数和其它运算符号，0 0只是一个空格。只是一个空格。n最早使用最早使用“+ +”“- -”表示加减的是表示加减的是1515世纪的德世纪的德国数学家。现存于德累斯顿图书馆的数学国数学家。现存于德累斯顿图书馆的数学手稿（手稿（14861486
3、年）中，首见此符号。年）中，首见此符号。5n16311631年，英国数学家奥特雷德在年，英国数学家奥特雷德在数学之数学之钥钥一书中使用一书中使用“”表示乘法，而表示乘法，而16981698年年莱布尼茨在一封信中使用莱布尼茨在一封信中使用“. .”表示乘法，表示乘法，这样可以避免这样可以避免“”和字母和字母x x混淆。除法的混淆。除法的记号记号“”在在16591659年由瑞士人雷恩引入。年由瑞士人雷恩引入。n等号是英国数学家雷科德于等号是英国数学家雷科德于15571557年在年在励励智石智石一书首先使用。一书首先使用。 n1919世纪末世纪末2020世纪初国际交往的扩大，终于世纪初国际交往的扩大
4、，终于有了比较统一的国际通用的数学符号。有了比较统一的国际通用的数学符号。6n中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政府推行满清政府推行“中学为体，西学为用中学为体，西学为用”的的政策，在符号使用上拒绝和国家接轨。政策，在符号使用上拒绝和国家接轨。 n中国现行教材当中有关数学符号史的介绍中国现行教材当中有关数学符号史的介绍78910二、数学符号语言二、数学符号语言代数式代数式n自学，谈体会自学，谈体会11三、字母表示数三、字母表示数n有些知识，虽然教师需要透彻理解，而学有些知识，虽然教师需要透彻理解，而学生只需要理解其大意，会用即可。生只需要理解其大意，会
5、用即可。n字母表示数可以分为四个层次：字母表示数可以分为四个层次： 用文字泛指某个数集中的一个数用文字泛指某个数集中的一个数 专指特定的数专指特定的数 作为变量作为变量 作为不定元参与运算作为不定元参与运算12四、解析式四、解析式n解析式解析式用运算符号、函数符号、括号，用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。作用于数字和字母之上形成的数学式。n代数式：只含有加、减、乘、除四则运算代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。和有理数次的乘方开方运算的解析式。n超越式：解析式中如果除了代数运算之外，超越式：解析式中如果除了代数运算之外，还有超越运算
6、，称之为超越式。还有超越运算，称之为超越式。13三角式、反三角式指数式、对数式超越式根式无理式分式整式有理式代数式解析式（1）解析式的分类是就它们的形式来说的。解析式的分类是就它们的形式来说的。 如如tanxcotx虽然恒等于虽然恒等于1，但我们仍把它看作三角式或初等超越式。，但我们仍把它看作三角式或初等超越式。 （2）解析式的分类是针对所考察的字母涉及的运算而言的。解析式的分类是针对所考察的字母涉及的运算而言的。式子式子 是关于字母是关于字母x的整式的整式,也是关于字母也是关于字母y的整式，同的整式，同时还是关于字母时还是关于字母x,y的整式的整式,但它是关于字母但它是关于字母z的分式。的分
7、式。两点说明：两点说明：14n两个解析式两个解析式 用等号连接起用等号连接起来的式子称为来的式子称为：n等式可以分为两类：恒等式和条件等式。等式可以分为两类：恒等式和条件等式。n两个解析式两个解析式 用不等号用不等号连接起来的式子称为连接起来的式子称为：n不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式。不等式。 ),(),(zyxBzyxA),(),(zyxBzyxA),(),(zyxBzyxA),(),(zyxBzyxA15五、绝对不等式的证明五、绝对不等式的证明n常识性理解的论证常识性理解的论证n用比较法证明不等式用比较法证明不等式n用分析法和综合法证明不等
8、式用分析法和综合法证明不等式n用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式n构造函数证明不等式构造函数证明不等式n构造几何图形证明不等式构造几何图形证明不等式n反证法在不等式证明中的应用反证法在不等式证明中的应用 16六、条件不等式的求解六、条件不等式的求解1.由复杂向简单不等式的转化由复杂向简单不等式的转化2.分类讨论分类讨论3.用几何方法求解不等式用几何方法求解不等式4.不等式的同解变形不等式的同解变形5.含参数不等式的处理含参数不等式的处理6.不等式在解决不等式在解决“最值最值”问题上的应用问题上的应用17七、高中课程七、高中课程不等式选讲不等式选讲解析解析1. 不等式选讲不等式选讲内容简介内容
9、简介2. 不等式的基本性质不等式的基本性质3. 几个重要不等式几个重要不等式4. 一个例子一个例子181. .不等式选讲不等式选讲内容简介内容简介n普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准中的中的“不等式不等式选讲选讲”n人教人教A版中的版中的“不等式选讲不等式选讲”1920212.不等式的基本性质不等式的基本性质223 .3 .几个重要不等式几个重要不等式 算术算术几何平均不等式几何平均不等式 柯西不等式柯西不等式 排序不等式排序不等式 贝努利不等式贝努利不等式 琴生不等式琴生不等式23 算术算术几何均值不等式几何均值不等式24例：例：求函数求函数 的最小值。某位学的最小值。某位学生解决上述
10、问题时用如下方法：生解决上述问题时用如下方法：解：因为解：因为 所以函数的最小值是所以函数的最小值是24。请你判断上述解法是否正确，若有错误，请请你判断上述解法是否正确，若有错误，请给出给出正确解法正确解法。)0(64832xxxxy24648364833232xxxxxxy25 柯西不等式柯西不等式简单形式的柯西不等式简单形式的柯西不等式26272829一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式3031 排序不等式排序不等式逆序和乱序和）。（顺序和乱序和），（的任意两个排列，则，是，与，设21211111212121211111babababababababanjjjiiibbbaaannji
11、jinnjijinnnnnnnn32二维形式：二维形式：33一般形式的证明：一般形式的证明：）。（需证的任意一个排列，则只，是，换加数，总可以使得）。由于经过有限次交证：先证明（3211221121212121212211nnknkknknkkjijijibabababababankkkbabababababannnn）成立。故（，则，换成，把例如）左边的值不会减小。换，（，而每作一次这样的对，小序号对换）把它变为前面的大序号与后面的换，总可以经过有限次对，事实上，对任给的排列30)()()(,321(2112211221212121212112212121kkkkkkknkkknkknnnb
12、baababababababababababakkkkkkkknkkknn34）成立。，即知（把上式两边除以）。（）（）（）（）（）（；，）。）证明（再由（2121112121212211bababababababbbaaannnjijijinnnn35 贝努利不等式贝努利不等式011102;111011xxxxxx件为其中等号成立的充要条，时，或）当时，）当，则设一般形式：一般形式：36特殊形式：特殊形式：37 琴生（琴生（JonsonJonson）不等式）不等式时成立。其中等号均当且仅当下凸，则不等号反向，在区间若，必有，以及任意内上凸，则对任意在区间若一nnnnnnnnxxxxfxfxf
13、xxfRIxxxxf211111212121I)();()(1,I)(时成立。当且仅当号反向，其中等号均内的下凸函数，则不等为区间若，总有意内的上凸函数，则对任为区间若二nnnnxxxxfnxfxfxfnxxxfIxxxxf21212121I)(;)()()(,I)(38四四. .一个例子一个例子n设是e自然对数的底，是圆周率，n求证een要求：至少选用两种不同方法进行论证。39八、不等式有关问题选讲八、不等式有关问题选讲n第一部分：问题第一部分：问题2.1问题问题2.19n第二部分：问题第二部分：问题2.20问题问题2.2540课本课本 P59 3、5n求y=(80-2x)(50-2x)x的最大值，其中0 x25。
