1、第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算第五章第五章平面向量平面向量目 录考点帮必备知识通关考点1 平面向量的有关概念考点2 平面向量的线性运算考点3 共线向量定理考点4 平面向量基本定理考点5 平面向量的坐标运算目 录考法帮解题能力提升考法1 平面向量的线性运算考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用考法3 平面向量的坐标运算及应用 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.平面向量的线性运算掌握2018全国,T6 课程学习考法1直观想象数学运算2.共线向量定理理解 2018全国,T13 课程学习考法2直观想象数学运算3.平面向量基本定理理解
2、2020江苏,T13探索创新考法2逻辑推理数学运算4.平面向量的坐标运算掌握2019全国,T3 课程学习考法3数学运算 考情解读命题分析预测 从近五年的高考命题情况来看,本讲命题突出向量的基本运算与工具性,命题重点为平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及平面向量共线的坐标表示,主要以选择题和填空题的形式呈现,分值5分,难度不大.在2022年的复习备考中,要注重基础,掌握向量的数与形的特征,同时要掌握用坐标法解决向量问题.考点1 平面向量的有关概念考点2 平面向量的线性运算考点3 共线向量定理考点4 平面向量基本定理考点5 平面向量的坐标运算考点帮必备知识通关 考点1 平面向量的有
3、关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).平面向量是自由向量.零向量长度为0的向量.零向量记作0,其方向是任意的.单位向量 长度等于1个单位长度的向量.平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量.0与任意向量平行(共线).相等向量 长度相等且方向相同的向量.相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量.相反向量长度相等且方向相反的两个向量.若a,b互为相反向量,则a=-b.0的相反向量为0. 考点1 平面向量的有关概念注意 (1)注意0与0的区别:0是一个向量,0是一个实数,且|0|=0.(2)两个向量不能比较大小,只能判断它们是否相等,但它们的模可以
4、比较大小.(3)零向量和单位向量是两种特殊的向量,它们的模是确定的,但它们的方向不确定,因此解题时要注意它们的特殊性.(4)共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量. 考点2 平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算.三角形法则 平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫作a与b的差.三角形法则a-b=a+(-b).数乘求实数与向量a的积的运算.(1)|a|=|a|.(2)当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a的方向相反;当=0时,a=0.(1)结合律:(a)=
5、a=(a).(2)第一分配律:(+)a=a+a.(3)第二分配律:(a+b)=a+b. 考点2 平面向量的线性运算 考点2 平面向量的线性运算思维拓展 对于任意两个向量a,b,都有:|a|-|b|ab|a|+|b|;|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).当a,b不共线时:式的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值;式的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系. 考点3 共线向量定理1.判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数使得b=a,则向量b与a共线.2.性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数,使得b=
6、a.注意 (1)只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.(2)两向量共线包含同向共线和反向共线两种情况. 考点4 平面向量基本定理 考点5 平面向量的坐标运算1.平面向量运算的坐标表示平面向量运算的坐标表示 坐标表示和(差)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2).数乘已知a=(x1,y1),则a=(x1,y1),其中是实数.任一向量的坐标 考点5 平面向量的坐标运算考法1 平面向量的线性运算考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用考法3 平面向量的坐标运算及应用考法帮解题能力提升 考法1 平面向量的线性运算 考法
7、1 平面向量的线性运算图5-1-2 考法1 平面向量的线性运算 考法1 平面向量的线性运算 考法1 平面向量的线性运算方法技巧 求向量的线性运算问题时,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,利用向量的加法、减法、数乘运算,相等向量、相反向量以及三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解. 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平
8、面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用方法技巧 用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用该基底将相关向量表示出来,再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.注意 同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在同一基底下的分解是唯一的. 考法
9、3 平面向量的坐标运算及应用 考法3 平面向量的坐标运算及应用 考法3 平面向量的坐标运算及应用 考法3 平面向量的坐标运算及应用 考法3 平面向量的坐标运算及应用 考法3 平面向量的坐标运算及应用解后反思本题先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出+的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了用坐标法解决问题的优势.方法技巧1.已知平面向量的坐标求解相关问题的技巧:(1)利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)利用相等向量的坐标相同以及共线向量的坐标表示列方程(组)进行求解.2.向量问题坐标化的技巧:通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后结合三角函数、解析几何或函数等知识进行求解.将某些复杂的问题坐标化求解,凸显了向量的代数特征.
