1、 1 鸡兔同笼及变形 一、典型问题 笼子里有若干鸡和兔，从上面数，有 35 个头；从下面 数，有 94 只脚。问鸡、兔各有几只？ 解析：典型的鸡兔同笼问题是指两个物体之间有一定的 倍数关系（鸡脚是头的 2 倍，兔脚是鸡脚的 2 倍），对于这 种可以有简便算法。 法一：画图假设法 鸡 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 兔 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 脚 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 先假设全部都是鸡；没有兔，这时可以算出笼子里只有 70 只脚，不符合题意。以此类推，一直到脚数
2、正好是 94 只 时，鸡是 23 只；兔是 12 只。 注意：此法容易理解，但有时要算出答案需要写很长， 有一定的局限。通过此图我们可以发现一个规律：每将一个 鸡变成一个兔，脚数就会多 2 只。 法二：基础法 我们先假设笼子里全是鸡，也就是 35 个鸡、0 个兔，这 时脚数为 352+04=70（只）。题目要求是 94 只脚，那需 要增加脚数 94-70=24（只），通过法一可得知：每将一个鸡 变成一个兔，脚数就会多 2 只，242=12 也就是将 12 只鸡 2 变成 12 只兔就可以增加到 94 只脚。此时鸡数减少为： 35-12=23（个），兔数增加到：0+12=12（个）。或者这样理
3、解： 假设全是鸡那脚数为 352=70 （只） ， 但实际有 94 只脚， 多出 94-70=24（只）脚。这 24 只脚也必须在笼子里，可以 将这 24 只脚按在鸡身上，我们一个鸡身上按上 2 只脚，那 一个鸡也就变成 4 只脚，可以当成一个兔。24 只脚最终能按 在 242=12（个）鸡身上，也就是 12 只鸡变成了 12 个兔。 检验：232+124=94（只），符合题目要求。 352=70（只） 94-70=24（只） 4-2=2（只） 242=12（个） 35-12=23（个） 答：鸡有 23 个，兔有 12 个。 352=70（只）表示都是鸡的情况下一共有 70 只脚； 94-70
4、=24 （只） 表示符合题目要求还需增加24只脚才行； 4-2=2 （只）表示一个兔比一个鸡多 2 只脚也就是将其中的一个鸡 换成兔就会增加 2 只脚；242=12（个）表示增加 24 只脚 需要将 12 只鸡换成兔，并且兔一开始为 0 个，现在增加的 兔子数量也就是兔子的总数量；35-12=23（个）表示用总数 量剪去兔子的数量剩下的就是鸡的数量。 注意：法二是鸡兔同笼问题的一般解法也是基础解法， 所有鸡兔同笼问题及变形都可以用此种方法解决。 3 法三：简便算法（孙子算经砍足法） 此题目出自孙子算经：今有雉兔同笼，上有三十五 头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚，
5、同时都砍掉一半，那鸡就变 成 1 只脚，兔变成 2 只脚，笼子里也就只剩 942=47（只） 脚。此时鸡：1 个头，1 只脚；兔：1 个头，2 只脚。鸡和兔 头一共是 35 个（只是脚数减半，只数没有发生变化），鸡 和兔脚一共是 47 只，脚数比头数多了 47-35=12，也就是兔 子多的脚数。一个兔子脚比头多 1，现在一共多了 12，也就 是 12 个兔子，鸡的数量就是 35-12=23（个）。 942=47（只） 47-35=12（个） 35-12=23（个） 942=47（只）表示将鸡和兔的脚数都减半，此时鸡和 兔的个数没发生变化，并且此时鸡变成 1 头 1 脚，兔变成 1 头 2 脚；
6、47-35=12（个）表示用现在的脚数剪去头数，多出 的 12 只脚就是兔子的，并且一个兔多一只脚，所以多的 12 只脚就是 12 个兔；35-12=23（个）表示总数减去兔子的数量 就是鸡的数量。 注意：法三只适用于鸡兔同笼问题：除去一个数后，其 中一个物体的两个量都变为 1，另一个物体只有一个量为 1。 此种算法比较简单，但解决不了变形问题。 法四：方程法（二元一次方程组） 4 解：设鸡有 x 个，兔有 y 个 x+y=35 2x+4y=94 解得 x=23，y=12 或者五年级学生用一元一次方程（例 4 问题） 解：设鸡有 x 只，那么兔的只数可表示为 35-x 只。 2x+4（35-x
7、）=94 解得 x=23，35-x=12 注意：一元一次方程式五年级下册才学习得内容，而二 元一次方程组更是到七年级下册才学习，所以方程法对四年 级学生不适用。 二、一般变形 100 个和尚吃 92 个馒头，大和尚一个人吃 2 个，小和尚 两个人吃 1 个，求大、小和尚各有几人？ 解析：这种一般变形不再局限于鸡兔问题，可以是任何 两个事物，解题方法都用法二：先假设一个事物为 0，算出 的和与实际的和一定存在差距，这个差距是由这两个事物间 的单个差距一个个累加得到的，用总差距除以两个事物的单 独差距就是答案。 解：假如全是小和尚，小和尚为 100 人，那这时大和尚 就应该是 0 人，他们一共要吃
8、 1002+02=50 个。但实际吃 5 了 92 个，那就是说要多吃 92-50=42 个才行。一个大和尚比 一个小和尚多吃几个：一个大和尚吃 2 个，两个小和尚吃 1 个，所以一个小和尚只吃 12=0.5 个，2-0.5=1.5 个。总差 距就是 42，单个差距是 1.5，所以 421.5=28，增加 28 个 大和尚才能把差的 42 个补上，所以大和尚有 0+28=28 人， 小和尚有 100-28=72 人。 1002=50（个） 92-50=42（个） 12=0.5（个 0 2-0.5=1.5（个） 421.5=28（人） 100-28=72（人） 或者： 1002=200(个) 2
9、00-92=108(个) 12=0.5(个) 2-0.5=1.5(个) 1081.5=72(人) 100-72=28(人) 自己思考第二个解法的思路。 问题三：特殊变形（加减分问题） 一张试卷共 12 道题，答对得 10 分，答错扣 5 分，最终 6 小明的了 90 分，小明答对几道题，答错几道题？ 解析：这种问题就在特殊在单独两个之间的差距到底如 何计算： 先看两道题 1、小红有 10 元，小刚有 5 元，相差几元？ 2、小红和小刚做题，小红答对加 10 分，小刚做错被扣了 5 分，两人相差几分？只说第 2 题：假设小红和小刚原来都有 50 分，现在小红做对又得了 10 分，总分变成 50+
10、10=60 分； 小刚做错被扣了 5 分，总分变成 50-5=45 分，所以两个相差 是 60-45=15 分，而不是 5 分。 相差问题是用差，但加分是+（正） ，扣分是-（负） ，所 以小红是+10 分，小刚的是-5 分，他们的差是 10-（-5） =10+5=15 分。 所以对这种加减分的问题，求两个事物的单个差距就是 将两个数相加求和。 解：假如全部做对的话，那总分应该是 1210=120 分， 但实际得分只有 90 分，相差 120-90=30 分。其中答对和答 错一个的单独差距是 10+5=15 分（关键项） ，所以 3015=2 道，只有答错两道题才能得 90 分，答错 0+2=2 道，答对 12-2=10 道。 1210=120（分） 120-90=30（分） 10+5=15（分） 关键项 7 3015=2（道） 12-2=10（道） 注意：加减分问题一般都是假设全对，假设全错也可以 做，但不容易想，而且易出错，感兴趣的同学可以尝试做一 下。 总结：鸡兔同笼问题及变形都可以用法二解决，并且解 题思路和步骤基本一样，所以法二一定要理解掌握，同时也 要注意加减分问题的关键项。 提高创新：一张试卷 20 道题。答对加 5 分，答错扣 3 分，不答得 0 分，小明最终得了 79 分，问小明答对几道？ 答错几道？
