1、高等代数与矩阵分析高等代数与矩阵分析重庆邮电大学 数理学院鲜思东鲜思东e-mail: xiansd 第三章第三章 内积空间、正规内积空间、正规矩阵与矩阵与HermiteHermite矩阵矩阵 设设 是欧式空间是欧式空间 的一个子空间，那么的一个子空间，那么 在在 上的正交投影变换上的正交投影变换 就是一个对称变换。就是一个对称变换。VWVW 5、对称和反对称矩阵、对称和反对称矩阵 设设 是欧式空间是欧式空间 上一个线性变换，如果上一个线性变换，如果对任意的对任意的 ，都有，都有VTV 、 任取任取 设设,V 12121212,WWWW ( ( )( )TT ,称称 为为。TV由正交投影的定义，
2、由正交投影的定义， 则则11( ), (), 112111211121112111( ( ), )(,)(,)(,)(,)( , ( )(,)(,)(,)(,) ( ( ),)( , ( ) TVV 、( ( )( )TT ,称称 为为。TV 设设 是欧式空间是欧式空间 上一个对称变换，如果上一个对称变换，如果 是是 的不变子空间，则的不变子空间，则 也是也是 的不变子空间。的不变子空间。VTWTTW 欧式空间 上的线性变换 是对称变换的充要条件是 在 的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。VTVTT 设设 是欧式空间是欧式空间 上一个反对称变换，如果上一个反对称变换，如果 是是 的不变子空
3、间，则的不变子空间，则 也是也是 的不变子空间。的不变子空间。VWTTW 欧式空间 上的线性变换 是反对称变换的充要条件是 在 的任意一个标准正交基下的矩阵是反对称矩阵。VTVTT, ,u 3( )2() ,TuuR, ,因此因此 既是正交变换既是正交变换, ,又是对称变换又是对称变换, ,称其为称其为. .T 在在 中，设中，设 为过直角坐标系原点的平面为过直角坐标系原点的平面 的单位法向量，变换的单位法向量，变换 是是u3RT3R 、,k l()( )( )( ( ), ( )( ,) ( ( ),)( , ( )T klkTlTTTTT 3Ru, ,u ( ), ( ), ( )T uu
4、 TT 100010001A 6、Schur引理与正规矩阵引理与正规矩阵.ABIBA 从纯代数角度看，如果从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限去掉乘积为单位矩阵的限制制， 两矩阵是可交换矩阵。联想到正交矩阵的逆即两矩阵是可交换矩阵。联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果为其转置，因此如果再限定两矩阵互为转置再限定两矩阵互为转置，即要求，即要求成立成立 ，情况又如何？，情况又如何？TTAAA A 两方阵两方阵 互逆的条件是成立关系式互逆的条件是成立关系式,A B显然对称矩阵显然对称矩阵 和反对称矩阵和反对称矩阵 都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具都满足要求，正交矩阵当然也满足这
5、个要求。因此具有性质有性质 的矩阵就的矩阵就“一统江湖一统江湖”，具有，具有了统一性，我们称之为了统一性，我们称之为正规矩阵正规矩阵。()TAA ()TAA TTAAA A 对称矩阵最主要的性质是对称矩阵最主要的性质是可以对角化可以对角化，尤其是可，尤其是可以以正交对角化正交对角化，推广到正规矩阵后这个性质是否还能，推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留呢？为此，我们先给出下面的引理。保留呢？为此，我们先给出下面的引理。11()HTUAUUAUBU AUUAUB 设 ，若存在 使得,()n nn nA BCR创创 (),n nn nUCR创创 则说则说 酉相似酉相似（或（或正交相似正交相似）于）
6、于 。BA一、一、 Schur 引理引理.HUAUR= =100多年前多年前(1909年年)给出的给出的Schur 引理是矩阵理论中引理是矩阵理论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。计算中也具有相当重要的地位。并称并称 为方阵为方阵 的的。AHAURU= =( ( Schur 引理引理 ) ) 任何复方阵任何复方阵 必必酉相似酉相似于于一个一个上三角阵上三角阵 。即存在酉矩阵。即存在酉矩阵 ，使，使AUR证明：证明：用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。
7、取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，AAA1k kkkA111112,kU 112112,kkAUAAAAA因为 构成 的一个标准正交基，故12,k kC1(2,3, )kiijjjAaik，因此12131111210,0kkaaaAUA 其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足1k 1k 1AW11HW AWR(上三角矩阵)令那么21k kUUW12112112100kHHbbUUAUUR221,| .niijii ja= = 邋邋其中等号成立的充要条件是其中等号成立的充要条件是 酉相似于对角矩阵。酉相似于对角矩阵。A()()HHH
8、HUAURUA UR=上上三三角角下下三三角角 证明证明 由由Schur引理，存在引理，存在 ，使得，使得n nUU ( (Schur 不等式不等式) ) 设设 为为 的的特征值特征值，则，则12(),n nijnAaC =L LA其中其中结论成立！结论成立！()0n nijijRrUri j =, = ( )=, = ( )故故HHHHHUAA URRtr AAtr RR=()()()()即即2211|nnijiji ji jar=邋邋,= =又又22222211111|nnnnnnijijiiijiiii ji jiijiiarrrr= 邋邋邋邋邋邋,=+=+=308316205A试求酉矩
9、阵试求酉矩阵 使得使得 为上三角矩阵为上三角矩阵.UHU AU3|(1)EA例例1: 已知矩阵已知矩阵A解解: 首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量1 A1 A1211,666T12320 xxx2333,333T再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量12, 再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组123123200 xxxxxx又求得一个单位解向量又求得一个单位解向量3220,22T123036132326132326U计算可得计算可得取取117 2
10、7 31235 60435 6062HUAU15 6435 662A再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值1A21|(1)EA所以所以 为矩阵为矩阵 的二重特征值的二重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量1 1A1 1A令令11015,55T求得一个单位解向量求得一个单位解向量1210150 xx21510,55T再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程取取1101555151055V计算可得计算可得11 125 61601HVAV令令210010150551510055U12230515561300661302 53056WUU则则于是有于是有107 30 /60125 6
11、/6001HW AW矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵.W二、正规矩阵二、正规矩阵方阵方阵 是是正规正规的，当且仅当的，当且仅当A.HHAAA A= =满足满足 的三角阵的三角阵 必是对角阵。必是对角阵。AHHAAA A= =设设 , 如果如果 同样满足同样满足n nARAHHAAA A那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个实正规矩阵实正规矩阵.A为正规矩阵，则与为正规矩阵，则与 酉相似的矩阵均是正规酉相似的矩阵均是正规矩阵。矩阵。AA证明证明22221|i ii nii iaaaaHHAAA A= =对上三角阵对上三角阵 ，比较等式，比较等式()i jAa 两边乘积矩阵在第两边乘积矩阵在
12、第 行第行第 列位置上的元素列位置上的元素 ，并注，并注意到意到 ，因此对，因此对 ，有，有ii0()i jaij1,2,in 22221112111|naaaa当当 时，有时，有 1i 可知可知10 (2,3, )jajni对对 施行归纳法，可得施行归纳法，可得 ，证毕。，证毕。0 ()i jaij例例 2 2 判断下列矩阵是不是正规矩阵：判断下列矩阵是不是正规矩阵：（1）实对称矩阵（）实对称矩阵（ ）；）；TAA （2）实反对称矩阵（）实反对称矩阵（ ）；）；TAA （3）正交矩阵）正交矩阵 （ ）；）；1TAA （4）酉矩阵（）酉矩阵（ ）；）；1HAA （5）Hermite 矩阵矩阵（
13、 ）；）；HAA （6）反反Hermite 矩阵矩阵（ ）；）；HAA （7）形如）形如 的矩阵。的矩阵。11,11aaR or C H-阵阵, 反反H-阵阵, 正交矩阵正交矩阵, 酉矩阵酉矩阵, 对角矩对角矩阵都是正规矩阵阵都是正规矩阵.方阵方阵 是正规的，当且仅当是正规的，当且仅当 与对角矩与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。征值。AA。如果。如果 是正规矩阵，那么存在酉是正规矩阵，那么存在酉矩阵矩阵 及对角阵及对角阵 使得使得 ，即，即HU AU A1(,)nUuu 1(,)ndiag AUU因此因此1111(,)(,
14、)(,)nnnnA uuAuAuuu。若有。若有 ，显然可验证，显然可验证HU AU HHA AAA 称之为称之为正规矩阵的结构定理。正规矩阵的结构定理。推论推论 3 : 正规矩阵属于不同特征值的征向量正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交彼此正交. 推论推论 2 : 阶正规矩阵有阶正规矩阵有 个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量 . nn推论推论 1 : 设设 是正规矩阵，是正规矩阵， 是是 的特征值，的特征值，对应的特征向量是对应的特征向量是 ，则，则 是是 的特征值，的特征值，其对应的特征向量是其对应的特征向量是 . iAAHAixx 12121211221111121211111
15、221211,1 2,sssnnnHssnnssnnnsssnjUAUdiagUuuuuuuVspan uuVspan uuVspan uuUnVVij i jS 设设由于 的 个列是标准正交向量组由于 的 个列是标准正交向量组:证证解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值324202423A求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.Q1Q AQ例例 1 : 设设2(1) (8)EA其特征值为其特征值为1231,8 对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组11 ()0EA X 1:3:,.119-120)nHAUUdiagUUAUP 注注 由由定定理理 知知因因此此给给出
16、出了了一一个个求求使使得得为为对对角角形形的的方方法法 （求得其一个基础解系求得其一个基础解系121,2,0,1,0,1TTXX 12,XX现在将现在将 单位化并正交化单位化并正交化, 得到两个标得到两个标准正交向量准正交向量1212425,0,3553 5 2 5TT28对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组(8)0IA X求得其一个基础解系求得其一个基础解系32,1,2TX 将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量32 1 2, ,3 3 3T将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵123142353 5221,353 552033Q 则矩阵则矩阵 即为
17、所求正交矩阵且有即为所求正交矩阵且有Q1118Q AQ例例 2 : 设设434624432662261iiiAiiiii Q求酉矩阵求酉矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.HQ AQ解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值2(81)(9)EA1239i,9 对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组19i ( 9)0iEA X其特征值为其特征值为1/2,1,1TXi 求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在将现在将 单位化单位化, 得到一个单位向量得到一个单位向量1X12 2,3 3 3Ti对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组29i(9)0iEA X求得其一个基础解系求得其
18、一个基础解系2, 1/2,1TXi 将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量221 2,333Ti对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组39(9)0EA X求得其一个基础解系求得其一个基础解系3,1, 1/ 2TXi将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量3221,3 33Ti将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵12322333212,333221333iiiQ 则矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有即为所求酉矩阵且有Q999HiQ AQi定理定理4: 设设 是正规矩阵是正规矩阵, 则则A (1) 是是H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值为实
19、数的特征值为实数. AA (3) 是酉矩阵的充要条件是是酉矩阵的充要条件是 的特征值的模的特征值的模长为长为1 .AA (2) 是反是反H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值实部的特征值实部为零为零. AA注意注意: 正规矩阵绝不仅此三类正规矩阵绝不仅此三类.例例 3 : 设设 是一个反是一个反H-阵阵, 证明证明:是酉矩阵是酉矩阵.A1()()WAEAE证明证明: 根据酉矩阵的定义根据酉矩阵的定义11()() () ()HHHWWA E A EA EA E由于由于 是反是反H-阵阵, 所以所以 这样这样A(),HAEAE 11() ()HAEAE 于是可得于是可得 111111()()
20、() ()()()() ()()()() ()()() () ()HHWWA E A EA EA EA E A E A EA EA E A E A EA EA E A EA EA EE 这说明这说明 为酉矩阵为酉矩阵.Wn例例 4 : 设设 是一个是一个 阶阶H-阵且存在自然数阵且存在自然数 使得使得 , 证明证明: .Ak0kA 0A 证明证明: 由于由于 是正规矩阵是正规矩阵, 所以存在一个酉所以存在一个酉矩阵矩阵 使得使得n nUUA12,HinAUUR于是可得于是可得这样这样120kkkHknAUU0,kiiR从而从而0,1,2,iin即即0A 例例 5 5 设设 为正规矩阵，且为正规
21、矩阵，且 ，则，则32AA A2.AA 因为因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵是正规矩阵，所以存在酉矩阵 ，使得，使得UAHAU U32AA 再由再由 ，得，得3()()()()HHHHU UU UUUUU 322()HHHUUUUU U 32 32ii 01.i 或或因此因此 ，即，即 ，故，故 从而从而 ，故，故2 22.HHAUUU UA11, HHnnuUAUU BUu 11, HHnnuUAUU BUu 定理定理 5 5 设设 为正规矩阵，则为正规矩阵，则 可以同时酉对角可以同时酉对角化的充要条件是化的充要条件是 可以同时酉对角化的含可以同时酉对角化的含义是存在一个义是存在一个 阶酉矩
22、阵阶酉矩阵 使得使得,A B,A B=. ,AB BA A BnU结论结论 设设 为为Hermite(Hermite(实对称实对称) )矩阵，且矩阵，且 则存在酉矩阵则存在酉矩阵 使得使得,A B=,AB BAU1、实正规矩阵是否正交相似于实、实正规矩阵是否正交相似于实对角矩阵？对角矩阵？2、实正规矩阵是否正交相似于复、实正规矩阵是否正交相似于复对角矩阵？对角矩阵？3、实正规矩阵正交相似于什么、实正规矩阵正交相似于什么样的样的“简单简单”矩阵？矩阵？7、 Hermite变换与正规变换变换与正规变换单从变换的角度我们很难把单从变换的角度我们很难把Hermite变换变换(对称对称变换变换)与正规变
23、换联系起来，但从与正规变换联系起来，但从Hermite矩阵矩阵(对称矩阵对称矩阵)的定义，或者从的定义，或者从Hermite矩阵矩阵(对称对称矩阵矩阵) 都可对角化上却能找到两者的关联，这都可对角化上却能找到两者的关联，这似乎可以作为数学的似乎可以作为数学的“奇异美奇异美”的一个例证。的一个例证。正规变换可以说是对称变换、正交变换等的推正规变换可以说是对称变换、正交变换等的推广和抽象，即只关心永恒的主题广和抽象，即只关心永恒的主题-“对角化对角化”的问题。这又一次体现出现代数学高度的的问题。这又一次体现出现代数学高度的抽象抽象和和统一统一。TAA 推广到酉空间，相应的矩阵称为推广到酉空间，相应
24、的矩阵称为Hermite矩阵矩阵，满足，满足关系式关系式HAA 既然矩阵与变换一一对应，那么既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢对称矩阵与什么样的变换对应呢？我们知道，实对称矩阵我们知道，实对称矩阵 满足关系式满足关系式A设设 在酉空间在酉空间 的一组标准正交基的一组标准正交基 下的矩阵表示为下的矩阵表示为 且且 。VTA12,n， ，HAA 任取任取 ，设，设V、 1212= (,) ,= (,)nnxy， ， ， 则则)(),HHHy AxTAyx ( ,( ( )()HAyxT 12( ) ( ,) ,nTA x ，12( )( ,)
25、,nTAy ，( ( ),)( ,( ) .TT 设设 是酉空间（或是酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的线上的线性变换，称性变换，称 为为 上的上的 ，如果对任意，如果对任意 ， 都有都有VTVTV、 一、一、 Hermite变换（自伴变换）变换（自伴变换）酉空间（或酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的线性变换上的线性变换 是是 的的充要条件充要条件是是 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵的任意一组标准正交基下的矩阵 满足满足VTATV()HTAAAA 1122( (),)(,)ijiin injTaaa ( (),)jii jTa 所以所以( (),)(,()ijij ijTTa ( (),)
26、jii jaT 从而从而HAA ,j ia 设设 在在 的一组标准正交基的一组标准正交基 下的矩阵表示为下的矩阵表示为 。12,n， ，()i jAa VT设设 是酉空间是酉空间 上的线性变换，如果对任上的线性变换，如果对任意意 ， 都有都有并称并称 为为 的一个的一个( ( ),)( ,( ) .TT VTV、 TV酉空间酉空间 上的上的的的特征值特征值是实数。是实数。TV酉空间酉空间 上的线性变换上的线性变换 是是的的充要条件充要条件是是 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵的任意一组标准正交基下的矩阵 满足满足VTATV-HAA 1()()SEA EA 例例1 1 ( (Cayley变换变
27、换) ) 方阵方阵 是实反对称矩阵，是实反对称矩阵，那么那么 是非奇异的，并且是非奇异的，并且Cayley变换矩阵变换矩阵AEA 因为因为 ，所以对任意的，所以对任意的 ， 有有nxR TAA ()()TTTTTTx Axx AxxAxx Ax 因此因此 。对于。对于0Tx Ax ()0IA x 由于由于 ，从而方程组，从而方程组只有零解，所以只有零解，所以 是非奇异的。是非奇异的。()0TTx xxEA x()EA 由于由于11()()() ()SEA EAEAEA 11()()()()TTTSE AEAEA E A 所以所以是正交矩阵。是正交矩阵。=HB A设设 是酉是酉(欧氏欧氏)空间空
28、间 上的线性变换，如果上的线性变换，如果存在存在 上一个线性变换上一个线性变换 ， 使得使得称称 有一个有一个( ( ),)( ,( ) ,HTTV VTTHTVHT设设 是一个酉是一个酉(欧氏欧氏)空间，空间， 是是 上上一个标准正交基，一个标准正交基， 是是 上的线性变换，且上的线性变换，且 在上述在上述基对应的矩阵为基对应的矩阵为 ，那么，那么 的伴随变换的伴随变换 在在该基下的矩阵表示该基下的矩阵表示 为为12,n VT()ijAa TVVTHTB另外另外(),)=HjiijTb (1) ( + ) = + HHHT PTP 伴随矩阵的一些重要性质。伴随矩阵的一些重要性质。定理定理5:
29、 设设 是是 维酉维酉(欧氏欧氏)空间空间, 和和 都是都是 上上的线性变换，的线性变换， 为一个为一个(实实)复数，则复数，则VnTVPk(2) () = HHkTkT(3) () = HHHTPP T(4) () = HHTT定理定理6: 设设 是是 维酉维酉(欧氏欧氏)空间空间, 是是 上的上的一个线性变换，如果一个线性变换，如果 是是 的的 不变子空间，不变子空间，那么那么 也是也是 的不变子空间。的不变子空间。VVnTWTHTW设设 是酉是酉( (欧氏欧氏) )空间，空间， 是是 上的线性变换，如上的线性变换，如果满足果满足VVTHHT TTT= =二、正规变换二、正规变换(Norm
30、al Transformation)T称为称为 是是。定理定理7: 设设 是是 维酉维酉(欧氏欧氏)空间空间, 是是 上的一上的一个线性变换，个线性变换， 是正交变换的是正交变换的充要条件充要条件是是 在在 的的任意一个标准正交基下的矩阵式正规矩阵。任意一个标准正交基下的矩阵式正规矩阵。VVnTVTT 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似酉相似的。的。证明证明：设正规变换设正规变换 在在 的两组标准正交基的两组标准正交基 和和 下的矩阵表示下的矩阵表示分别为分别为 ，并设，并设AB、12,nL L, ,VT12,n% % % %L L, ,显然过渡
31、矩阵显然过渡矩阵 是酉矩阵是酉矩阵（请试试自己证明一下）（请试试自己证明一下）U1212(,)(,)nnU= =% % % %L LL L, , ,因为因为 12(,)HnUA U= =% % % %L L, ,) ), ,T T ( (12(),()nTT= =% % % %L L12(),()nTTU= =L L) ), ,T T ( (12(,)nA U= =L L, ,12(,)nB% % % %L L所以所以 ，结论成立。，结论成立。HBUA U= =根据定理根据定理8 8，正规变换在任一标准正交基下的矩阵，正规变换在任一标准正交基下的矩阵表示必定酉相似于对角阵。表示必定酉相似于对角
32、阵。上一节有上一节有:正规矩阵一定酉相似于一个对角矩阵正规矩阵一定酉相似于一个对角矩阵.定理定理10: 酉空间酉空间 上的一个线性变换上的一个线性变换 是正交是正交变换，变换，当且仅当当且仅当在在 中存在一个标准正交基，中存在一个标准正交基，使得使得 在该基下对应的矩阵为对角矩阵。在该基下对应的矩阵为对角矩阵。VVTT定理定理9: 设设 是酉空间是酉空间 的一个正规变换。则的一个正规变换。则存在存在 的一个标准正交基，使得的一个标准正交基，使得 在该基下对在该基下对应的矩阵为对角矩阵。即酉空间上的正规变换是应的矩阵为对角矩阵。即酉空间上的正规变换是可以对角化的线性变换。可以对角化的线性变换。V
33、TVT例例 2 : 设设 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 则存在酉矩则存在酉矩阵阵 使得使得An nUU000rHIU AU证明证明: 由于由于 为一个为一个H-阵阵, 所以存在酉所以存在酉矩阵矩阵 使得使得An nWU12(,)HnWAWdiag A又由于又由于 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 从而从而或或0i1i将将1放在一起放在一起, 将将0放在一起放在一起, 那么可找到一那么可找到一个酉矩阵个酉矩阵 使得使得n nUU000rHIU AU这里这里 为矩阵为矩阵 的秩的秩.Ar8、Hermite矩阵及矩阵及Hermite二次齐式二次齐式Hermite矩阵的基本性质矩阵的基本性质一、一、
34、Hermite矩阵及实对称矩阵的性质矩阵及实对称矩阵的性质引理引理: 设设 , 则则n nAC,HHHAAAAA A (1) 都是都是H-阵阵. (2) 是反是反H-阵阵.HAA (3) 如果如果 是是H-阵阵, 那么那么 也是也是H-阵阵, 为为任意正整数任意正整数.AkAk (4) 如果如果 是可逆的是可逆的H-阵阵, 那么那么 也是可也是可逆的逆的H-阵阵.A1A(5) 如果如果 是是H-阵阵(反反H-阵阵), 那么那么 是反是反H-矩阵矩阵(H-阵阵), 这里这里 为虚数单位为虚数单位.AiAi(6) 如果如果 都是都是H-阵阵, 那么那么 也是也是H-阵阵, 这里这里 均为实数均为实
35、数.,A BkAlB, k l (7) 如果如果 都是都是H-阵阵, 那么那么 也是也是H-阵的阵的充分必要条件充分必要条件是是,A B.ABBAAB定理定理2: 设设 , 则则 (1) 是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于任意的任意的 是实数是实数. (2) 是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于任意的任意的 阶方阵阶方阵 为为H-阵阵.n nACA,nHXCXAXAn,HBB AB=Re=ReHijjiijjiAAaaaa定理定理3: 设设 , 则则 是是H-阵的充分必阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵要条件是存在一个酉矩阵 使得使得n nACAn nUUH-阵
36、的结构定理阵的结构定理12HnU AU其中其中 , 此定理经常叙述此定理经常叙述为为: H-阵酉相似于实对角矩阵阵酉相似于实对角矩阵.12,nR 推论推论: 实对称阵正交相似于实对角矩阵实对称阵正交相似于实对角矩阵. 设设 ，则，则 是实对称矩阵的充要条件是实对称矩阵的充要条件是存在是存在 ，使得，使得n nAR n nQR A12=(,)TnQ AQ diag 其中其中 是实数。是实数。12,n 12=( ,0,0)HrP AP diag b bb矩阵，则存矩阵，则存在在 ，满足，满足Arnn nPC其中其中 是实数。是实数。12,rb bb二、二、 Hermite二次型、实二次齐式二次型、
37、实二次齐式其对应的矩阵其对应的矩阵 ，显然是，显然是()i jAa 1,1(,),nHni jiji jj ii jf xxa x xx Axaa 或或指的是指的是复系数二复系数二次齐次复多项式次齐次复多项式称称 是是 Hx Ax若做可逆线性变换若做可逆线性变换 则则=xCY1(,)=() =HHHHnf xxx Ax YC AC YYBY 显然，显然， ，且，且HBC AC HBB 对于对于Hermite二次型二次型存在存在酉变换酉变换 ，将二次型化为，将二次型化为xU y 1(,),Hnf xxx Ax 其中其中 是是 的特征值。的特征值。AjR 1111222(,)nnnnf xxy y
38、y yy y。对于对于Hermite二次齐式二次齐式1(,),Hnf xxx Ax 存在可逆的线性变换存在可逆的线性变换 ,将二次型化成将二次型化成xP y 1111( )pppprrf xy yy yyyy y 其中其中 是是 的秩。的秩。Ar123121312131231 1121321233 13 133(1)(,)(2)(,)(1)(1)2f x x xix xx xix xx xf x x xx xix xi x xix xx xi x xx xx x解解: 11231232301(1)(,),00100ixf x x xx x xixx例例1: 写出下面写出下面Hermite二次型
39、的矩阵表达式二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形并用酉线性替换将其化为标准形.11231232311(2)(,),01112iixf x x xx x xixix9、正定二次齐式和正定、正定二次齐式和正定Hermite矩阵矩阵实数域内经常处理的矩阵是实数域内经常处理的矩阵是对称正定矩阵对称正定矩阵，关于它有许多优美的结论。将数域推广到关于它有许多优美的结论。将数域推广到复数域，考察相应的结论，这就是本节的复数域，考察相应的结论，这就是本节的主题。主题。设设 是酉空间（或是酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的上的Hermite 变换（或变换（或对称变换对称变换），称），称 为为 上的上
40、的 ，如果对任意，如果对任意 ， 都有都有并称并称 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为的任意一组标准正交基下的矩阵表示为VT( ,( )0,( )0().TT VTV TVHermite二次型二次型 称为称为，如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 ；当且；当且仅当仅当 时时 。其对应的矩阵显然是。其对应的矩阵显然是( )Hf xx Ax nxC 0Hx Ax x 0Hx Ax Hermite二次型二次型 称为称为，如果对任意，如果对任意 ，恒有，恒有 。其。其对应的矩阵显然是对应的矩阵显然是( )Hf xx Ax nxC 0Hx Ax AA( )Hf xx Ax =X PY对对Hermit
41、e二次型二次型 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 是正定的；是正定的；（2 2） 的特征值全是正数；的特征值全是正数； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（4 4） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（5 5） 存在存在 阶可逆阶可逆Hermite矩阵矩阵 ，使得，使得P( ),Hnf xx Ax xCAnHP APE H( )f xQHAQ Q 2AH nn(6) 存在正线上三角矩阵存在正线上三角矩阵 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的.RHAR R证明：证明：可证可证(1)(2)(3)(4)(1)以及以及(2)(5)(6)
42、(1) ) 阶阶Hermite矩阵矩阵 为正定为正定Hermite矩阵的矩阵的充要条件充要条件是矩阵是矩阵 的各的各阶顺序主子式皆为正数，即阶顺序主子式皆为正数，即这里这里A111212122212,kkkkkkkkaaaaaaDAaaa n120,0,0nDDD A(1,2, )kn 阶阶Hermite矩阵矩阵 为负定为负定Hermite矩阵的矩阵的充充要条件要条件是是An( 1)0(1,2, )kkkDAkn A例例 1 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 且又是酉矩且又是酉矩阵阵, 则则AE证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以必存在所以必存在酉矩阵酉矩阵
43、使得使得An nUU12,0HinAUUR由于由于 又是酉矩阵又是酉矩阵, 所以所以A1i这样必有这样必有 , 从而从而1iAE例例 2 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一是一个反个反H-阵阵, 证明证明: 与与 的特征值实的特征值实部为零部为零.ABABBA证明证明: 设设 为矩阵的任意一个特征值为矩阵的任意一个特征值, 那那么有么有 . 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 使得使得0EABAQHAQ Q将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有1110()()()HHHHHHHHHHEQ QBQQQ QBQQQEQBQQEQ
44、BQ这说明这说明 也是矩阵也是矩阵 的特征值的特征值. 另一方另一方面注意矩阵面注意矩阵 为为H-反阵反阵, 从而从而 实部实部为零为零.同样可以证明另一问同样可以证明另一问. HQBQHQBQ例例 3 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一个是一个反反H-阵阵, 证明证明: 是可逆矩阵是可逆矩阵.ABAB证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可所以存在可逆矩阵逆矩阵 使得使得AQHAQ Q11ABAAA BA EA B另一方面注意矩阵另一方面注意矩阵 仍然为正定仍然为正定H-阵阵, 而而矩阵矩阵 为为H-反阵反阵, 由上面的例题结论可知由上面的例题结论可知
45、1ABA这表明这表明 是可逆的是可逆的. 于是于是矩阵矩阵 的特征值实部为零的特征值实部为零, 那么矩阵那么矩阵1AB1EAB的特征值中不可能有零的特征值中不可能有零, 从而从而10EAB对对 阶阶Hermite矩阵矩阵 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 是非负定的；是非负定的；（2 2） 的特征值全是非负的；的特征值全是非负的； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 这里这里 为为 的秩；的秩；（4 4） 存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得 ；（5 5） 存在存在 阶阶Hermite矩阵矩阵 ，使得，使得PnArn,HrIOPAPOO HAQH
46、AQ Q 2AH nAArn1AE证明证明: 设设 为为 的全部特征值的全部特征值,由于由于 是半正定的是半正定的, 所以所以 . 于是有于是有 12,n AA0i12(1)(1)(1)1nAE例例 4 : 设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 证明证明: 0A A定理定理4: 设设 是正定是正定(半正定半正定)Hermite矩阵矩阵, 那那么存在唯一的正定么存在唯一的正定(半正定半正定) Hermite矩阵矩阵 使使得得 ，且对任何一个与，且对任何一个与 可交换的矩阵可交换的矩阵 必必和和 可以交换可以交换(即若即若 ,则则 ).AH2AHABH=AB BA=HB BH给定实二次齐
47、式给定实二次齐式 称为称为，如果对任意，如果对任意 ，恒有，恒有 ；当且仅当当且仅当 时时 。其对应的矩阵显。其对应的矩阵显然是然是( )Tf xx Ax nxR 0Tx Ax x 0Tx Ax 给定实二次齐式给定实二次齐式 称为称为，如果对任意，如果对任意 ，恒有，恒有 。其。其对应的矩阵显然是对应的矩阵显然是( )Tf xx Ax nxR 0Tx Ax 对对实实二次齐式二次齐式 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 是正定的；是正定的；（2 2） 的特征值全是正数；的特征值全是正数； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（4 4） 存在存在 阶可逆矩阵阶
48、可逆矩阵 ，使得，使得 ；（5 5） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得P( ),Tnf xx Ax xRAnTP APE H( )f xQTAQ Q 2AH nn(6) 存在正线上三角矩阵存在正线上三角矩阵 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的.RTAR R对对 阶阶 实对称矩阵实对称矩阵 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 半正定的；半正定的；（2 2） 的特征值全是非负的；的特征值全是非负的； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 这里这里 为为 的秩；的秩；（4 4） 存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得 ；（5 5） 对
49、任何对任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 半正定的半正定的PnArn,rEEOPAPOO PAQTAQ Q TP APnAArn定理定理7: 设设 是正定是正定(半正定半正定)实对实对 称矩阵称矩阵, 那那么存在唯一的正定么存在唯一的正定(半正定半正定) 实对称矩阵实对称矩阵 使使得得 ，且对任何一个与，且对任何一个与 可交换的矩阵可交换的矩阵 必必和和 可以交换可以交换(即若即若 ,则则 ).AH2AHABH=AB BA=HB BH例例 5 : 设设 都是都是 阶正定阶正定H-阵，则阵，则 的根全为正实数。的根全为正实数。,A Bn0BA证明证明：因为：因为 是正定的，所以存在可逆矩阵
50、是正定的，所以存在可逆矩阵 使得使得Bn nPCHP BPE另一方面注意到另一方面注意到 是一个正定是一个正定H-阵，阵，从而有从而有HP AP0HEP AP例例 6 (6 (Schur补：思考题补：思考题) ) 阶方阵阶方阵 有如下分块有如下分块则则 是正定是正定Hermite矩阵的矩阵的充要条件充要条件是是 和和 都是正定都是正定Hermite矩阵。矩阵。A11121121122122,k kHAAAACAAAA 11AAn122211112AA A A 11A证明：证明：利用即可利用即可111121121112221121111A AA AAA AIOAOIAIOOIA ,.HHP AP
