1、第四节第四节 函数单调性、函数单调性、 曲线的凹凸性曲线的凹凸性第三章第三章 中值定理中值定理与导数应用与导数应用 一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性拐点二、曲线的凹凸性拐点.一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA .;减减小小的的右右图图增增加加的的左左图图xfxf.内可内可在在上连续上连续在在设函数设函数),(,)(:babaxfy 定理在在那末函数那末函数内内如果在如果在）（)(, 0)(),(1xfyxfba 则则导导,;,上单调增加上单调增加ba在在那末函数那末函数内内如果在如果在)(
2、0)(),()2(xfyxfba .,上单调减少上单调减少ba),(,:21baxx 证证,21xx 且且由拉氏定理由拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)( xf若若从从而而则则必必有有, 0)( f, 0)()(12 xfxf).()(:12xfxf 即即.,)(,21上上单单调调增增加加在在有有的的任任意意性性由由baxfyxx ., 0)(),( xfba内内若若在在从从而而则则, 0)( f, 0)()(12 xfxf).()(:12xfxf 即即.,)(,21上上单单调调减减小小在在有有的的任任意意性性由由baxfyxx 注注:根据定
3、理根据定理,只要找出函数的导数不等于零的区只要找出函数的导数不等于零的区间间,并判断各个区间上导数的符号并判断各个区间上导数的符号,即可了解函即可了解函数的单调性数的单调性.1. 1的的单单调调性性讨讨论论函函数数例例 xeyx0, 01 xeyx,)0 ,(内内在在 , 0 y函函数数单单调调减减少少；,), 0(内内在在, 0 y.函函数数单单调调增增加加),(: D定定义义域域解解.单调区间求法单调区间求法问题问题: :如上例如上例,函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,注注:(1)导数
4、等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能成为单调可能成为单调不存在的点来划不存在的点来划的点及的点及用使用使)(0)()2(xfxf 但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.区间的分界点区间的分界点.然后判断各子区间内然后判断各子区间内的定义区间的定义区间分函数分函数,)(xf.导数的符号导数的符号.31292)(. 223 xxxxf确确定定函函数数例例),(: D解解12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx:, 0)(:得得令令 xf2121 xx.的单调区间的单调区间讨论单调性通常用表格法讨论单调性通常用表格法.
5、x)(xf)(xf)1,( )2,1(),2( 12 单调区间为单调区间为),1 ,(),2 , 1()., 2( 00. .12. 3322的单调区间的单调区间确定函数确定函数例例 xxf xxxf2132312 32134 xx ; 0, 0: xxf得得令令 ; 1: xxf不存在的点不存在的点f fx)1,( 1 0 , 1 0 1 , 01 , 1 _:,单调区间为单调区间为由上面的表格可知由上面的表格可知 1, 0 , 1 1 , 0 , 1:解解),(: D0 单增，单增，单减。单减。.(1)区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响单调性不影响单调性.3,yx 例例如如,
6、 00 xy虽虽然然, 0, 032 xxy但但 .,3仍然是单调的仍然是单调的上上故在故在xy (2)0;fx 使使得得的的点点称称为为函函数数的的驻驻点点注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质函数的单调性是一个区间上的性质,要用要用导数在这一区间上的符号来判定导数在这一区间上的符号来判定,而不能而不能用用一点处一点处的导数符号来判别的导数符号来判别. ;), 0上上单单调调增增加加在在 xf, 0)0( f又又因因为为, 0)1ln( xx即即).1ln(xx 或或 则则对对的的单单调调增增加加由由于于,xf, 0 x . 0 xf.)1ln(,04成立成立试证试证时时当当例例xxx
7、 则则设设证证),1ln()(:xxxf .1111)(xxxxf , 0)(,), 0(,), 0)( xfxf可可导导且且上上连连续续在在说明：说明：可利用可利用单调性证明不等式单调性证明不等式.二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点1.曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段图形上任意弧段位于弦的上方位于弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段图形上任意弧段位于弦的下方位于弦的下方ABC.定义定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的内的图形是凹的
8、在在那末称那末称恒有恒有两点两点内任意内任意如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf.2.曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1
9、.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf .例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,.3.曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法连续曲线连续曲线上凹
10、凸的分界点称为上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点. 定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导 数数, ,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf. . 1.1.定义定义注意注意: 拐点处连续，拐点处连续， 可导曲线在拐点处的切线必穿过曲线可导曲线在拐点处的切线必穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法.判别法判别法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是
11、拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx .)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :不可导点是否为拐点，判别法同上不可导点是否为拐点，判别法同上.例例2 2.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解 定义区间为定义区间为R R,0时时当当 x231,3yx ,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的的拐拐点点是是连连续续曲
12、曲线线点点xy .例例3 3.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为.).,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为.判别法判别法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设
13、函数xfyxfxxfxfxxf 例例4 4.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 ).,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为.内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .小结小结函数单调性的判别法函数单调性的判别法一阶导数符号一阶导数符号函数凹凸性的判别法函数凹凸性的判别法二阶导数符号二阶导数符号拐点的判别法：二阶导数或三阶导数拐点的判别法：二阶导数或三阶导数重点：重点：
14、函数的单调性、凹凸性、拐点的判别法函数的单调性、凹凸性、拐点的判别法 利用单调性、凹凸性证明不等式利用单调性、凹凸性证明不等式.作业作业 习题习题3-4P150 P150 3(13(1，3 3，5 5，7), 7), 4 4， 5(25(2，4), 4), 9(39(3，6), 10(3), 6), 10(3), 1515预习预习 3-5 函数极值与最值函数极值与最值.思考题思考题设设)(xf在在),(ba内内二二阶阶可可导导，且且0)(0 xf，其其中中),(0bax ，则则,(0 x)(0 xf是是否否一一定定为为曲曲线线)(xf的的拐拐点点？举举例例说说明明.思考题解答思考题解答故故,(
15、0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐点点.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点. f x 00f 0 f x0, f x0 ,0 x, f x 0f0 x, f x 0f设函数设函数连续，且连续，且，则存在，则存在使得使得_在在内单调增加内单调增加在在内单调减少内单调减少，有，有D.D.对任意的对任意的，有，有A.A. B.B.C. C. 对任意的对任意的思考题思考题选择选择C。注意：不能由一点的导数说明单调性。注意：不能由一点的导数说明单调性. P183 19证明结论：证明结论：利用利用泰勒公式泰勒公式证明等式或不等式证明等式或
16、不等式( )0fx 设设 内内 ，证明对证明对 内任意内任意12,xx ，有有1212(1)(1) ()()ft xtxt f xtf x01t ，( , )a b( , )a b.利用泰勒公式证不等式利用泰勒公式证不等式令令12(1)xt xtx2( )( )( )( )()()2!ff xf xfxxxxx 1212(1)(1) ()()ft xtxt f xtf x将函数将函数 在在 处展开为泰勒公式处展开为泰勒公式x( )f x将函数中将函数中 分别设为分别设为x12xx，21111()()( )( )()()2!ff xf xfxxxxx 22222()()( )( )()()2!f
17、f xf xfxxxxx 不等式右边不等式右边=12(1) ()()t f xtf x+12( )(1)()()fxtxxt xx (1) ( )( )t f xtf x 221212()()(1)()()2!2!fftxxtxx此项为此项为0此项为正此项为正( )f x ( )f x 证：证：.0)0(,0)( fxf设设 证明对任意证明对任意0, 021xx有有)()()(2121xfxfxxf证：证：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx例例5不妨设不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xfP183 19P183 19对比对比下例下例. .两次利用拉式定理得到两次利用拉式定理得到区间端点函数值与二阶导区间端点函数值与二阶导函数某点值函数某点值的等式。的等式。.
