1、( (一一) ) 引言引言 （二）爱因斯坦的发射与吸收系数（二）爱因斯坦的发射与吸收系数 （三）微扰理论计算发射与吸收系数（三）微扰理论计算发射与吸收系数（四）微波量子放大器和激光器微波量子放大器和激光器5.8 光的吸收与发射光的吸收和受激发射：光的吸收和受激发射：在光的照射下，原子可能吸收光而从较低能级跃迁到较高能在光的照射下，原子可能吸收光而从较低能级跃迁到较高能级，反之亦反，我们分别称之为级，反之亦反，我们分别称之为光的吸收和受激发射光的吸收和受激发射。自发辐射：自发辐射：若原子处于较高能级（激发态），即使没有外界光照射，也能若原子处于较高能级（激发态），即使没有外界光照射，也能跃迁到较
2、低能级而发射光子的现象称为跃迁到较低能级而发射光子的现象称为自发辐射自发辐射。对于原子和光的相互作用（吸收和发射）所产生的现象，彻底对于原子和光的相互作用（吸收和发射）所产生的现象，彻底地用量子理论解释，属于量子电动力学的范围，这里不作讨论。地用量子理论解释，属于量子电动力学的范围，这里不作讨论。本节采用较简单地形式研究这个问题。本节采用较简单地形式研究这个问题。光吸收发射的半径典处理：光吸收发射的半径典处理：（1 1）对于原子体系用量子力学处理；）对于原子体系用量子力学处理； （2 2）对于光用经典理论处理，即把光看成是电磁波。）对于光用经典理论处理，即把光看成是电磁波。 这样简单化讨论只能
3、解释吸收和受激发射而不能解释自发辐射。这样简单化讨论只能解释吸收和受激发射而不能解释自发辐射。( (一一) ) 引言引言光辐射、吸收光辐射、吸收光子产生与湮灭光子产生与湮灭量子电动力学量子电动力学电磁场量子化电磁场量子化在前面的讨论中，我们将光子产生与湮灭在前面的讨论中，我们将光子产生与湮灭问题转化为在电磁场作用下原子在不同能问题转化为在电磁场作用下原子在不同能级之间的跃迁问题，从而用非相对论量子级之间的跃迁问题，从而用非相对论量子力学进行了研究。力学进行了研究。这种简化的物理图象这种简化的物理图象 不能合理自恰的解释不能合理自恰的解释 自自 发发 发发 射射 现现 象象这是因为，若初始时刻体
4、系处于某一定态（例如某激发能级），根这是因为，若初始时刻体系处于某一定态（例如某激发能级），根据量子力学基本原理，在没有外界作用下，原子的据量子力学基本原理，在没有外界作用下，原子的HamiltonHamilton是守恒是守恒量，原子应该保持在该定态，是不会跃迁到较低的能级上去的。量，原子应该保持在该定态，是不会跃迁到较低的能级上去的。 Einstein Einstein曾提出了一个半唯象的理论，来简化处理自发发射问曾提出了一个半唯象的理论，来简化处理自发发射问题。他借助于物体与辐射场在达到平衡时的热力学关系，建立了自题。他借助于物体与辐射场在达到平衡时的热力学关系，建立了自发发射与吸收及受激
5、发射之间的关系。发发射与吸收及受激发射之间的关系。（二）爱因斯坦吸收与发射系数（二）爱因斯坦吸收与发射系数(1) (1) 自发辐射自发辐射(spontaneous radiation) 设设 Nk 、Nm 单位体积中处于单位体积中处于Ek 、Em 能级的原子数。能级的原子数。 单位体积中单位时间内，单位体积中单位时间内， 从从Em Ek自发辐射自发辐射 的原子数：的原子数： mkmdNNdt自发EmEkNmNkh 写成等式写成等式 mkmkmdNA Ndt自发 mk 自发辐射系数，单个原子在单位自发辐射系数，单个原子在单位 时间内发生自发辐射过程的概率。时间内发生自发辐射过程的概率。 各原子自
6、发辐射的光是独立的、各原子自发辐射的光是独立的、 无关的无关的 非相干光非相干光 。（2）受激辐射）受激辐射 (stimulated radiation)EmEkNmNk全同光子全同光子h 设设 I（、）温度为温度为时时, 频率为频率为 = (Em - Ek) / h附近，单位频率间隔的附近，单位频率间隔的 入射光的能量密度。入射光的能量密度。 单位体积中单位时间内，从单位体积中单位时间内，从Em Ek 受激辐射的原子数：受激辐射的原子数：mk()mdNIT Ndt受激、写成等式写成等式mkmmkdNBITNdt受激、 Bmk受激辐射系数受激辐射系数Wmk 单个原子在单位时间内发生单个原子在单
7、位时间内发生 受激辐射过程的概率。受激辐射过程的概率。mkmmkdNWNdt受激则则受激辐射光与外来光的频率、偏振方向、受激辐射光与外来光的频率、偏振方向、相位及传播方向均相同相位及传播方向均相同-有光的放大作用有光的放大作用。令令 Wmk = Bmk I（ 、T）(3) 吸收吸收(absorption)EmEkNmNkh 上述外耒光也有可能被吸收，上述外耒光也有可能被吸收， 使原子从使原子从 EkEm。单位体积中单位时间内因吸收外来光而从单位体积中单位时间内因吸收外来光而从 EkEm 的原子数：的原子数：,kmkdNIT Ndt吸收写成等式写成等式kmkmkdNWNdt吸收 Bkm 吸收系数
8、吸收系数令令 Wkm=km I( 、T) Wkm 单个原子在单位时间内发生单个原子在单位时间内发生 吸收过程的概率。吸收过程的概率。,kmkmkdNBIT Ndt吸收Amk 、Bmk 、Bkm 称为爱因斯坦系数。称为爱因斯坦系数。(4) 吸收吸收 、发射系数的关系、发射系数的关系在光波作用下，单位时间内，体系从m 能级跃迁到k 能级的几率是：)(mkmkmkIBA 从从k k 能级跃迁到能级跃迁到m m 能级的几率是：能级的几率是：)(mkkmIB 当这些原子与电磁辐当这些原子与电磁辐射在绝对温度射在绝对温度 T T 下下处于平衡时，必须满处于平衡时，必须满足右式条件：足右式条件：)()(mk
9、kmkmkmkmkmIBNIBAN k k 能级上的能级上的 原子的数目原子的数目m m 能级上的能级上的 原子的数目原子的数目辐射场能量密度辐射场能量密度由上式可以解得能量密度表示式：由上式可以解得能量密度表示式：mkmkmkmkmmkBNBNANI )( Bkm = Bmk求原子数求原子数 N Nk k 和和 N Nm m据麦克斯韦据麦克斯韦- - 玻尔兹曼分布律：玻尔兹曼分布律： kTmkTkmkeTCNeTCN/)()( 二式相比二式相比kTkTmkmkkmeeNN/ )( 11)(/kTmkmkmkmkeBAI 代入代入上式上式得：得： 1mkmkmkNNBA与黑体辐射公式比较与黑体
10、辐射公式比较在第一章给出了在第一章给出了 Planck Planck 黑体辐射公式黑体辐射公式 dechdkTh118)(/33 辐射光在频率辐射光在频率 间隔间隔+d +d 内的能量密度内的能量密度mkkTmkmkmkmkdeBAdImk 11)(/在角频率在角频率 间隔间隔 +d+d内内 辐射光的辐射光的 能量密度能量密度 dId)()( 所以所以 dId)(2)( )(2)( I 考虑到考虑到 =2 =2 和和 d= 2dd= 2d12118/33 kTmkmkkThmkmkmkeBAech 代入辐射公式得：代入辐射公式得： mk=hmkmkmkmkmkmkBcBchA323334 12
11、/ kThmkmkmkeBA 爱因斯坦的受激辐射理论为六十年代初实验上爱因斯坦的受激辐射理论为六十年代初实验上获得激光奠定了理论基础。获得激光奠定了理论基础。mkmkmkmkmkBcBchA323334 kmmkBBAmk 、Bmk 、Bkm 称为爱因斯坦系数。称为爱因斯坦系数。爱因斯坦在爱因斯坦在 19171917年从理论上得出年从理论上得出六十年代初对六十年代初对发明激光发明激光有贡献的三位科学家。有贡献的三位科学家。1964年获诺贝尔物理奖。年获诺贝尔物理奖。巴索夫巴索夫普罗恰洛夫普罗恰洛夫汤斯汤斯（1 1）两点近似）两点近似1. 1. 忽略光波中磁场的作用忽略光波中磁场的作用照射在原子
12、上的光波，其电场照射在原子上的光波，其电场 E E 和磁场和磁场 B B 对原子中电子的作用分对原子中电子的作用分别为（别为（CGSCGS）：）：半径）（其中BohreaeEarEeUE22 BMUB 二者之比：二者之比：eEaEceUUEB 即，光波中磁场与电场对电子作用能之比，近似等即，光波中磁场与电场对电子作用能之比，近似等于精细结构常数于精细结构常数，所以磁场作用可以忽略。，所以磁场作用可以忽略。22eeEEce 22ea ce2 1371EceBLcez 2B E（三）微扰理论计算光的吸收与受激发射（三）微扰理论计算光的吸收与受激发射2. 2. 电场近似均匀电场近似均匀考虑沿考虑沿z
13、 z轴传播的单色偏振光，即其电场可以表示为：轴传播的单色偏振光，即其电场可以表示为： 0)cos(20zyxEEtzEE 电场对电子的作用仅存在于电子活动的电场对电子的作用仅存在于电子活动的空间，即原子内部。所以我们所讨论的空间，即原子内部。所以我们所讨论的问题中，问题中，z z的变化范围就是原子尺度的变化范围就是原子尺度 a a 10 10-10-10 m m，而，而 10 10-6-6 m m。11024 a 于是故电场中的故电场中的110224 az 可略可略于是光波电场可改写为：于是光波电场可改写为：tEEx cos0 所以在原子范围内可以近似认为电场是均匀的。所以在原子范围内可以近似
14、认为电场是均匀的。（2 2）微扰）微扰 Hamilton Hamilton 量量电子在上述电场中的电势能是：电子在上述电场中的电势能是：0210210cosexEFeeFeeexEtexEexEHtitititix 其中 （3 3）求）求 跃迁速率跃迁速率 kmkm(I) (I) 对光的吸收情况，对光的吸收情况，k k k k）的跃迁速率为：）的跃迁速率为：)(mkkmmkIB 吸收吸收 系数系数2222|34mkkmreB 与微扰论得到的公式与微扰论得到的公式222| )(34mkmkmkrIe 比较得：比较得：mkmkmkBcA323 2222323|34kmmkrec 2332|34km
15、mkrce 2222|34kmmkreB 自发跃迁辐射强度自发跃迁辐射强度A Amkmk 单位时间内原子从单位时间内原子从m m 自发地跃迁到自发地跃迁到 k k 的几率，的几率，与此同时，原子发射一个与此同时，原子发射一个 mkmk 的光子。的光子。 N Nm m 处于处于m m 原子数，原子数， N Nm mA Amkmk单位时间内发生自发跃迁原子数（从单位时间内发生自发跃迁原子数（从m m k k）。）。也是发射能量为也是发射能量为 m k m k 的光子数。的光子数。mkmkmmkANJ 频率为频率为 mkmk 的光总辐射强度的光总辐射强度mkkmmkmrceN 2332|34 234
16、2|34kmmkmrceN 原子处于激发态的寿命原子处于激发态的寿命 处于激发态处于激发态m m 的的N Nm m 个原子个原子中，在时间中，在时间 dtdt 内自发跃内自发跃迁到低能态迁到低能态k k 的数目是的数目是dtNAdNmmkm 表示激发态表示激发态 原子数的减少原子数的减少 积分后得到积分后得到 N Nm m 随时间变化得规律随时间变化得规律 mkmktmtAmmeNeNN /)0()0( t=0 t=0 时时N Nm m 值值 平均寿命平均寿命 如果在如果在m m 态以下存在许多低能态态以下存在许多低能态 k k ( k=1,2,( k=1,2,i )i )单位时间内单位时间内
17、m m 态自发跃迁的总几率为：态自发跃迁的总几率为： mkikmAA 1单位时间内原子从单位时间内原子从 m m 第第 k k 态态 的的跃迁几率跃迁几率 原子处于原子处于m m 态的平均寿命态的平均寿命 mkkmmAA 11 )(1kmEE （1） 受激辐射的重要应用受激辐射的重要应用微波量子放大器和激光器微波量子放大器和激光器受激辐射的特点：出射光束的光子与入射光子的状态完全相同受激辐射的特点：出射光束的光子与入射光子的状态完全相同 （能量、传播方向、相位）。（能量、传播方向、相位）。I 微波量子放大器微波量子放大器EmEk m k NmNk II 激光器激光器自发辐射的光子引起受激辐射的
18、连锁反应过程自发辐射的光子引起受激辐射的连锁反应过程入射光子引起的受激辐射过程入射光子引起的受激辐射过程（2）受激辐射的条件）受激辐射的条件工作物质中，原子体系处于激发态工作物质中，原子体系处于激发态 m ，为了获得受激，为了获得受激发射而跃迁到低激发态发射而跃迁到低激发态 k 必须具备两个条件。必须具备两个条件。（四）微波量子放大器和激光（四）微波量子放大器和激光kmNN 单位时间内由单位时间内由 m 态到态到 k 态的受激发射应超过由态的受激发射应超过由 k 态到态到 m 态的吸收。为此要求处于高、低能态的粒子数态的吸收。为此要求处于高、低能态的粒子数 Nm 和和Nk 满足：满足：粒子数反
19、转粒子数反转受激发射：受激发射：Wmk = Bmk I（ 、T）吸收：吸收： Wkm = Bkm I（ 、T）EmEkNmNkh mkmmkdNWNdt受激kmkmkdNWNdt吸收根据根据 BoltzmannBoltzmann 分布律，热平衡下，粒子数分布由下式给出：分布律，热平衡下，粒子数分布由下式给出：1kmEEkTkmeNN 能级越高，原子数越少。能级越高，原子数越少。 m 态与态与 k 态的能量差一般大于态的能量差一般大于 1 eV 11605 0 K (常温常温300 0 K )，所以常温热平衡下，原子几乎全部处于基态，处于激，所以常温热平衡下，原子几乎全部处于基态，处于激发态的微
20、乎其微。故产生发态的微乎其微。故产生Nm Nk 的现象称为粒子数反转。的现象称为粒子数反转。 粒子数反转是受激发射的关键，各种类型的微波量子放大器粒子数反转是受激发射的关键，各种类型的微波量子放大器和激光器就是要采用各种不同的方法来实现粒子数反转。和激光器就是要采用各种不同的方法来实现粒子数反转。II自发辐射自发辐射 0 0 时时)(mkmkmkIBA 当当 m k m k 0 . 00006 m = 0 ，即，即 m km k低，低，自发辐射几率自发辐射几率 受激辐射几率，产生受激辐射几率，产生 受激辐射的条件自然得到满足。受激辐射的条件自然得到满足。可见光情况：可见光情况： m k 受激辐
21、射几率，不满足产生受激辐射几率，不满足产生 受激辐射的条件。为此就必受激辐射的条件。为此就必须用一个谐振腔来增强辐射场使辐射密度远大于热平衡时须用一个谐振腔来增强辐射场使辐射密度远大于热平衡时的数值，以提高受激辐射几率。的数值，以提高受激辐射几率。5.9 选择定则选择定则（1 1）禁戒跃迁）禁戒跃迁从上面的讨论可知，原子从上面的讨论可知，原子 在光波作用下由在光波作用下由 k k 态跃态跃 迁到迁到 m m 态的几率：态的几率：2|mkmkr 禁戒跃迁：禁戒跃迁： 当当 |r|rmkmk| |2 2 = 0 = 0 时，在偶极近似下，跃迁时，在偶极近似下，跃迁几率等于零，即跃迁不能发生。我们称
22、这种几率等于零，即跃迁不能发生。我们称这种不能实现的跃迁为禁戒跃迁。不能实现的跃迁为禁戒跃迁。显然，要实现显然，要实现 k k m m 的跃迁，必须满足的跃迁，必须满足|r|rmkmk| |2 2 0 0 的条件，或的条件，或|x|xmkmk|, |y|, |ymkmk|, |z|, |zmkmk| |不同时为零。不同时为零。 由此我们导出光谱线的选择定则。由此我们导出光谱线的选择定则。（2 2）选择定则）选择定则(I) (I) 波函数波函数 和和 r rmkmk在原子有心力场中在原子有心力场中 运动的电子波函数运动的电子波函数nlmnlm = R = Rnlnl(r)Y(r)Ylmlm( (
23、 , , ) = |n l m = |n l |l m) = |n l m = |n l |l m为方便计，在球坐标下计算矢量为方便计，在球坐标下计算矢量 r r 的矩阵元。的矩阵元。 cossin2sinsinsin2cossinrzeeirryeerrxiiii于是于是 nlmrmlnznlmermlnnlmeeirmlnynlmermlnnlmeermlnxiiiiiimk|cos|sin| sin2|sin| sin2| 可见矩阵元计算分为两类：可见矩阵元计算分为两类： lmmlnlrlnzlmemlnlrlnnlmermlnii|cos|sin|sin| (II) (II) 计算计算
24、 lm|cos|lm 利用球谐函数的性质利用球谐函数的性质 I： mlllmlmlllmllm, 1|)12)(12(, 1|)32)(12()1(|cos2222 则积分则积分 lmml|cos| mlmlllmlmlmlllml, 1|)12)(12(, 1|)32)(12()1(2222欲使矩阵元不为零，欲使矩阵元不为零，则要求：则要求： 011mmmlllmmllmmllmmllllmlllml 1,221,22)12)(12()32)(12()1(III) (III) 计算计算 lm|sin|l m利用球谐函数利用球谐函数 的性质的性质 II： lmei|sin 1, 1|)12)(
25、12()1)(1, 1|)32)(12()2)(1(mlllmlmlmlllmlml则积分则积分 lmemli|sin| 1, 1|) 12)(12() 1)(1, 1|) 32)(12() 2)(1(mlmlllmlmlmlmlllmlml欲使矩阵元不为欲使矩阵元不为零，则要求：零，则要求： 1111mmmlllmmll1,1,1,1,)12)(12()1)()32)(12()2)(1( mmllmmllllmlmlllmlml 1,01mmmlll(IV) (IV) 选择定则选择定则综合综合(II)(II)、(III) (III) 两点两点 得偶极跃迁选择定则：得偶极跃迁选择定则：这就是电
26、偶极辐射角量子数和磁量子数得选择定则，在量这就是电偶极辐射角量子数和磁量子数得选择定则，在量子力学建立之前，它是通过光谱分析中总结出来的经验规则。子力学建立之前，它是通过光谱分析中总结出来的经验规则。径向积分径向积分 nl | r |n l 在在 n n、 nn取任何数值时取任何数值时均不为零，所以关于主量子数没有选择定则。均不为零，所以关于主量子数没有选择定则。（3 3）严格禁戒跃迁）严格禁戒跃迁若偶极跃迁几率为零，则需要计算比偶极近若偶极跃迁几率为零，则需要计算比偶极近似更高级的近似。在任何级近似下，跃迁几率都为似更高级的近似。在任何级近似下，跃迁几率都为零的跃迁称为严格禁戒跃迁。零的跃迁称为严格禁戒跃迁。 作作 业业周世勋周世勋 量子力学教程量子力学教程 5.4、5.5、5.7、5.8
