1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）数学（理工类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项：注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2
2、本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式：参考公式： 如果事件A、B互斥，那么()( )( )P ABP AP B 如果事件A、B相互独立，那么()( ) ( )P ABP A P B 圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高 棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R，则()ACB A 2 B2,3 C1,2,3 D1,2,3,4 2设变量, x y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy
3、xy x y 则目标函数4zxy 的最大值为 A2 B3 C5 D6 3设xR，则“ 2 50xx”是“|1| 1x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A5 B8 C24 D29 5已知抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分 别交于点A和点B，且| 4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为 A2 B3 C2 D5 6已知 5 log 2a ， 0.5 og2 .l0b ， 0.2 0.5c ，则, ,a b c的大小关系
4、为 Aacb Babc Cbca Dcab 7已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA 是奇函数，将 yf x的图象上所有点的横坐标 伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x若 g x的最小正周期为2，且 2 4 g ，则 3 8 f A2 B2 C2 D2 8已知aR，设函数 2 22 ,1, ( ) ln ,1. xaxax f x xaxx 若关于x的不等式( )0f x 在R上恒成立，则a的 取值范围为 A0,1 B0,2 C0,e D1,e 绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷
5、） 数学（理工类）数学（理工类） 第卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9i是虚数单位，则 5i i1 的值为_ 10 8 3 1 2 8 x x 是展开式中的常数项为_ 11已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条 侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_ 12设aR，直线20axy和圆 22cos , 1 2sin x y （为参数）相切，则a的值为_ 13设0,0,25xyxy，则
6、(1)(21)xy xy 的最小值为_ 14在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E在线段CB的延长线上， 且AEBE，则BD AE_ 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分） 在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知2bca ，3 sin4 sincBaC （）求cosB的值； （）求sin 2 6 B 的值 16（本小题满分 13 分） 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 假定甲、乙两位同学到校情况互不 影响，且任一同学每天到校情况相互独立
7、 （） 用X表示甲同学上学期间的三天中 7： 30 之前到校的天数， 求随机变量X的分布列和数学期望； （）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校 的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率 17（本小题满分 13 分） 如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC （）求证：BF 平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ，求线段CF的长 18（本小题满分 13 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短
8、轴长为 4，离心率为 5 5 （）求椭圆的方程； （）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负 半轴上若| |ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率 19（本小题满分 14 分） 设 n a是等差数列， n b是等比数列已知 112233 4,622,24abbaba， （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 1 1 1,22 ,2 , 1, , kk n k k c n c b n 其中 * kN （i）求数列 22 1 nn ac的通项公式； （ii）求 2 * 1 n ii i acn N 20（本小题满分 14
9、 分） 设函数( )e cos ,( ) x f xxg x为 f x的导函数 （）求 f x的单调区间； （）当, 4 2 x 时，证明( )( )0 2 f xg xx ； （）设 n x为函数( )( )1u xfx在区间2, 2 42 nn 内的零点，其中nN，证明 2 00 2 2sinc s e o n n nx xx 绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答数学（理工类）参考解答 一选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分 1D 2C 3B 4B 5D 6A 7
10、C 8C 二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 30 分 913 1028 11 4 12 3 4 134 3 141 三解答题 15本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定 理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力，满分 13 分 （）解：在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbC cB，又由3 sin4 sincBaC， 得3 sin4 sinbCaC，即34ba又因为2bca ，得到 4 3 ba， 2 3 ca由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa
11、acb B ac aa （ ） 解 ： 由 （ ） 可 得 2 15 sin1 cos 4 BB， 从 而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB ，故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB 16本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基 础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分 （）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 ， 故 2 3, 3 XB ，从而 3 3 21 (
12、)C,0,1,2,3 33 kk k P Xkk 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量X的数学期望 2 ()32 3 E X （）解：设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为Y，则 2 3,3YB ，且 3,12,0MXYXY由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥，且事件 3X 与1Y ，事件2X 与0Y 均相互独立，从而由（）知 ()(3,12,0)(3,1)(2,0)P MPXYXYP XYP XY 82412 0 (3)(1)(2 )(0 ) 2 7992 72 4 3 P XP YP XP Y 17本小题主要考查直
13、线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立 体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分 13 分 依题意，可以建立以A为原点，分别以AB AD AE，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐 标系 （如图） ，可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E设(0)CFhh， 则1,2,Fh （）证明：依题意，(1,0,0)AB 是平面ADE的法向量，又(0,2, )BFh，可得0BF AB， 又因为直线BF 平面ADE，所以BF 平面ADE （）解：依题意，( 1,1,0),( 1,0,2),(
14、1, 2,2)BDBECE 设( , , )nx y z为平面BDE的法向量，则 0, 0, BD BE n n 即 0, 20, xy xz 不妨令1z ， 可得(2,2,1)n因此有 4 cos, 9| CE CE CE n n n 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 （）解：设( , , )x y zm为平面BDF的法向量，则 0, 0, BD BF m m 即 0, 20, xy yhz 不妨令1y ，可得 2 1,1, h m 由题意，有 2 2 4 |1 cos, |34 3 2 h h m n m n mn ，解得 8 7 h 经检验，符合题意 所以，线段CF的长
15、为 8 7 18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的 性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 13 分 （） 解： 设椭圆的半焦距为c， 依题意， 5 24, 5 c b a ， 又 222 abc， 可得5a ，2,b 1c 所以，椭圆的方程为 22 1 54 xy （）解：由题意，设 0 ,0 PPpM P xyxM x，设直线PB的斜率为0k k ，又0,2B， 则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立 22 2, 1, 54 ykx xy 整理得 22 45200kxkx，可得 2 20 45 P k x k ， 代入
16、2ykx得 2 2 8 10 45 P k y k ， 进而直线OP的斜率 2 45 10 P p yk xk 在2yk x 中，令0y ，得 2 M x k 由题意得0, 1N，所以直线MN的斜率为 2 k 由OPMN，得 2 45 1 102 kk k ，化简得 2 24 5 k ，从而 2 30 5 k 所以，直线PB的斜率为 2 30 5 或 2 30 5 19本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识考查化归与转化思想 和数列求和的基本方法以及运算求解能力满分 14 分 （）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q依题意得 2 662 ,
17、 6124 , qd qd 解得 3, 2, d q 故 1 4(1) 331,6 23 2 nn nn annb 所以， n a的通项公式为 31, nn anb的通项公式为3 2n n b （）（i）解： 222 113 21 3 219 41 nnn nnn n acab 所以，数列 22 1 nn ac的通项公式为 22 19 41 nn n ac （ii）解： 222 2 1111 2 11 nnn ii n i iiiii iiii acaa caac 1 221 2439 41 2 nn n ni i 212 4 1 4 3 25 29 1 4 n nn n 211* 2725
18、212 nn nn N 20本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法考查函数思 想和化归与转化思想考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力满分 14 分 （）解：由已知，有( )e (cossin ) x f xxx因此，当 5 2,2 44 xkk ()k Z时，有 sincosxx，得( )0f x ，则 f x单调递减；当 3 2, 2 44 xkk ()k Z时，有 sincosxx，得( )0f x ，则 f x单调递增 所 以 ， f x的 单 调 递 增 区 间 为 3 2,2(),( ) 44 kkkf x Z的 单 调 递 减 区 间
19、 为 5 2,2() 44 kkk Z （）证明：记( )( )( ) 2 h xf xg xx 依题意及（），有( )e (cossin ) x g xxx，从而 ( )2e sin x g xx 当, 4 2 x 时，0( )g x ，故 ( )( )( )( )( 1)( )0 22 h xf xg xxg xg xx 因此， h x在区间, 4 2 上单调递减，进而( )0 22 h xhf 所以，当, 4 2 x 时，( )( )0 2 f xg xx （）证明：依题意，10 nn u xf x ，即cose1 n x n x 记2 nn yxn，则, 4 2 n y ， 且 22 e cosecos2e nn yxnn nnn f yyxnn N 由 2 0 e1 n n f yf y 及（），得 0n yy由（）知，当, 4 2 x 时，( )0g x ，所 以 g x在, 4 2 上 为 减 函 数 ， 因 此 0 0 4 n g yg yg 又 由 （ ） 知 ， 0 2 nnn fyg yy ，故 0 2222 00000 2sincossinc eee eos e nnnn n n y nn fy y g yg yg yyyxx 所以， 2 00 2 2sinc s e o n n nx xx
