1、第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)机械工程控制基础机械工程控制基础第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)5.3 Bode5.3 Bode图示法图示法5.3.1 5.3.1 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图波德波德(Bode)(Bode)图图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）相频特性图） q 对数幅频特性图对数幅频特性图横坐标：以横坐标：以1010为底的对数分度表示的角频率为底的对数分度表示的角频率 单位单位 radrad/ /s s或或HzHz纵坐标：线性分度，表示幅值纵坐标：
2、线性分度，表示幅值A A( ( ) )对数的对数的2020 倍，即：倍，即： L L( ( )=20log)=20logA A( ( ) )单位单位 分贝（分贝（dBdB）第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)特别特别：当当L L( ( )=0)=0，输出幅值，输出幅值输入幅值；输入幅值；当当L(w)0L(w)0时，输出幅值时，输出幅值输入幅值输入幅值( (放大放大) )；当当L(w)0L(w)0时，输出幅值时，输出幅值 输入幅值输入幅值( (衰减衰减) )。q 对数相频特性图对数相频特性图 横坐标：与对数幅频特横坐标：与对数幅频特性图相同。性图相同。 纵坐标：线性分度，
3、纵坐标：线性分度，频率特性的相角频率特性的相角 ( ( ) ) 单位单位 度度( ( ) )第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)121212j( )j( )j( )12nj( )( ) .( )12n()()().() =A ( )eA ( )e.A ( )e =A ( )A ( ).A ( )e nnnG jG jGjGj 12n12nnii=1()20 lg() =20lgA ()A().A() =20lgA ()20 log A().+20lgA() =20lgA () LGj12ni=1( )()( )( ).( ) =( )niG j 当当n n个环节串联时：
4、个环节串联时：对数幅频特性为：对数幅频特性为：对数相频特性为对数相频特性为 （5 51515）（5 51313）（5 51414）第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)q 几点说明几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此 =0 =0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；所感兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般只标注此外，横坐标一般只标注 的自然的自然数值；数值； 在对数频率特性图中，角频率在对数频率特性图中，角频率
5、 变化的倍数往往比其变化的变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个间称为一个十倍频程十倍频程，记为，记为decadedecade或简写为或简写为 decdec；频率变化两倍；频率变化两倍的区间称为一个的区间称为一个二倍频程二倍频程，记为，记为octaveoctave或简写为或简写为octoct。它们也用。它们也用作频率变化的单位。作频率变化的单位。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3) 通常用通常用L L( ( ) )简记对数幅频特性，也称简记对数幅频特性，也称L L
6、( ( ) ) 为增益；用为增益；用 ( ( ) )简记对数相频特性。简记对数相频特性。 对数坐标的优点对数坐标的优点 幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 可以注意到，频率变化可以注意到，频率变化1010倍，在对数坐标上是等距的，等于倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。一个单位。 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)1 1、比例环节、比例环节 5.3.2 5.3.2 典型环节的典型环节的BodeBode图图传递函数：传递函数：G G( (s s
7、) = ) = K K频率特性：频率特性：G G( (j j ) = ) = K K = = KeKej j0 0实频特性：实频特性：P P( ( ) = ) = K K虚频特性：虚频特性：Q Q( ( ) = 0) = 0对数幅频特性：对数幅频特性：L L( ( ) = 20lg) = 20lgK K对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = 0) = 0幅频特性：幅频特性：A A( ( ) = ) = K K相频特性：相频特性： ( ( ) = 0) = 0第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)根据上述两式在根据上述两式在MATLAB中编程，其源代码如下：中编程，其
8、源代码如下：w=logspace(-1,1,1000);K=10Lw=20*log10(K)phi_w=0subplot(211)semilogx(w,Lw,b)gridxlabel(omega)ylabel(L(omega)subplot(212)semilogx(w,phi_w,r)gridxlabel(omega)ylabel(phi(omega)运行程序运行程序fig5_14.m，得到图，得到图514所示的对数幅频特性曲线。所示的对数幅频特性曲线。绘制绘制x为对数为对数坐标的曲线坐标的曲线第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)比例环节的对数幅频特性曲线图：比例环节
9、的对数幅频特性曲线图：可见，比例环节的对数可见，比例环节的对数幅频特性曲线是幅频特性曲线是条高条高度等于度等于20lgK20lgK的水平直线；的水平直线；其对数相频特性曲线是其对数相频特性曲线是与与0 0o o重合的重合的直线，如直线，如图图5 51414所示所示( (图中图中K K10)10)。当当K K值改变时，只是对数幅值改变时，只是对数幅频特性上、下移动而对数频特性上、下移动而对数相频特性不变。相频特性不变。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)2 2、 积分环节积分环节 传递函数：传递函数：ssG1)(频率特性：频率特性：jjG1)(幅频特性：幅频特性：1)(A
10、相频特性：相频特性： ( ( ) = -90) = -90对数幅频特性：对数幅频特性： log20)( L对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = -90) = -90第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3) 积分环节的积分环节的BodeBode图图 10-1100101-20-1001020L()10-1100101-91-90.5-90-89.5-89()第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)3 3、理想微分环节、理想微分环节 传递函数：传递函数：ssG)(频率特性：频率特性：2)(jejjG对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = 90)
11、 = 90对数幅频特性：对数幅频特性： lg20)( L幅频特性：幅频特性：)(A相频特性：相频特性： ( ( ) = 90) = 90第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3) 理想微分环节的理想微分环节的BodeBode图图 10-1100101-20-1001020L()10-11001018989.59090.591()第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)4 4、惯性环节、惯性环节 传递函数：传递函数：11)(TssG频率特性：频率特性：jarctgTeTTjjG221111)(相频特性：相频特性： ( ( ) = - arctg) = - a
12、rctgT T 幅频特性：幅频特性：2211)(TA第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3) 惯性环节的惯性环节的BodeBode图图 q 低频段低频段( ( 1/T ) 1/T ) 1/T )lg20lg20T即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为-20-20dB/dec dB/dec 的直线，称的直线，称为为高频渐近线高频渐近线。TTLlg201lg20)(22第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)转折频率转折频率-30-30-20-20-10-100 01010- -9090-45-450 01/T1/TL L( ( )/ (dB)/ (d
13、B) ( ( ) )Bode DiagramBode Diagram ( (radrad/ /secsec) )实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线-20dB/dec-20dB/decq 转折频率（转折频率（ 1/T )1/T )低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/T1/T，称为，称为转折频率（截止频率）转折频率（截止频率）。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)在转折频率处，在转折频率处，L L( ( ) ) -3 -3dBdB， ( ( ) )-45-45 。惯性环节具有惯性环节具有低通滤波低通滤波特性。特性。第第5 5章
14、章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)5 5、一阶微分环节、一阶微分环节 对数相频特性：对数相频特性： ( ( ) = arctg) = arctg T T传递函数：传递函数：1)( TssG频率特性：频率特性：TjjG 1)(对数幅频特性：对数幅频特性：221lg20)(TL 幅频特性：幅频特性：221)(TA 相频特性：相频特性： ( ( ) = arctg) = arctg T T第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3) 一阶微分环节的一阶微分环节的BodeBode图图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒
15、数，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性数，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于环节的对数幅频特性曲线关于 0 0dB dB 线对称，相频特性线对称，相频特性曲线关于零度线对称。曲线关于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。近线近似描述。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)0 0 10 10 20203030909045450 01/T1/TL L( ( )/ (dB)/ (dB) ( ( ) )Bode DiagramBode Diagram ( (r
16、adrad/ /secsec) )0.1/T0.1/T10/T10/T转折频率转折频率实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线20dB/dec20dB/dec第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)6 6、振荡环节、振荡环节 传递函数：传递函数：10,2)(222 nnnsssG频率特性：频率特性： nnnjjG2)(222 幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性： 4)(2222222 nnnjG )(lg20)( jGL 对数幅频特性对数幅频特性： 222arctan nn第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率
17、响应法(3)(3)图图5 519 19 振荡环节的振荡环节的bodebode图图 振荡环节的振荡环节的BodeBode图图 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)22221lg20)(nnLq 对数幅频特性对数幅频特性 低频段低频段( ( n n) )22221lg20)(nnL第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)即高频渐近线为斜率为即高频渐近线为斜率为-40-40dB/dec dB/dec 的直线。的直线。两条渐近线的交点为两条渐近线的交点为 n n。即振荡环节的转。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。折频率等于其无阻尼固有频率。212)(
18、nnarctgq 对数相频特性对数相频特性90)(n180)( 0)0(易知：易知：第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)-180-180-135-135-90-90-45-450 00.10.11 11010 / / n n ( ( ) / (deg) / (deg) = 0.5= 0.5 = 0.7= 0.7 = 1.0= 1.0 = 0.1= 0.1 = 0.2= 0.2 = 0.3= 0.3-40-40-30-30-20-20-10-100 010102020L L( ( )/ (dB)/ (dB)-40dB/dec-40dB/dec = 0.3= 0.3 = 0
19、.5= 0.5 = 0.7= 0.7 = 1.0= 1.0 = 0.1= 0.1 = 0.2= 0.2渐近线渐近线Bode DiagramBode Diagram在在0.7070.707或或略小于此值时，略小于此值时，幅域特性曲线与幅域特性曲线与相频特性曲线在相频特性曲线在低频段近于直线。低频段近于直线。这点对测振仪器这点对测振仪器的设计很有用处。的设计很有用处。设计时选择这样设计时选择这样的值，可使仪器的值，可使仪器在线性段工作。在线性段工作。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)7 7、 二阶微分环节二阶微分环节 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：对数幅频特性：
20、对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：121)(22 sssGnn jjGnn 21)(2 2222)1(lg20)( nnL 222arctan nn第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3) 二阶微分环节的二阶微分环节的BodeBode图图 注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为互为倒数倒数，根据对数频率特性图的特点，二，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于关于 0 0dB dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称，相频特性曲线关于零度线对称。线对称。第第
21、5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)10-1100101-40-200204060/nL()=0=0.7=110-1100101050100150200/n()=0=0.7=1第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)综上所述，关于某些典型环节的对数幅频特性及综上所述，关于某些典型环节的对数幅频特性及其渐近线和对数相频特性的特点可归纳如下：其渐近线和对数相频特性的特点可归纳如下： （1 1）关于对数幅频特性）关于对数幅频特性 注意横坐标是注意横坐标是1g1g还是还是n lg积分环节积分环节的为过点的为过点(1(1，0)0)、斜率为、斜率为-20dB-20d
22、Bdecdec的直线；的直线；微分环节微分环节的为过点的为过点(1(1，0)0)、斜率为、斜率为20dB20dBdecdec的直线；的直线；惯性环节惯性环节的低频渐近线为的低频渐近线为0dB0dB，高频渐近线为，高频渐近线为始于点始于点(T T，0)0)、斜率为、斜率为-20dB-20dBdecdec的直线；的直线； 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)导前环节导前环节（一阶微分）的低频渐近线为（一阶微分）的低频渐近线为0dB0dB，高频，高频渐近线为始于点渐近线为始于点(T T，0)0)、斜率为、斜率为20dB20dBdecdec的直线；的直线；振荡环节振荡环节的低频
23、渐近线为的低频渐近线为0dB0dB线，高频线，高频渐渐近线为始于近线为始于点点(1(1，0)0)、斜率为、斜率为-40dB-40dBdecdec的直线；的直线；二阶微分环节二阶微分环节的低频渐近线为的低频渐近线为0dB0dB线，高频渐近线为线，高频渐近线为始于点始于点(1(1，0)0)、斜率为、斜率为40dB40dBdecdec的直线。的直线。 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)（2 2）关于对数相频特性：）关于对数相频特性：积分环节积分环节的为过的为过-90-90o o的水平线；的水平线；微分环节微分环节的为过的为过9090o o的水平线；的水平线；惯性环节惯性环节
24、的为在的为在0 0o o-90-90o o范围内变化的对称于点范围内变化的对称于点(T T，-45-45o o）的曲线；）的曲线；导前环节导前环节（一阶微分）一阶微分）的为在的为在0 0o o9090o o范围内变化的对称范围内变化的对称于点于点( (T ，45450 0) )的曲线；的曲线； 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)振荡环节振荡环节的为在的为在0 0o o-180-180o o范围内变化的对称于点范围内变化的对称于点( (n ，-90-90o o) )的曲线；的曲线；二阶微分环节二阶微分环节的为在的为在0 0o o180180o o范围内变化的对称于范围内
25、变化的对称于点点( (n ，9090o o) )的曲线。的曲线。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)205. 0)(25()5 . 025. 0(24)( jjjjG405. 0lg20425lg205 . 025. 0lg2024lg20)(222222 L 025. 0arctan5 . 2arctan5 . 0arctan)( 解解 系统的频率特性为系统的频率特性为对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)10-210-110010110205101520L()10-210-11001011
26、02-80-60-40-200()根据上述两式在根据上述两式在MATLABMATLAB中编程，其源代码如中编程，其源代码如eg5_8.m:eg5_8.m:运行程序，得到图示的对数幅频特性曲线。运行程序，得到图示的对数幅频特性曲线。 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)5.3.3 5.3.3 利用利用MATLABMATLAB函数绘制函数绘制BodeBode图图MATLABMATLAB提供了绘制系统提供了绘制系统BodeBode图的函数图的函数bode()bode()，其用法如下：其用法如下：Bode(A,B,C,DBode(A,B,C,D) )：绘制系统的一组：绘制系统的
27、一组BodeBode图，它们是图，它们是针对连续状态空间系统针对连续状态空间系统A,B,C,DA,B,C,D的每个输入的的每个输入的BodeBode图，其中频率范围由函数自动选取，且在响应图，其中频率范围由函数自动选取，且在响应快速变化的位置会自动采用更多采样点。快速变化的位置会自动采用更多采样点。Bode(num,denBode(num,den) )：绘制以连续时间多项式传递函数：绘制以连续时间多项式传递函数表示的系统。表示的系统。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)Bode(num,den,wBode(num,den,w) )：利用指定的角频率矢量绘制系统：利用指定
28、的角频率矢量绘制系统的的BodeBode图。图。当带输出变量当带输出变量mag,pha,wmag,pha,w 或或mag,phamag,pha 引用函数时，引用函数时，可得到系统可得到系统BodeBode图响应的幅值图响应的幅值magmag、相角、相角phapha、角频率、角频率点点w w矢量，或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，矢量，或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅值可转换为分贝单位：幅值可转换为分贝单位：mag(dBmag(dB)=20lg(mag)=20lg(mag)。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(
29、3)(3)5.4 5.4 频率特性与时域响应的关系频率特性与时域响应的关系 nnnsss2222 jjnnn 2222 222224)()( nnnM 对于二阶系统，其频域性能指标与时域指标之间存在对于二阶系统，其频域性能指标与时域指标之间存在一定的数学关系。二阶系统的闭环传递函数为：一定的数学关系。二阶系统的闭环传递函数为： (5(516)16)系统的闭环幅频特性为：系统的闭环幅频特性为： (5(518)18)系统的闭环频率特性为：系统的闭环频率特性为：(5(517)17)第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)2arctan()(22 nn21 eMp2121 rM系统
30、的闭环相频特性为：系统的闭环相频特性为：二阶系统的二阶系统的谐振频率值谐振频率值M Mr r与时域超调量与时域超调量M Mp p之间的之间的关系为：关系为： （5 52020）（5 52121）（519）第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)0 00.20.2 0.40.4 0.60.6 0.80.8 1 11.21.2 1.41.4 1.61.6 1.81.8 2 20 01 12 23 34 4 = 0.05= 0.05 = 0.15= 0.15 = 0.20= 0.20 = 0.25= 0.25 = 0.30= 0.30 = 0.40= 0.40 = 0.50= 0
31、.50 = = 0.7070.707 = 1.00= 1.00 / / n nA A( ( ) )q补充补充 谐振现象谐振现象（了解）（了解）第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)由振荡环节的幅频特性曲线可见，当由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，较小时，在在 = = n n附近，附近，A A( ( ) )出现峰值，即发生出现峰值，即发生谐振谐振。谐振峰值谐振峰值 M Mr r 对应的频率对应的频率 r r 称为称为谐振频率谐振频率。由于：由于：222211)( nnA nuuuuf ,)2()1()(222A A( ( ) )出现峰值相当于其分母：出现峰值相当于其
32、分母：取得极小值。取得极小值。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)令：令：0844)(23 uuuuf 解得：解得：221 u即：即：221 nr显然显然 r r 应大于应大于0 0，由此可得振荡环节出现谐，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：振的条件为：707. 022 谐振峰值：谐振峰值：2121)( rrAM0 0 0.10.10.20.20.30.30.40.40.50.50.60.60.70.70.80.80.90.9 1 10 01 12 23 34 45 56 67 78 89 910100 010102020303040405050606070708080
33、9090100100 M Mr r ( (dBdB) )M Mp p ( () )M Mr rM Mp p第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)谐振峰值谐振峰值MrMr仅与阻尼比仅与阻尼比 有关，超调量有关，超调量MpMp也一样；也一样； 越小，越小，MrMr增加的越快，此时超调量会很大，超增加的越快，此时超调量会很大，超过过4040，这样系统一般，这样系统一般不不符合瞬态响应指标的要求符合瞬态响应指标的要求 当当0 0.7070 0.7070.707时，无谐振峰值，时，无谐振峰值，M Mr r与与M Mp p的对应关系的对应关系不再存在，通常在设计中不再存在，通常在设计
34、中 取值在取值在0.40.70.40.7之间；之间； 从以上各式可以看出：从以上各式可以看出：第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)二阶系统的谐振频率二阶系统的谐振频率 与峰值时间与峰值时间t tp p之间之间的关系为：的关系为：r 22121 prt从上式可以看出：当从上式可以看出：当 为常数时，谐振频率为常数时，谐振频率 与与峰值时间峰值时间tptp成反比，成反比， 越大，越大，tptp越小，表示系越小，表示系统时间响应越快。统时间响应越快。 r r （5 52222）221,21 npnrt第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)42244221
35、43 rbt从上式可以看出：当阻尼比从上式可以看出：当阻尼比 给定后，闭环截止给定后，闭环截止频率频率 与过渡时间与过渡时间trtr成反比，换言之，成反比，换言之， 越大越大（频带宽度越宽），系统的响应速度越快。（频带宽度越宽），系统的响应速度越快。b b 二阶系统的闭环截止频率二阶系统的闭环截止频率 与过渡时间与过渡时间trtr之间的之间的关系为：关系为：b (5(523)23)第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)在第在第3 3章的时域分析中介绍了衡量系统过渡过程的一章的时域分析中介绍了衡量系统过渡过程的一些时域性能指标，下面介绍在频域分析时要用到的一些时域性能指标，
36、下面介绍在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量或频域性能指标。频域性能指标些有关频率的特征量或频域性能指标。频域性能指标也是选用频率特性曲线在数值和形状上某些特征点来也是选用频率特性曲线在数值和形状上某些特征点来评价系统的性能的，如图评价系统的性能的，如图5 52323所示。所示。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)0Immax Mrbp频率特性的特征量频率特性的特征量复现频率复现频率w wm m零频幅值零频幅值M(0) M(0) 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)1 1、零频幅值、零频幅值M(0) M(0) 它表示当频率在接近于零时，闭环系
37、统输出的幅值它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。与输入的幅值之比。在频率极低时，对单位反馈系在频率极低时，对单位反馈系统而言，若输出幅值能完全准确地反映输入幅值，统而言，若输出幅值能完全准确地反映输入幅值，则则M(0)M(0)1 1。 M M（0 0）越接近于）越接近于1 1，系统的稳态误差，系统的稳态误差越小，反映了系统的稳态精度。越小，反映了系统的稳态精度。2 2、复现频率、复现频率w wm m与复现带宽与复现带宽0-w0-wm m 若事先规定一个若事先规定一个 作为反映低输入信号的允许误作为反映低输入信号的允许误差差，那么那么wm就是幅频特性值与就是幅频特性值与
38、M(0)M(0)的差第一次达的差第一次达到到时的频率值，称为复现频率。时的频率值，称为复现频率。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)3 3、谐振频率、谐振频率w wr r与相对谐振峰值与相对谐振峰值M Mr r 幅频特性幅频特性M(wM(w) )出现最大值出现最大值M Mmaxmax时的频率称为谐振频率时的频率称为谐振频率w=ww=wr r时的幅值时的幅值M(wM(wr r)=M)=Mmaxmax与与w=0w=0时的幅值时的幅值(0)(0)之比为之比为谐振比或相对谐振峰值谐振比或相对谐振峰值M Mr r。 显然，在显然，在M(0)M(0)1 1时，时，M Mr r与与M
39、 Mmaxmax在数值上相同。在数值上相同。 M Mr r反映了系统的相对平稳性。一般而言，反映了系统的相对平稳性。一般而言， M Mr r越大，系越大，系统阶跃响应的超调量也越大，系统的平稳性较差。统阶跃响应的超调量也越大，系统的平稳性较差。在二阶系统中希望选取在二阶系统中希望选取M Mr r1.41.4，因为这时阶跃响应，因为这时阶跃响应的最大超调量的最大超调量M Mp p2525，系统有较满意的过渡过程。，系统有较满意的过渡过程。 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)由公式（由公式（5 52 2）得知）得知越小，越小，MrMr越大。因此，越大。因此，若若MrMr太
40、大，即太大，即太小，则太小，则MpMp过大；若过大；若MrMr太小，即太小，即太大，则过渡过程时间太大，则过渡过程时间tsts过长。因此，为了减过长。因此，为了减弱系统的振荡性能，又不失一定的快速性，只有弱系统的振荡性能，又不失一定的快速性，只有适当地选取适当地选取M Mr r值。值。 w wr r反映了系统瞬态响应的速度，反映了系统瞬态响应的速度， w wr r 越大，则瞬态越大，则瞬态响应越快，一般来说，响应越快，一般来说， w wr r 与上升时间与上升时间t tr r成反比成反比 。4 4、截止频率、截止频率w wb b与截止带宽与截止带宽0- w0- wb b(w)(w)由由(0)(
41、0)下降到下降到0.7070.707(0)(0)的频率称为截的频率称为截止频率。止频率。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)0-w0-wb b的范围称为截止带宽，它的范围称为截止带宽，它表示超过频率后，输出就急剧表示超过频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态响应的截止状态 。对于随动对于随动系统来说，系统的带宽表征系系统来说，系统的带宽表征系统允许工作的最高额率范围，若此带宽大，则系统的统允许工作的最高额率范围，若此带宽大，则系统的动态性能好。对于低通滤波器，希望带宽要小，即只动态性能好。对于低通滤波器，希望带宽要小，即只允
42、许频率较低的输入信号通过系统，而频率稍高的输允许频率较低的输入信号通过系统，而频率稍高的输入信号均被滤掉。对系统响应的快速性而言，带宽越入信号均被滤掉。对系统响应的快速性而言，带宽越大，响应的快速性越好，即过渡过程的上升时间短。大，响应的快速性越好，即过渡过程的上升时间短。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)10-1100101102-180-135-90-450Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)-60-40-2002040System: sysclosePea
43、k gain (dB): 6.19At frequency (rad/sec): 3.91Magnitude (dB)crossover frequency :Wc = 0.0525Resonance frequency :Wr = 3.9069Resonance magnitude:Magmax = 6.1867-3dB frequency :W_3db = 5.3993-90 phase frequency :W_90 = 3.9994第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)解：计算谐振峰值和谐振频率的解：计算谐振峰值和谐振频率的MATLABMATLAB程序代码见程序代
44、码见eg5_11.meg5_11.m Mr Pr Wrans = -2.8098 -24.6446 0.6915运行程序得计算结果如下：运行程序得计算结果如下：第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)10-1100101102-180-135-90-450Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)-80-60-40-200System: GPeak gain (dB): -2.81At frequency (rad/sec): 0.692Magnitude (dB)运行程序后同时生成了运行程序后同时生成了bodebode图如图图如图
45、5 52525所示。所示。第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)5.5 5.5 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统极点和零点全部位于极点和零点全部位于s s左半平面系统称为左半平面系统称为最小相位系最小相位系统统。反之，称为。反之，称为非最小相位系统非最小相位系统。)0(11)(),(11)(1122111TTsTTssGTTsTTssG 例：例：，非最小相位系统极点的零点，最小相位系统极点的零点解：2122111,1)(1,1)(TpTzsGTpTzsG第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)MATLABMATLAB函数中有许多
46、函数可用来分析系统的函数中有许多函数可用来分析系统的零点和极点的分布情况。零点和极点的分布情况。 函数函数polepole可直接用于计算系统的极点。可直接用于计算系统的极点。函数函数eigeig用来计算矩阵特征值的根，用来计算矩阵特征值的根，函数函数rootsroots用来求一个多项式的根。用来求一个多项式的根。利用系统零极点形式模型函数利用系统零极点形式模型函数zpkzpk直接给出系统的直接给出系统的零点和极点，零点和极点，函数函数pzmappzmap用来绘制系统的零极点图和计算系统的用来绘制系统的零极点图和计算系统的零极点，判断系统的稳定性及是否为最小相位系统。零极点，判断系统的稳定性及是
47、否为最小相位系统。 第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)解：用解：用MATLAB编写程序代码如编写程序代码如eg5_12.m示：示：运行上述程序，得到计算结果如下：运行上述程序，得到计算结果如下：Np = 2系统不稳定系统不稳定Nz = 0此系统不是最小相位系统此系统不是最小相位系统第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)Pole-Zero MapReal AxisImaginary Axis-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-1.5-1-0.500.511.50.120.240.360.480.620.760.880.970.120.240.360.480.620.760.880.970.250.50.7511.251.51.752该系统的零极点图如图该系统的零极点图如图526所示所示第第5 5章章 系统的频率响应法系统的频率响应法(3)(3)作业：作业：P162P1625-55-5（1 1）、（）、（3 3）5-65-65-75-7
